高中数学-练习题-新人教版必修4.doc

高中数学练习题
第一部份 [三角函数] 练习题 2
第二部份 [三角函数] 高考真题 19
第三部份 [平面向量] 练习题 26
第四部份 [平面向量] 高考真题 43
第五部份 [三角恒等转换] 练习题 47
第六部份 [三角恒等转换] 高考真题 63

[三角函数] 练习题
在~范围内，找出与角终边相同的角，并判断它属于哪一象限。
写出终边在Y轴上的角的集合。
写出终边在直线上的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来。
直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限，第二象限角不一定是钝角。
下列说法正确的是（ FG ）：A.终边相同的角一定相等；B.第一象限的角都是锐角；C.小于90度的角都是锐角；D.第一象限角一定不是负角；E.少于90度的角一定是在第一象限；F.钝角一定是第二象限角；G. 。

如图，弓形的弦AB，它所对应的圆周角为，求该弓形的面积。
C
B
H
O
A
解：设C是弧AB上的任意一点，连接，，作OHAB于H，
因为弦AB所对应的圆周角为，即，则，
扇形ACB对应的圆心角为
AH=HB=，求得，则
，则

设集合A=，
B=，则（ D ）：A. A B；B. A B；C. ；D. A=B。

已知，求的值。
解：
因为，所以角属于第三象限或第四象限。
当属于第三象时，，则，
当属于第四象时，，则，

求证：
证明：由题知：，知，所以，于是
左边==右边
所以原式成立。

计算：
解：原式=

计算：
解：原式=

计算：
解：原式=

化简：
解：原式=

根据下列条件，求函数值：（1）；（2）
提示：（1）-2；（2）2

已知是第四象限角，且，求的值。
已知是第二象限角，且，求的值。
提示：上述二题均利用关系式：。

已知，，求的值。
解：因为=，所以，则
得。因为，所以
则=

求证：
证明：左边=
=右边，所以原式成立。

证明：左边=
=右边，所以原式成立。

证明：左边=右边，所以原式成立。

化简：，其中为第二象限角。
解：原=
因为为第二象限角，所以，则原式=

求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的的集合（1）；（2）
解：（1）最大值为，此时的集合为；最小值为，此时的集合为。
（2）最大值为5，此时的集合为；最小值为1，此时的集合为。

已知，求适合下列条件的角的集合：（1）和都是增函数；（2）和都是减函数；（3）是增函数，是减函数；（4）是减函数，是增函数。
解：数形结合，得（1）角的集合：；（2）角的集合：；（3）角的集合：；（4）角的集合：。

求证：
证明：原式左边=
==1=右边
所以原式成立。

求证：
证明：右边==右边
所以原式成立。

化简：
解；原式==

已知，求证：
证明：因为，所以，所以，则

所以原式成立。

已知，求，
解：=
=

化简：，其中。
提示：分是奇数或偶数讨论。即，或。答案：原式=-1。

已知：，求的值。
解：由已知条件得，，又，所以
，，
由知，与异号，则角属于第二或第四象限。
当属于第二象限时，，
当属于第四象限时，，

已知，求（1）；（2）；（3）
提示：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=1+2

已知，求的值。
解：=

已知，求的值。
提示：

已知，，，求的值。
解：因为，则，则
得，或。当时，，不存在，所以。
则：=，，，=

已知是关于的方程的根，求的值。
解：根据题意，，则有
得，，解得，
又，所以，所以

已知在中，，（1）求的值；（2）判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求的值。
解：（1）二边同时平方，得，则
（2）因为，，所以,，所以A为钝角，即该三角形为钝角三角形。
（3）因为，且
所以，组成联立方程，解得

求函数的单调递增区间。
解：因为，所以函数的单调递增区间，就是函数的单调递减区间。将视民一个整体X，根据函数的单调区间求解，则有：
解得，
所以，函数的单调递增区间为

