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三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
分层A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是 ( )．
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2θ
解析 因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan >0，故选C.
答案 C
2．(2011·新课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝ ( )．
A．－ B．－
C. D.
解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为 ( )．
A．40π cm2 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析 72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．
答案 B
4．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单 位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
解析 因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
答案 －
6．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角．
解析 由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin 知sin ≤0，所以只能是第四象限角．
答案 四
三、解答题(共25分)
7．(12分)(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 (1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
8．(13分)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.
解 ∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－，
又∵tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－.
分层B级 创新能力提升
1．(2011·江西改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ ( )．
A．－8 B．8
C．－4 D．4
解析 根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．
再由三角函数的定义得，
＝－，
又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．
综上知y＝－8.
答案 A
2．(2012·舟山模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝ ( )．
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析 据三角函数定义知，tan α＝＝＝tan 70°.故锐角α＝70°.
答案 B
3．(2013·金华模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析 由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．
答案 2
4．函数y＝的定义域为________．
解析 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
5．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解析 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.
∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，
∴AB＝2sin 1 (cm)．
6.如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．
(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.
解 (1)根据三角函数定义可知
sin∠COA＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
又sin∠COA＝，cos∠COA＝，
∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60°
＝·－·＝.
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