线性代数答案.doc

第三版

编者：何伟

第一章 矩阵
习题1.2
1 注意：矩阵的加减，只有同型矩阵才可以相加减；给一个矩阵乘以一个数，要对矩阵的每一个元素都要乘以这个数。
2 将原式子稍作变形：通过移项得，然后按照矩阵的加减乘运算进行。
3 ⑴ ;
⑵ 表示1997年和1998年各种油品的产量之和.表示1998年和1997年各种油品的产量之差.
⑶ 经济意义是：1997年和1998年各种油品的平均产量
4 简单，略。（注意：矩阵乘法应注意的三点，书）
5 ⑴

所以由构成的图形如下

⑵ 当时，,仿照第一小题，依次算出.由这一组点构成的图形如下：

当时，,同样的道理，依次算出.由这一组点构成的图形如下：

6 略（仿照第3题）
7 注意：两个矩阵可交换就意味着,
⑴ 设与可交换的矩阵是，则由得
，计算得
再根据两个同型矩阵相等则对应元素相等，我们得到如下的方程组：
解得
以上方程是不定方程，就是方程的解是不唯一的，即是任意的常数。
所以与可交换的矩阵，是任意的常数。
⑵ 做法和⑴相同。
8 ⑴ 证明：因为矩阵与矩阵可交换，所以得
而,
所以与是可交换的。
⑵ 证明：因为
所以与是可交换的。
⑶ 证明：因为右式

左式=右式，证明完毕。
9 ⑴ 直接计算（略）
⑵ 取,则

我们通过观察可以归纳得到矩阵
（注意，这个结论只是我们的猜测而已，至于对不对还有待我们进一步的证明）下面我们就用数学归纳法证明这个结论。
第一步，当时，结论显然是正确的。
第二步，假设当时，结论成立，即有
第三步，当时，，结论是成立的。
由此可得，
（注意掌握这种方法，先计算出前几项然后做出猜想，进而用数学归纳法证明结论的正确性）
后面的几个小题略掉。注意第三小题，一定把结论记牢，即，可以做进一步的推广。
10 第行第列的元素为：

第行第列的元素为：

（注意：第行第列的元素应该是矩阵的第行乘以矩阵的第行的转置）
第行第列的元素为：

（注意：第行第列的元素应该是矩阵的第列的转置乘以矩阵的第列）
11 ⑴
⑵ 略（仿照⑴）
12 略（参照书中课后答案，牢记矩阵乘法及数乘的运算法则）
13 证明：充分性

必要性的证明只需将上述过程倒着写一遍即可。
14 略（注意矩阵的乘法运算）
习题 1.3
同学们在做题之前不要急，让我们先约定几个符号以便做题的方便。
：表示行列式的行，例如：表示行列式的第行
：表示行列式的列，例如：表示行列式的第列
：表示交换行列式的第行和第行
：表示交换行列式的第列和第列
：表示把行列式第行的倍加到第行
：表示把行列式第列的倍加到第列
注意：一般约定俗成将行的变化写在等号的上面，将列的变化写在等号的下面。
1 ⑴⑵略
⑶
⑷
⑸ 直接用书中例题6的结论，只需令即可。
⑹

⑺ 这是一个范德蒙行列式，直接运用范德蒙行列式的结论。务必牢记结论。
⑻
2 ⑴
解一元二次方程 即可。
⑵ 略（仿照⑴的做法）
3 ⑴ ⑵ 略（仿照⑴的做法）
4 ⑴ ⑵
⑶

⑷⑸ 略 按照书中提示做，
不过通过做题要记住一个结论：
5 ⑴
证明：
⑵ 证明方法和⑴相同，请同学们自己证明。
6 ⑴
⑵

⑶ ⑷ 直接用书中的例题6的结论。【注意：对于每一列（或行）元素之和相等的行列式，我们总可以把各列（或各行）都加到第一列（或第一行），然后提取第一列（或第一行）的公因子，然后再想办法将所得的行列式化为三角形行列式，这是解决此类行列式的通用方法，我们可以管这种方法叫三角形法。】
⑸
7 ⑴
解方程
⑵ 略 解法和⑴相类似。提示：从第二行起，把每一行的（-1）倍加到上一行，然后按照最后一列展开，注意这是一个阶矩阵。
8 ⑴ 提示：将矩阵主对角线上的元素等价化成
然后直接利用书中例题5的结论。
⑵ 提示：这是一个箭形行列式，利用对角线上的元素的某个倍数加到某一边上，化为三角形行列式即可。这道题从第二列起，把每一列的加到第一列就可以啦！
⑶ 提示：第，然后按第一行展开即可。
9 ⑶ 选取第一列,第三列,第五列,前三行,可以的得到子式,其代数余子式为
则元行列式的值=。
（注意代数余子式的符号。）
⑴，⑵ 略 仿照⑶做。

注意：剩下的习题我会在上课的时候给大家讲解的。这样就不会太浪费时间，在很短的时间内达到最佳的学习效果。以上习题解答如有什么错误，还请各位同学指出。最后祝大家学习快乐。

本章小结
㈠ 行列式
1 个数按一定的规则进行运算，其结果为一个数。
2 要求：了解行列式概念，一定要掌握行列式的性质。会用行列式的性质和按行（列）的展开计算行列式。
㈡ 矩阵
1 矩阵不仅是线性代数的主要讨论对象，也是线性代数处理各种问题的主要具之一。
2 要求：理解矩阵概念，一定要掌握矩阵的运算及其运算规律，逆矩阵的求解，矩阵的初等变换及矩阵的秩。
3 区别矩阵的初等变换，初等矩阵，行列式的性质（性质1，性质3，性质5）。