求函数的单调递增区间。
解：由，得
因为，所以的单调递增区间，就是的单调递减区间。
因为的单调递减区间为，且
，所以的单调递增区间为：

“五点法”作图：作出函数的图像。
解：五点列表（将作为一个整体取五点）

0

O
1
2
Y
X

0

0
1
0
-1
0

1
2
1
0
1

“五点法”作图：作出函数的图像。
解：将作为一个整体取五点。列表：

O

-2
2
Y
X

0

0
2
0
-2
0
此五点为函数在区间上的图像，将该图像向左向右展开，得原函数图像。

不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图像：（1）；（2）。
解：（1）振幅是1，周期是，初相，把正弦曲线向左平移个长度单位，得到图像，再将得到的图像的所有横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得到的图像。
（2）振幅是2，周期是，初相0，把正弦曲线上所有的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到图像，再将得到的图像的所有纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到的图像。

数型结合，写出使的的集合。

Y
X
O

解：右图是在一个周期间的曲线图
直线与曲线相交点的横坐标为
则满足题意的的集合为：

已知函数的定义域为，求函数的定义域。
解：依题意，，解得，或
根据数形结合，可得函数的定义域为：

求函数的值域。
解：函数=
因为，所以原函数的值域为

求函数的值域。
解：因为，，
所以原函数的值域为

求函数的值域。
解1：=，当时，最小值为，函数值域为
解2：函数式转换得，则有，解得

求函数的值域。
解：，，
，，函数值域为

判断函数的奇偶性。
解：先看定义域，再看与。函数定义域为R。
=
，所以为偶函数。

判断函数的奇偶性。
解：先看定义域，再看与。，即，函数的定义域为
，此区间不关于原点对称，也不关于Y轴对称，则为非奇非偶函数。

判断函数的奇偶性。
解：

=，所以函数为奇函数。

求函数的最小正周期、初相。
解：原式
，则最小正周期，初相为

求函数的定义域、周期和单调区间。
解：因为的周期是，所以该函数的周期为。
又函数自变量应满足，解得，则定义域为
又因为在区间上是增函数
所以，解得
所以函数的单调递增区间为

求函数的单调区间。
提示；该函数有单调递减区间。
数型结合，写出使下列不等式成立的的集合：（1）；（2）
提示：正切函数的周期为。

设函数
求该函数的定义域、周期、单调区间；
求不等式的解集；
作出该函数在一个周期内的简图。
解：（1）将作为一个整体，由解得
所以函数的定义域为，周期为
又由，解得
所以函数的单调递增区间是
（2）由，得
解得，所以不等式的解集是：

（3）三点二线作图。三点为，列表：

0

0
1
-1

二线为：令，，分别得出，，即是该函数图像在左右两侧的二条渐近线方程。从而得到函数在区间的简图（略）。
P58B组1、2、3。

已知是关于的方程的二个根，求实数的值。
解：由题，联立，解得

已知是关于的方程的二个根，。（1）求的值；（2）求的值。
解：由题，联立，解得（舍去）
则

设函数，，其中，二个函数最小正周期之和为，且，。
求这二个函数的解析式。
求函数在区间上的最值。
求函数的单调递增区间。
解：（1）依题意，，得，又，即
，即；又，即
，即，解得
则函数解析式为，
因为，则，又在上单调递增，在上单调递减，所以，当，即时，取得最大值1；又当，即时，，又当，即时，，所以最小值为。
函数，所以该函数的单调递增区间，就是函数的单调递减区间。则，即，则单调递增区间

O
Y
y=tanx
X

解不等式。
解：不等式化简为，数型结合，得
，即
则不等式的解集为：

求函数的图像的对称中心。
解：对称中心为，则有，得
则函数对称中心坐标为

采用二种方法，将函数的图像变换成函数的图像。
解：[方法1]（1）将函数的图像向左平移个长度单位，得到函数的图像；（2）将得到的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图像；（3）再将得到图像的所有点的纵坐标伸长至原来的2倍，得到的图像；（4）再将得到的图像向下平移2个长度单位，得到的图像。
[方法2]（1）将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图像；（2）将得到的图像向左平移个长度单位，得到函数的图像；（3）再将得到图像的所有点的纵坐标伸长至原来的2倍，得到的图像；（4）再将得到的图像向下平移2个长度单位，得到的图像。

设函数图像的一条对称轴方程为，（1）求；（2）求该函数的单调递增区间。
解：（1）函数的对称轴方程为，则令，得函数的对称轴方程为，依题意，有，因为，取值测试，得。
（2）函数解析式为，由题意得
即，即函数单调递增区间为。

