第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形.doc

句容市第二中学 九年级数学（2017-2018学年度复习案） 校本教材

第21讲　平行四边形、矩形、菱形、正方形
主备人： 陈飞 审核人： 叶昌顺
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【考点】掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定。
【重点】平行四边形，矩形，菱形，正方形性质和判定的灵活运用
【难点】判定及性质的灵活运用
【知识梳理】
　平行四边形
1．定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．
2．性质
(1)边：对边 且_ ． (2)角：对角 ．
(3)对角线：对角线互相平分． (4)对称性： _对称．
3．判定
(1)两组对边分别 的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别 的四边形是平行四边形．
(3)一组对边 _且 的四边形是平行四边形． (4)两组对角分别 的四边形是平行四边形． (5)对角线互相 的四边形是平行四边形．
　矩形
1．定义：有一个角是 _的平行四边形叫做矩形．
2．性质
(1)边：对边 _且 ． (2)角：四个角都是 ．
(3)对角线：对角线互相 且 ． (4)对称性： 对称和 对称．
3．判定
(1)有 个角是 的平行四边形是矩形． (2)有 个角是 的四边形是矩形．
(3)对角线_ _的平行四边形是矩形．
　菱形
1．定义：有一组 的平行四边形叫做菱形．
2．性质
(1)边：四边 _，对边平行． (2)角：对角 _．
(3)对角线：对角线互相_ _、 ，且每一条对角线平分一组对角．
(4)对称性： 对称和 对称．
3．判定
(1)有一组 的平行四边形是菱形． (2)四边 的四边形是菱形．
(3)对角线互相 的平行四边形是菱形．
　正方形
1．定义：有一个角是 _，有一组邻边 的平行四边形叫做正方形．
2．性质
(1)边：四边_ _，对边平行． (2)角：四个角都是 ．
(3)对角线：对角线互相 、 _、 ，每一条对角线平分一组对角．
(4)对称性： _对称和_ 对称．
3．判定
(1)有一个角 _、有一组邻边 _的平行四边形是正方形．
(2)有一组邻边相等的 是正方形．
(3)有一个角是直角的 是正方形．
　中点四边形
1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是_ _形．
2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是_ __形．
3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是_ __形．
4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是 形．
5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是 _形．
6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是 _形．
【典型例题及针对训练】
　轴对称图形与中心对称图形
【例1】(2017江苏中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有(　　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　平行四边形的性质和判定
【例2】(2014江苏中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　　)
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
1．(2017江苏中考)若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是 °.
2．(2017江苏中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.
求证：(1)四边形MNCD是平行四边形； (2)BD＝MN.

3．(2017浙江中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE＝DF.

　矩形的性质和判定
【例3】(2017江苏中考)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值； (2)求证：四边形OBEC是矩形．

4．(2016云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上的两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为2 cm/s.
(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
(2)若BD＝24 cm，AC＝32 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由．

　菱形的性质和判定
【例4】(2015江苏中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________．
5．(2016江苏中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 _．
6．(2013江苏中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB边上的中点．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)若AB＝12 cm，求菱形BDEF的周长．

7．(2017江苏中考)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
　正方形的性质和判定
【例5】(2016江苏中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．

1.遗漏考点
　正方形的有关计算
【例1】如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝(　　　)
A．45° B．30°C．60° D．55°

【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(　　　)
A．1 B. C．4－2 D．3－4
2．创新题
【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．
【提升训练】
1.(2017海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是(　 　)
A．14 B．16 C．18 D．20
　　(第1题图) (第2题图)

2．(2017贵州中考)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列判断不正确的是( 　)
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE′
C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形
3．(2016曲靖中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_ __.
4．(2017临沧中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

学后/教后反思:

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句容二中校训：立志 笃行 数学复习案