北京市海淀区2011届高三数学查缺补漏题高考预测.doc

2011年海淀区高三数学查漏补缺题
1.数学思维方法的落实
高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题.如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次.
例1：设函数有极值.
（Ⅰ）若极小值是，试确定；
（Ⅱ）证明：当极大值为时，只限于的情况.
解：（Ⅰ）,
由得或.
① 当时，，单调递减，函数无极值，与题意不符，故；
② 当时，为极小值点.
故，当极小值为时，；
③ 当时，同理可得，当极小值为时，.
由①②③知：或.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在处取极大值，当时，的极大值为；
当时，在处取极大值.
现在的问题是当时是否？
解方程，得，即（*）
设则，
所以，在上单调递增，则有，此时方程（*）无解，故当时，的极大值不可能为.
根据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数的极大值为时，只限于.
说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.
例2.已知函数.
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调减，且在上单调增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若，函数的切线中总存在一条切线与函数在处的切线垂直，求的最小值.
解：（I）由已知，，所以，
所以函数在处的切线方程为
（II）解1:①当时，，满足在上，且在上，所以当时满足题意；
②当时，是恒过点，开口向下且对称轴的抛物线，由二次函数图象分析可得在上，且在上的充要条件是 解得，即
综上讨论可得
解2：由已知可得在上，且在上，
即在上成立且在成立；
因为在上，在上
所以
（III）当时，
由题意可得，总存在使得成立，即
成立，因为，当时，
，所以，解得
所以的最小值为

例3. 如图，矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在上，求矩形ABCD面积的最大值.

解：由图，设A点坐标为,,则，由图可得，记矩形ABCD的面积为S，易得：
令，得
所以，令，得，
因为，所以.
随t的变化情况如下表：
t

+
0
-

极大值

由上表可知，当，即时， S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最大值为.
说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.

例4. 已知，，
（Ⅰ）对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当求函数()上的最小值.
解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.
也就是在恒成立.
令 ，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.
（Ⅱ）当 ，
，由得.
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值，
②当，，因此上单调递增，
所以.
例5. 已知数列满足，．定义数列，使得，．若，则数列的最大项为 （ B ）
A． B． C． D．
例6. 假设实数是一个等差数列﹐且满足及﹒若定义函数，其中﹐则下列命题中错误的是（ B ）
A. B. C. 函数为递增函数
D. ，不等式恒成立.
说明：数列是函数，用函数的观点看待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面.
2.理解数学概念的本质的落实
学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上.落实基本概念，不能简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握情况，帮助学生理解数学概念的本质.
例7. 函数的图象为，如下结论中不正确的是（ D ）
（写出所有正确结论的编号） 　
A. 图象关于直线对称
B.图象关于点对称
C.函数在区间内是增函数
D.由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 　

例8．定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 ．答案：1.
例9．已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于（ A ）
A． B．0 C．1 D．2
例10．已知：数列满足，，则的最小值为（ B ）
8 7 6 5
例11．两条分别平行于轴和轴的直线与椭圆：交于、、、四点，则四边形面积的最大值为 答案：30.
3.解决数学问题的一般思路的落实
如何分析函数的问题？如果是数列求和问题，应该先想什么？拿到一个解析几何的题目，如何分析？立体几何的问题要思考什么？等等，类似这样的问题，要让学生多想想，通过不同的问题，让学生多思考，过去讲过的、做过的很多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思考的方法而不是题型套路.查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方面，更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方.
例12．已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么当四边形面积取最小值时，弦　　　 .
解析：过圆心C（1，1）作直线的垂线，垂足为P,这时
四边形面积的最小值为，四边形中
.
例13．已知点和在直线的两侧，则的取值范围是 .
解析：两点位于直线的两侧，故

例14.已知点、，是直线上任意一点，以、为焦点的椭圆过点.记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 ( B )
A.与一一对应 B.函数无最小值，有最大值
C.函数是增函数 D.函数有最小值，无最大值
解析：依据椭圆定义，

当点在（关于直线对称）上时，
取得最小值，
此时，右图分析可得当点向左或向右移动时，都在增大。
所以函数无最小值，有最大值.选B.

例15．双曲线的中心、右焦点、左顶点分别为，若以为顶点为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点在以为圆心为半径的圆上，则双曲线的离心率为_____________
解析：设以为顶点为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点为（），代入抛物线的方程，得；又 ，，由抛物线的定义可得，所以，即，故，可得.

例16．函数在一个周期内，当时，取最小值1;当时，最大值3.
(I)求的解析式；
(II)求在区间上的最值.
解：(I)∵在一个周期内，当时，取最小值1;当时，最大值3.
∴，，，
由当时，最大值3得
，∵，∴

(II) ∵， ∴
∴当时，取最大值；
当时，取最小值1.
例17. 设Sn是正项数列的前n项和，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）的值．
解：（Ⅰ）当n = 1时，又解得a1 = 3．
当n≥2时， .
，
∴ ．
（），
是以3为首项，2为公差的等差数列．
．
（Ⅱ）． ①
又因为 ②
②－①

．
所以，　．
例18（理科）． 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平
面ADE，若存在，求点M的位置，
不存在请说明理由．
解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

,,
取BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且
又，所以C的坐标为
，，
，
故DE⊥AC. 　　　
（Ⅱ）设平面BCE的法向量为则
即
令得：又　　
设平面DE与平面BCE所成角为，则
.
(III) 设存在点M使得CM∥面ADE，则，
,得，
又因为，所以，
因为CM∥面ADE，则即，
得 故点M为BE的中点时CM∥面ADE.
例19．已知椭圆过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.
解：（Ⅰ）由题意可知，，而且.
解得，所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）.设，，
直线的方程为，令，则，
即；
直线的方程为，令，则，
即；

而，即，代入上式，
∴，所以为定值.

例20.（理科）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

视觉
视觉记忆能力
偏低
中等
偏高
超常
听觉
记忆
能力
偏低
0
7
5
1
中等
1
8
3

偏高
2

0
1
超常
0
2
1
1
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．
（Ⅰ）试确定、的值；
（Ⅱ）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
（Ⅲ）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，
则，解得．所以．
答：的值为6，的值为2．
（Ⅱ）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．
方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，
则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，
所以．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．
方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，所以．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．
（Ⅲ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，
的可能取值为0，1，2，3，
因为，，
，，
所以的分布列为:

0
1
2
3

所以．
（或服从参数为N=40，M=3，n=24的超几何分布，）
答：随机变量的数学期望为．
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用心 爱心 专心