X

Y
1
2
-2
O
如图是函数的部份图像，试确定该函数的一个解析式。
解：根据图像确定函数解析式，可以待定系数法，观察法等。
本图像通过观察，不能确定周期等，用待定系数法，即
用图像中的特殊点代入函数，求出函数中的参数。
本图像有二个特殊点，则有
，因为，则得

，令，得，则该函数的一个解析式为

已知函数，（1）做出函数简图；（2）这上函数是周期函数吗？如果是，求出最小正周期；（3）指出这个函数的单调递增区间。

O
Y
X
解：（1）函数，分段函数
（2）是周期函数，最小正周期为；
（3）单调递增区间为。

已知函数，其图像向左平移个单位长度后，关于Y轴对称。（1）求函数的解析式；（2）如果该函数是一个简诣振动的表达式，那么指出其振幅、周期、频率及初相，并说明其图像是由的图像经过怎样的变动得到的。
解：（1）图像向左平移个单位长度后，图像的函数解析式为
，因为其图像关于Y轴对称，所以有：，
因为，取值测试，得，所以。
（2）振幅A=3，周期，频率，初相。
（3）函数的图像向左平移个单位长度，得到，将得到图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到图像，再将得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到图像。

对称关系说明：
（1）若的图象关于直线对称时，则有；若的图象与的图像关于直线对称时，则有。
（2）对于三角函数，也符合上述原则，且更特殊。即正弦、余弦函数的对称轴，是在函数取得最大值1或最小值-1时的X值，即正弦函数的对称轴为，余弦函数的对称轴。
（3）关于Y轴对称，实际上就是关于直线对称。

已知，其中为常数。（1）求的递增区间；（2）当时，的最大值为4，求值；（3）求出使有最大值的的集合。
解：（1）依题意，，得，即的递增区间为，。
（2）时，由（1）知，当时，函数有最大值。则有=4，得=1；
（3）依题意，当有最大值时，，则有，解得，即的集合为。

已知角的终边经过点P，其中，，求角的三个三角函数值。
解：因为，即是第二、第三象限角，所以，则点P属于第四象限，角是第四象限角。所以，，即有，
求得

[三角函数] 高考真题

A
D
C
B
O
已知扇形AOB圆心角为，半径长6。求（1）弧长度；（2）求弓形ACB面积。

解：（1），
则，即弧的长度为。
（2）作交AB于D，则
，
又，则

若，则下列命题正确的是（D）。A.；B.；
C.；D.
解：利用特殊值求解。令，进行比较。

已知，则等于（ ）。
解：原式分子除以

已知，则的值为（ ）
解：，则

已知是第四象限角，，则的值为（ ）
解：利用，及求解，是第四象限角判别正负符号。

已知，则用表示的式子是（ ）
解：，，=

已知，则的值为（ ）
解：此题简单，可利用勾三股四弦五，也可利用

下列式中，正确是（C）：A.；B.；
C.；D.
解：可利用数型结合。也可将函数转为同一函数的某一单调区间进行比较。，

下列函数中，最小正周期为，且在区间上为减函数的是（A）。A.；B.；C.；D. 解：此题简单。

函数的图像的对称轴方程可以为（D）。A.；B.；C.；D.
解：令，用值进行测试。

2
Y
已知，若关于的方程有二个不同的实数解，则的取值范围为A.；B.；C.；D.

O
X

解：画出函数的图像，数型结合。
答案：D

1

Y
X
O
已知函数，的部分图像如图。则（D）。A.；B.；C.；D.
解：数型结合知，
所以，又，得
，又，用值测试，得

已知函数和的图像的对称轴方程完全相同。若，则的取值范围是（）
解：函数对称轴相同，则周期相同。所以，又，则，由正弦函数的图像及性质知，的最小值为，最大值为

若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像同原来图像重合，求的最小值。
解：图像向右平移个单位长度后，得到的函数为，依题意，有，则有，，得，因为，求得其最小值为。

注：对于三角函数图像的变换，遵循“左加右减，上加下减”的原则。“左加右减”是指自变量的变动，即左移时，自变量在原来基础上加上移动的长度单位，右移时则减去移动的长度单位；“上加下减”是指函数值的变动，即上移时，函数值在原来基础上加上移动的长度单位，下移时则减去移动的长度单位。

