第7章 代数系统.doc

习题7

1．在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A.a*b=a-b B.a*b=max{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b|
解：B

2.设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
解：2，6

3．设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；
解：9，3

4．设〈G,*〉是一个群，
(1)若a,b,x∈G，ax=b，则x=( )；
(2)若a,b,x∈G，ax=ab，则x=( )。
解：（1）a-1b （2）b

5.在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
解：k
(a-1)k = a-1×k = ak×(-1) = (ak)-1 = e-1 = e，故a-1的阶是k。

6.下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A.<N,> B.<Z,> C.<{2,3,4,6,12},|（整除关系）> D.<P(A),>
解：D

7．设*是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a*b=b*a，则a=b。试证明：
（1）aA,a*a=a；
（2）a,bA,a*b*a=a;
（3）a,b,cA,a*b*c=a*c。
证明：
（1）aA,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。
（2）a,bA,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),
(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。
故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。
（3）a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c
且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。
由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，
故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c
且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，
即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。
从而由已知条件知，a*b*c=a*c。

8．试证：设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e0。
证明：
用反证法证明。假设e=0。
对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元，则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。
从而假设错误。即e0。

9．试证：设半群<S,·>中消去律成立，则<S,·>是可交换半群（即运算·满足交换律）当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。
证明：
a,bS，（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b
=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2；
a,bS，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。

10．Z上的二元运算*定义为：a,bZ，a*b=a+b-2。试证：<Z,*>为群。
证明：
（1）a,b,cZ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,
a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，
故(a*b)*c=a*(b*c)，从而*满足结合律。
（2）记e=2。对aZ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是Z关于运算*的单位元。
（3）对aZ，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。
综上所述，<Z,*>为群。

11．设<G,·>是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。试证a·bb·a。
证明：用反证法证明。
假设a·b=b·a。则a4·b= a3·（a·b）= a3·(b·a)=(a5·b)·a
=(a2·(a·b))·a=（a2·（b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a)
=(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2 =((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2
=b·(a2·a2)=b·a4。
因为a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。
这与已知矛盾。

12．试证：设<G,>是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。
证明：
因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。
若x1,x2都满足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2。
由于*满足消去律，故x1=x2。
从而对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。

13．设<G,·>是群，作f:GG,aa-1。证明：f是G的自同构G是交换群。
证明：
设f 是G的自同构。
对a，bG，a·b=(b-1·a-1)-1=(f(b) ·f(a))-1=(f(b·a))-1=((b·a)-1)-1=b·a。故运算·满足交换律 ，即G是可交换群。
因为当ab时，a-1b-1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对aG，有f(a-1)=(a-1)-1=a。故f是G到G上的满函数。
对a，bG，因为G是可交换群，故f(a·b)=(a·b)-1=(b·a)-1=a-1·b-1=f(a)·f(b)。故f满足同态方程。
从而f是G 的自同构。

14．证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
证明：（用反证法证明）
设在元素不少于两个的群<G,>中存在零元。对aG, 由零元的定义有 a*=。
<G,>是群，关于*消去律成立。a=e。即G中只有一个元素，这与|G|2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。

15．<G,>是一个群，aG，其阶为12，b=(a-1)8。则b的阶为（ ）。
A.3 B.8 C.12 D.24
解：A
b=(a-1)8=(a-1)12a4= a4，b3= (a4)3=a12=e，故b的阶为3。

16．设<G,·>是群，aG。令H={xG|a·x=x·a}。试证：H是G的子群。
证明：c，dH，c·a=a·c,d·a=a·d。
故(c·d)·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a)·d=(a·c)·d=a·(c·d)。从而c·dH。
由于c·a=a·c,
c·a=a·cc·a·c-1=a·c·c-1c·a·c-1=ac-1·c·a·c-1= c-1·a a·c-1= c-1·a，
所以a·c-1=c-1·a。故c-1H。从而H是G的子群。

17．在一个群<G,*>中，若A和B都是G的子群。试证：若AB=G，则A=G或B=G。
证明：用反证法证明。
若AG且BG，则有aA,aB且bB,bA。因为A，B都是G的子群，故a,bG，从而a*bG。
因为aA,所以aA。若a*bA,则b= a*(a*b)A，这与aA矛盾。从而a*bA。
同理可证a*bB。
综合可得a*bAB=G，这与已知矛盾。从而假设错误，得证A=G或B=G。

18．试求出8阶循环群的所有子群。
解：设G是8阶循环群，a是生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。循环群的子群也是循环群。
<e>={e},
<a>=<a3>=<a5>=<a7>={e,a,a2,..,a7},
<a2>=<a6>={e,a2,a4,a6},
<a4>={e,a4}。

19．试证：设a是一个循环群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。
证明：
xG，因为a是〈G，*〉的生成元，所以存在整数k，使得x=ak。
故x=((a))=((a))=(a)。从而a-1也是〈G，*〉的生成元。

20．求下列置换的运算：
（1）
（2）
解：
（1）=
（2）=
==

21．判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域。如果不构成，说明理由。
(1) A= {a+bi | a,b∈Q}, 其中i2= -1, 运算为复数加法和乘法。
(2) A={2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。
(3) A={2z| z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。

（4）
A={x|x≥0∧x∈Z}, 运算为实数加法和乘法。
解：
（1）是环，是整环，也是域。
（2）不是环，因为关于加法不封闭。
（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。
（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。

22．设<L, >是格，a,b,c,dL。试证：若ab且cd，则：acbd
证明：因为ab，cd，所以a=ab,c=cd。从而
(ac)(bd)=((ac)b)d=(b(ac))d=((ba)c)d=a(cd)=ac，
所以acbd。

23．设L是有界格，且|L|>1。证明：01。
证明：用反证法证明。设0=1。则任取aL，则由于L是有界格，故a1且0a。即0a1。因为0=1且是L上的偏序关系，所以a=0。这与已知|L|>1矛盾。

24．在布尔代数中，证明恒等式a(b)=ab
证明：a(b)=(a)(ab)=1(ab)=ab

25．在布尔代数中，证明恒等式(ac)(b)(bc)=(ac)(b)
证明：
((ac)(b))(bc)=((ac)(bc))((b)(bc))
=(abc)(bc)=(a)bc=1bc=bc,
故 bc(ac)(b)，从而
(ac)(b)(bc)=(ac)(b)。