等差等比数列(学生用).doc

等差等比数列
【基础过关】
1．等差数列的定义： － ＝d(d为常数)；
等比数列的定义：＝q(q为不等于零的常数)．
2．等差数列的通项公式：
（1）an＝a1＋ ×d； （2）an＝am＋ ×d
等比数列的通项公式：
（1） an＝a1qn－1； （2）an＝amqn－m
3．等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ ．
等比数列的前n项和公式：Sn＝
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．
等比中项：如果a、b、c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等差数列{an}的两个重要性质：
（1）m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
（2）数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
等比数列{an}的几个重要性质：
（1）m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
（2）Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
（3）若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．
6．判断和证明数列{an}是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an―an―1（）为同一常数．
（2）通项公式法：
①若an＝a1＋(n－1)d ＝ak＋(n－k)d，则{an}为等差数列；
②若an＝a1q n―1＝akq n―k，则{an}为等比数列．
（3）中项公式法：验证2an＋1＝an＋an＋2(＝an＋an＋2)n∈N都成立．
【基础自测】
1．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________．
2．已知等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an＝ ．
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S6＝36，Sn＝324，Sn－6＝144(n＞6)，则n等于 ．
4．已知等比数列{an}公比为，则＝ ．
5．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 ．
6．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的 条件．
7．在等比数列{an}中，an＞0，(n∈N*)且a3a6a9＝8，则
log2a2＋log2a4＋log2a6＋log2a8＋log2a10＝ ．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝20－a6，则S10＝ ．
9．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 ．
①；②{a2n}；③；④
10．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝0，对任意正整数n，m(n＞m)满足an2－am2＝an－man＋m，
则a119＝ ．
11．在圆x2＋y2＝5x内，过点(，)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长的弦长为an，若公差d∈(，]，那么 n的取值集合为 ．
12．数列{an}中a1＝1，a5＝13，an＋2＋an＝2an＋1；数列{bn}中，b2＝6，b3＝3，bn＋2bn＝b2n＋1，在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，…，Pn(an，bn)，…，则向量＋＋＋…＋的坐标为 ．
13．已知各项均正的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15的值为 ．
14．在数列{an}中，如果对任意n∈N＋都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列， k称为公差比．现给出下列命题：
（1）等差比数列的公差比一定不为0； （2）等差数列一定是等差比数列；
（3）若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；
（4）若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．
其中正确的命题的序号为 ．
【题例分析】
例1．设数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2…，求{cn}的前10项和．

例2．已知数列{an}中，a1＝1且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若函数f(n)＝(n∈N*，且n≥2)，求函数f(n)的最小值．

例3．有固定项的数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求这个数列的项数，抽取的是第几项．

例4．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知成等比数列，求数列{kn}的通项公式．

【巩固训练】
1．已知{an}为等差数列，前10项的和为S10＝100，前100项的和S100＝10，求前110项的和S110．

2．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由．

练习：已知an＝(n∈N＋)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别为什么？

3．数列{an}的前n项为Sn，Sn＝2an－3n(n∈N*)．
（1）证明：数列{an＋3}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式an；
（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

4．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．
①求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
②设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn＞cSk都成立．
求证：c的最大值为．

5．已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：
．
（1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．

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