如果函数的图像关于点中心对称，求的最小值。
解：余弦函数图像的对称中心坐标为，依题意，则有，
得，将取值测试，得的最小值为。

-1
1
X
Y

O
如图是函数在区间上的图像。为了得到这个图像，应将函数的图像做怎样的移动？
解：由图像知，函数周期为，振幅为1，则函数解析式
为，因为图像过点，则有
，令，得到一个，
则与函数图像对应的一个表达式为。
所以该函数图像可以通过将的图像做以下移动而得到：横坐标向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。

若将函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像同函数的图像重合，求的最小值。
解：图像向右平移个单位长度后，得到的函数为，依题意，有
，则有，
因为，求得其最小值为

为了得到函数的图像，怎样移动函数的图像？
解：移动后的函数值未变，改变了，所以应左右移动。设应将函数的图像左右平移个单位长度，则有，则
，求得，即应向右移动个单位长度。

已知函数最小正周期为，求该函数的对称中心坐标和对称轴方程。
解：依题意，，即，则函数解析式为
（1）因为正弦函数的对称中心为，则有，得
则该函数对称中心坐标为
（2）因为正弦函数的对称轴方程为，则有，得，则该函数的对称轴方程为。

将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像上的所有点向左平移个长度单位，求得到图像的解析式。
解：将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的图像解析式为，再向左平移个长度单位后，得到的图像解析式为

已知函数在时取得最大值4。（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的解析式；（3）若，求。
解：（1）依题意，最小正周期；
（2）依题意，，即A=4，，因为。则，所以，得，解析式为；
（3）依题意，，整理得
，即，则，。

弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移S（㎝）随时间（）的变化曲线是一个三角函数的图像（如图）。（1）经过多长时间，小球振动一次？（2）求这条曲线的函数解析式；（3）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？

-4

S/㎝
4
O
解：（1）小球从最高点到最低点的时间为
，即半个周期，则最小正周期为，
即小球经过秒，振动一次。
（2）经观察曲线，振幅为4，，则
设函数解析式为，将点
代入函数式，得，即，所以
函数解析式为
（3）当时，，即小球开始振动时，离开平衡位置位移是

求函数的对称轴方程、对称中心坐标。
解：由正弦函数的周期性知，过正弦函数图像的最高点或最低点且与X轴垂直的直线均是对称轴；图像与X轴的交点均为对称中心。
若，必有，所以对称轴方程为
令=0，则，得对称中心坐标为
注：余弦、正切函数的对称轴（正切无）、对称中心均可类似推出，可不用记忆前表公式。

O

求函数的单调递增区间。
解：因为，则该函数的单调递增区间，
就是函数的单调递减区间，且。
数形结合，则有，
得，即函数的单调递减区间为

求函数的最小正周期、单调区间、最值。
解：因为，则
，所以
所以，正小正周期为T=，当时，函数单调递增，即单调递增区间为；当时，函数单调递减，即单调递减区间为。当
时，函数最大值为2；当时，函数最小值为-2。

[平面向量] 练习题
关于向量说法的判断。
方向相同或相反的向量是平行向量。（错：应是“方向相同或相反的非零向量是平行向量”，因为零向量平行于任一向量。）
零向量的长度是0。（正确）
长度相等的向量是相等向量。（错：应是“长度相等且方向相同的向量是相等向量”）
共线向量是在一条直线上的向量。（错：共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上）
就是所在的直线平行于所在的直线。（错：包括所在的直线平行于所在的直线，也包括所在的直线重叠于所在的直线）

设是正六边形的中心，且。问：
（1）该正六边形的线段共可组成多少个向量？ E D
（2）与的模相等的向量有多少个？
（3）与的模相等但方向相反的向量有哪些？ F O C
（4）与共线的向量有哪些？
（5）列出与相等的所有向量。 A B
解：（1）30个；（2）23个；（3）
（4）
（5）

如右图，平行四边形的二条对角线相交于点M，且，试用表示向量。 D C
解： A M B

所以：=，
，

已知且。试用向量表示。
解：，解得

如右图，平行四边形的二条对角线相交于点M，且，DP=DM，
MQ=MC，试用表示向量。 D P C
解： M Q
所以 A B
又，所以

一条船从长江南岸A点出发，以5Km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东25Km/h。（1）用向量表示船速、江水流速及船实际航行的速度。（2）求船实际航行的速度的大小与方向（精确到度）。 D C
解：（1）如右图示，向量表示船速，
表示江水流速，表示船实际航行的速度。 A B
在直角三角形ABC中，，，则=5.4
又因为，，由计算器得。答：。。。

