2015年秋高三数学(文科)训练4答案.doc

2015年秋高三数学（文科）训练答案20151005
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，）
1.已知数列,,2,,…,则2在这个数列中的项数为(　B　)
A.6 B.7　　　 C.19　　 D.11
2.数列中,对所有的,都有,则等于(C )
A. B. C. D.
3.“点都在直线上”是“数列为等差数列”的(A)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.等差数列中,,数列是等比数列,且,则(D　)
A.2 B.4 C.8 D.16
5.已知数列的前n项和,第k项满足,则k等于(B　)
A.9 B.8 C.7 D.6
6.在数列中,(c为非零常数),前n项和为,则实数k为 (　A　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知为等差数列,若,则的值为 (　D　)
A. B. C. D.
8．设函数满足，且，则(B)
A．95 B．97 C．105 D．192
9. 已知数列为等差数列，若,且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为( B )
A .11 B. 19 C. 20 D. 21
10.已知函数满足,且,则数列的前20项的和为(　D　)
A.305 B.315 C.325 D.335
11.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数,数列是等差数列,,则的值(　A　)
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可以为正数也可以为负数
12.数列满足,是数列的前n项和,则为(　A　)
A.502 B.504 C. D.2015
二、填空题（本大题共 4个小题 ，每小题 5分，共20分）
13.数列的前n项和为,已知,则__________.9
14.已知数列的前n项和,则数列的通项公式为________.
15.数列的前n项和记为,,点在直线上,n∈N*,若数列是等比数列,则实数t=______.1
16.已知函数,等差数列的公差为2,若=4,则________.-6
三、解答题（共6大题，共70分）
17.(本小题满分10分)设是公比为正数的等比数列,
(1)求的通项公式.
(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求的前n项和.
【解析】(1)设{an}的公比为q,且q>0,
由a1=2,a3=a2+4,
所以2q2=2q+4,即q2-q-2=0,
又q>0,解之得q=2.
所以{an}的通项公式an=2·2n-1=2n.
(2)Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)
=+n×1+×2=2n+1+n2-2.
18.(本小题满分12分)已知数列满足,且.
(1)求证：数列是等差数列,并求.
(2)令,求数列的前n项和.
【解析】(1)因为an+1=, 所以an+1-1=-1=,
故==+=-+,
所以-=-,
所以数列是公差为-的等差数列,
而a1=,所以==-, 所以=--(n-1)=-,
所以an-1=-,an=1- = .
(2)由(1)知an=,
所以bn= = = -,
故Tn = b1+b2+…+bn = -+-+…+-
= 1+-- = - .
19.(本小题满分12分)已知数列为等差数列,,数列的前n项和为,且有,
(1)求,的通项公式.
(2)若,的前n项和为,求.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,且a3=5,a7=13,设公差为d.
所以解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).
在{bn}中,因为当n=1时,b1=2b1-1,所以b1=1.
当n≥2时,由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1.
所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列,
所以bn=2n-1(n∈N*).
(2)cn=anbn=(2n-1)·2n-1,
Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1　①
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②
①-②得
-Tn=1+2×2+2×22+…+2×2n-1-(2n-1)·2n
=1+2×-(2n-1)·2n =1+4(2n-1-1)-(2n-1)·2n=-3-(2n-3)·2n,
所以Tn=(2n-3)·2n+3(n∈N*).
20．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(2011年为第一年)的利润为500(1＋)万元(n为正整数)．
(1)设从2011年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；
(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解析　(1)依题意知，An是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，所以An＝480n＋×(－20)＝490n－10n2，
Bn＝500(1＋)＋500(1＋)＋…＋500(1＋)－600
＝500n＋500(＋＋…＋)－600
＝500n＋500×－600＝500n－－100.
(2)依题意得，Bn>An，
即500n－－100>490n－10n2，
可化简得<n2＋n－10.
∴可设f(n)＝，g(n)＝n2＋n－10.
又∵n∈N*，∴可知f(n)是减函数，g(n)是增函数．
又f(3)＝>g(3)＝2，f(4)＝<g(4)＝10.
则当n＝4时不等式成立，即4年．
21.(本小题满分12分)已知首项为的等比数列的前n项和为,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q==-.又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为an=×=(-1)n-1·.
(2)Sn=1-,Sn+=1-+=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+≤S1+=.
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+≤S2+=.
故对于n∈N*,有Sn+≤.
22.(本小题满分12分)已知等比数列满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求实数k的取值范围.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为an+1+an=9·2n-1,n∈N*,所以a2+a1=9,a3+a2=18,
所以q===2,
又2a1+a1=9,所以a1=3.所以an=3·2n-1,n∈N*.
(2)Sn===3(2n-1),
所以3(2n-1)>k·3·2n-1-2,所以k<2-.
令f(n)=2-,f(n)随n的增大而增大,
所以f(n)min=f(1)=2-=,
所以k<,所以实数k的取值范围为.