下列各组向量中，可以作为基底的是哪些？（1）；（2）；（3）；（4）
解：[提示]两个不共线的非零向量可以构成一组基底。第（2）组可以。

已知，求的坐标。
解：，

已知平行四边形三个顶点的坐标分别为，求顶点D的坐标。
解：（画图）设顶点D的坐标为。因为
，由得
所以，解得，即顶点D的坐标为

已知，且，求。
解：因为，则有，即，解得

已知二个非零向量不共线，设，，，求证：三点共线。提示：如果共线，必有；如果，则必有共线（为非零向量，可以是零向量）。
证明：===
所以与共线。又因为与有公共点A，所以，三点共线。

已知二个非零向量不共线，设，，，（1）求证：三点共线；（2）若使与共线，试确定实数的值。
（1）证明：
所以，与共线。又因为与有公共点B，所以三点共线。
（2）解：若使与共线，则必存在一个实数，使得
=，整理得
因为非零向量不共线，所以只能有，解得

已知，证明：三点共线。
证明：，
因为，所以向量共线
又因为有公共点A，所以三点共线。

已知P是线段上的一点，的坐标分别为：（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段的三等分点时，求点P的坐标。
P2
P1
P
O
Y
X
解：如图。（1），P的坐标为
（2）当P是线段的三等分点时，分二种情况，
第一种，第二种
当第一种时，

即P的坐标为，同理，求出第二种情况P的坐标为
注：定比分点公式，、、是直线上的点，

已知，，当时，分别求点坐标。
解：，
当时，，点坐标为
当时，，点坐标为
当时，，点坐标为
当时，，点坐标为

已知点，及，，，求点的坐标。
解：，，则，所以
，，
又，所以点坐标为
，所以点坐标为
，所以点坐标为
另解：，设，则有，

判断下列各点的位置关系，并给出证明：（1）；
（2）；（3）
解：（1），，因为（或者因为），所以共线，又因为向量有公共点A，所以三点共线。
（2），，因为（或者因为），所以共线，又因为向量有公共点A，所以三点共线。
（3）同理可求出。

设是平面内向量的一组基底，证明：当时，恒有。
证明：（反证法）因为是平面内向量的一组基底，所以不共线。
假设，则由得，，若，则共线，与题意矛盾，所以；同理，得。所以

已知，且与的夹角，求。
解：
,

已知，，求。
解：，

已知中，，求。

B
C
A
解：,夹角为
所以==

先作图，观察以为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；（2）；
（3）
C C
B A
B
A B
A C
解：（1）是直角三角形，其中B为直角。证明如下：
，因为
所以，所以角B是直角，该三角形是直角三角形。
（2）是直角三角形，其中A为直角。证明如下：（略）
（3）是直角三角形，其中B为直角。证明如下：（略）

求证：为顶点的四边形是一个矩形。
证明：，， D C
所以，即是一个平行四边形。
又，所以 o A
所以该四边形是一个矩形。 B

已知，，求与的夹角。
解：
即，得，

已知，，求与的夹角。
解：因为，二边同时平方得，，得
所以，得

已知，，且，求的坐标。
解：设的坐标为，则，解得，或
则，或

已知，求与垂直的单位向量的坐标。
解：设与垂直的单位向量的坐标为，则有
解得，或，所以或

如图，单位圆上二点的坐标为，即OA与OB同X轴的夹角分别为，求。 B
解： o A
则，又
所以==

利用向量知识，证明：对于任意，恒有：。
证明：设向，则，其中是二个向量的夹角。
，二边平方得，
因为所以

利用向量知识，证明勾股定理：在直角三角形中，，则有。
C
B
A
证明：在直角三角形中，，
，二边平方，得
，，所以，成立。

在中，若M是三角形的重心，求证：。
N
E
A
B
C
M
F
D
证明：如图，D、E、F分别是三边的中点，即M是重心。
延长MD至N，使MD=DN，所以BMAN为平行四边形。
所以，
又，MC=2MD=MN，所以
所以，，即

利用向量知识，证明余弦定理：
证明：如上题图（三角形为任意三角形）。因为，二边平方得
，即
即

点，直线，点R是直线上一点，若，求点P轨迹方程。
解：设，则，
因为，则==，则有
解得，代入直线方程，得，即点P的轨迹方程为

中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于O点，设，证明：（1）A，O，E三点在一条直线上；且
B
C
O
E
D
F
A
(2)用表示向量。
解：（1）证明：由题意知，，二向量共线且有一个
公共点，因此三点在同一直线上，且
同理可证明，所以
（2）

两个粒子A、B从同一源发射出来，某一时刻的位移分别为：（1）写出此时粒子B相对于粒子A的位移；（2）计算在方向上的投影。
解：（1） Y
（2）设的夹角为，则， S
则在方向上的投影为
O X

平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，，的夹角为45度，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小。
解：（1）因处于平衡状态，则
二边平方得，，即
得，，即的大小为N。
（2）设夹角，因平衡状态，则，二边平方得，，
即，得，因，所以

已知对任一平面向量，把绕其起点A逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角后得到点P。
（1）已知平面内点A，点B，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标。
（2）设平面内曲线C上的每一个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程。
解：（1）B绕点A沿顺时针方向旋转，相当于逆时针方向旋转。设点P坐标
，
又=
所以，，解得，即点P的坐标为
（2）设曲线C上的任一点的坐标为P，绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的坐标为，则，即
又，代入得，整理得，即原来曲线C的方程为（）

O
A
Y
X
B
已知平面直角坐标系中，点A（-3，-4），B（5，-12）
（1）求的坐标及模；
（2）若，求的坐标；
（3）求。
解：（1）=（5，-12）-（-3，-4）=（8，-8），
（2），
（3），二边同时平方，得
即
又，，
代入上式，得=33

河宽，船从A处出发至河对面，已知船的静水速度，水流速度，(1)要使行驶时间最短，求船行驶方向与水流方向的夹角；
(2)要使航程最短，需用的时间是多少？
解：（1）设船航行至对岸时，行驶距离，

A
合成速度为，与的夹角为，则行驶时间
又，且，所以，
则=，要使最小，须，又，所以
（2）航程最短时，则船舶实际航行方向必须垂直于岸，即与的夹角为90度。（略）

已知，，，求，使。
解：，则，得

已知的顶点坐标为，求。
解：，，
因为，所以，即，，该三角形为直角三角形。
又，，，则
如果不是直角三角形，解法如：
，二边同时平方得，，即
，即，

若是夹角为60度的二个单位向量，，求的夹角。
解：，，
，则

所以，

已知向量满足，，求证是正三角形。
证明：由已知条件，得，
则有=，即=
则有=
因为，所以
所以，，同理，
由三角形全等，得出，所以，是正三角形
注：本题巧妙。但关键还是离不开同一思路，即如何由向量问题转变为向量中的数量问题。

如图，已知四边形是等腰梯形，E、F分别中二腰中点，M、N是线段EF上的二个点，且EM=MN=NF，下底是上底的二倍。若，求。
D
C
B
A
F
E
N
M
解：
因为，，，
，所以，=

在中，，那么点O在什么位置？
解：因为，所以，即，即
同理，，，所以O是的垂足。

已知向量，（1）求证：；（2）是否存在不等于零的实数，使，且？如果存在，试确定的关系式；如果不存在，试说明理由。
解：（1）证明：因为，所以
（2）假设存在不等于零的实数，那么满足：，即
，整理得，
因为，，所以，上式等于
，即，当时，，所以存在不等于零的实数。

已知向量，，，且A为锐角。（1）求角A的大小；（2）求函数的值域。
解：（1）由题意，，即
得，由A为锐角，得
（2）由（1），
因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，所以的值域为

已知向量，，设函数，（1）求函数值域；（2）已知为锐角三角形，A为内角，，求的值。
解：（1）由得，，所以的值域为
（2）由，得，，所以
，所以=
即=

已知直线，与向量与该直线平行，求。
解：直线的斜率为，则向量与该直线重合，则向量与向量平行。
所以，，解得或。

已知作用在点上的三个力，求合力的终点坐标。
解：=，所以终点坐标为

已知点，D是线段AB的中点，延长CD至E，使，求点E的坐标。 E
解：如图设E（），， B D A
则点D的坐标为， C
，所以，得，

设A、B为圆上的二点，A、B和圆心O不共线，（1）求证：与垂直；（1）当，，时，求。
解：（1）证明：，所以=
所以与垂直。
（2），，则
即，所以，二边平方得
，因为，所以，所以
所以，组成联立方程
，解得

设向量（1）若与垂直，求；（2）求的最大值；（3）若，求证：。
解：（江苏高考）（1）因为与垂直，则有，即
，即
，所以=2
（2）因为，所以

所以，的最大值为，即
（3）由，即，所以。

已知两个力，作用于同一质点，且使该质点从点移动到点（其中是X轴、Y轴正方向上的单位向量）。求（1）分别对质点做的功；（2）的合力对质点做的功。
解：（1）由题意，，
则：，

（2），

已知圆。（1）直线过点，且与圆C相交于A、B两点，，求直线的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于X轴的直线，设与Y轴的交点为N，向量，求动点的轨迹方程。
解：(1)当直线垂直于X轴时，直线的方程为，
A

Y
X
B
P
O
其与圆的交点坐标为和，两点间的
距离为，满足题意。当直线不垂直于X轴时，
设斜率为，其方程为，即，
设圆心到此直线的距离为，则，
N
Y
X
O

M
Q
所以，解得，得直线的方程为，
综上，直线的方程为或。
（2）设点的坐标为，点M的坐标为
则点N的坐标为，因为，
则=+=，即，
又，所以。因为直线平行于X轴，所以，则点的轨迹方程为（）

已知两个非零向量不共线。（1）设，，，求证：A、B、D三点其线；（2）试确定实数，使和共线；（3）设，，与的夹角为，试确定实数，使与垂直。
解：（1）证明：，所以，又有一个公共点，所以A、B、D三点其线；
（2）若和共线，则必存在一个实数，使
即。
因为为非零不共线向量，则：，解得
由，得，即
，即
即，解得

已知平面坐标内三点。（1）求和的大小，并判断的形状；（2）设M为BC的中点，求。
A
B
C
M
解：（1），则
，则
，即。又
所以，是等腰直角三角形，
（2）设。因为，则
，即，所以

已知向量的夹角为，，，求向量的模。
解：，即
，解得（舍去），故

已知向量，其中分别是X轴、Y轴上的单位向量。求：（1），；（2）夹角的余弦值。
解：（1）分别是X轴、Y轴上的单位向量，则，则
，，所以，
，

（1）设夹角为，因为，，则

[平面向量] 高考真题
下列说法中，正确的有（1）如果非零向量与共线，那么的方向必与、之一的方向相同；（错：时，零向量的方向是任意的）（2）在中，必有；（正确）（3）若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；（错：三个向量共线时，该式也会成立）（4）若与均为非零向量，则与一定相等。（错：只有二向量同向时才能成立）

B
A
F
D
E
C
如图，D，E，F分别是三条边的中点，则：（1）；
（2）；
（3）；
（4）。解：A。

在中，点D在AB上，CD平分角ACB，若，，，求。

C
B
D
A
解：（自画草图）由角平分定理知，，
则，
所以，

Q
P
C
B
A
在中，点P在BC上，且，Q是AC的中点。若，，求的坐标。
解：（此类题一般为选择题，自己画草图。如果是简答题，
且坐画坐标系较复杂时，考试中一般会画出坐标系，并
标出点、线，不需自己画坐标系。当然，不是很复杂的
坐标系得自己画。本题直接画出坐标系较复杂，得自己
画草图，正式答题时，草图不需画）
，则
，

如图，已知点A（2，0），B（2，2），C（1，3），求AC和BO的交点D的坐标。
解法一： 同共线，则设，
Y
A
B
C
O
D
X

又 ，且同共线
，得
，D的坐标为。
解法二：设点D的坐标为，则有，
同共线，则有，即，即
同理，，，得，即
得联立方程，，求得，即D的坐标为。
解法三： 同共线，则设，
则点D的坐标为D，，又
AD与AC共线， ，得，则D的坐标为。

若向量，试用向量表示向量。
解：设，其中，则
则有，得。所以

已知集合，，求。
解：依题意，，，则时，必有，则，得，所以，所以

E
B
C
M
A
F
D
已知和点M满足，若存在实数，使得成立，求实数的值。
解：因为，则M是三角形的重心，
则有，即

所以。

注：（1）重心定理：三角形的三条中