第7章 代数系统.doc

习题71在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A.a*b=a-b B.a*b=maxa,b C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b|解：B2.设A=2,4,6，A上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b，则在中，单位元是( )，零元是( )。解：2，63设A=3,6,9，A上的二元运算*定义为：a*b=mina,b，则在中，单位元是( )，零元是( )；解：9，34设G,*是一个群，(1)若a,b,xG，ax=b，则x=( )；(2)若a,b,xG，ax=ab，则x=( )。解：（1）a-1b （2）b5.在一个群G,*中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。解：k(a-1)k = a-1k = ak(-1) = (ak)-1 = e-1 = e，故a-1的阶是k。6.下列哪个偏序集构成有界格（ ）A. B. C. D.解：D7设*是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a*b=b*a，则a=b。试证明：（1）aA,a*a=a；（2）a,bA,a*b*a=a;（3）a,b,cA,a*b*c=a*c。证明：（1）aA,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。（2）a,bA,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。（3）a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c)=a*(c*(a*b)*c)。由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c)= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。从而由已知条件知，a*b*c=a*c。8试证：设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|1，则e0。证明：用反证法证明。假设e=0。对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元，则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|1矛盾。从而假设错误。即e0。9试证：设半群中消去律成立，则是可交换半群（即运算满足交换律）当且仅当a,bS，（ab）2=a2b2。证明：a,bS，（ab）2=(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)=a2b2；a,bS，因为（ab）2=a2b2，所以(ab)(ab)=(aa)(bb)。故a(ba)b)=a(a(bb)。由于满足消去律，所以(ba)b=a(bb)，即(ba)b=(ab)b。从而ab=ba。故满足交换律。10Z上的二元运算*定义为：a,bZ，a*b=a+b-2。试证：为群。证明：（1）a,b,cZ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，故(a*b)*c=a*(b*c)，从而*满足结合律。（2）记e=2。对aZ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是Z关于运算*的单位元。（3）对aZ，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。综上所述，为群。11设是群，a,bG，ae，且a4b=ba5。试证abba。证明：用反证法证明。假设ab=ba。则a4b= a3（ab）= a3(ba)=(a5b)a=(a2(ab)a=（a2（ba）a=(a2b)a)a=(a(ab)(aa)=(a(ba)a2=(ab)a)a2 =(ba)a)a2=(ba2)a2=b(a2a2)=ba4。因为a4b= ba5，所以ba5= ba4。由消去律得，a=e。这与已知矛盾。12试证：设是一个群，则对于a,bG，必有唯一的xG，使得ax=b。证明：因为a-1*bG，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,bG，必有xG，使得ax=b。若x1,x2都满足要求。即ax1=b且ax2=b。故ax1=ax2。由于*满足消去律，故x1=x2。从而对于a,bG，必有唯一的xG，使得ax=b。13设是群，作f:GG,aa-1。证明：f是G的自同构G是交换群。证明： 设f 是G的自同构。对a，bG，ab=(b-1a-1)-1=(f(b) f(a)-1=(f(ba)-1=(ba)-1)-1=ba。故运算满足交换律 ，即G是可交换群。 因为当ab时，a-1b-1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对aG，有f(a-1)=(a-1)-1=a。故f是G到G上的满函数。对a，bG，因为G是可交换群，故f(ab)=(ab)-1=(ba)-1=a-1b-1=f(a)f(b)。故f满足同态方程。从而f是G 的自同构。14证明在元素不少于两个的群中不存在零元。证明：（用反证法证明）设在元素不少于两个的群中存在零元。对aG, 由零元的定义有 a*=。是群，关于*消去律成立。a=e。即G中只有一个元素，这与|G|2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。15是一个群，aG，其阶为12，b=(a-1)8。则b的阶为（ ）。A.3 B.8 C.12 D.24解：Ab=(a-1)8=(a-1)12a4= a4，b3= (a4)3=a12=e，故b的阶为3。16设是群，aG。令H=xG|ax=xa。试证：H是G的子群。证明：c，dH，ca=ac,da=ad。故(cd)a=c(da)=c(ad)=(ca)d=(ac)d=a(cd)。从而cdH。由于ca=ac,ca=accac-1=acc-1cac-1=ac-1cac-1= c-1a ac-1= c-1a，所以ac-1=c-1a。故c-1H。从而H是G的子群。17在一个群中，若A和B都是G的子群。试证：若AB=G，则A=G或B=G。证明：用反证法证明。若AG且BG，则有aA,aB且bB,bA。因为A，B都是G的子群，故a,bG，从而a*bG。因为aA,所以aA。若a*bA,则b= a*(a*b)A，这与aA矛盾。从而a*bA。同理可证a*bB。综合可得a*bAB=G，这与已知矛盾。从而假设错误，得证A=G或B=G。18试求出8阶循环群的所有子群。解：设G是8阶循环群，a是生成元。则G=e,a,a2,.,a7。循环群的子群也是循环群。=e,=e,a,a2,.,a7,=e,a2,a4,a6,=e,a4。19试证：设a是一个循环群G，*的生成元，则a-1也是它的生成元。证明：xG，因为a是G，*的生成元，所以存在整数k，使得x=ak。故x=(a)=(a)=(a)。从而a-1也是G，*的生成元。20求下列置换的运算：（1）（2）解：（1）=（2）=21判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域。如果不构成，说明理由。(1) A= a+bi | a,bQ, 其中i2= -1, 运算为复数加法和乘法。(2) A=2z+1 | zZ, 运算为实数加法和乘法。(3) A=2z| zZ, 运算为实数加法和乘法。（4）A=x|x0xZ, 运算为实数加法和乘法。解：（1）是环，是整环，也是域。（2）不是环，因为关于加法不封闭。（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。22设是格，a,b,c,dL。试证：若ab且cd，则：acbd证明：因为ab，cd，所以a=ab,c=cd。从而(ac)(bd)=(ac)b)d=(b(ac)d=(ba)c)d=a(cd)=ac，所以acbd。23设L是有界格，且|L|1。证明：01。证明：用反证法证明。设0=1。则任取aL，则由于L是有界格，故a1且0a。即0a1。因为0=1且是L上的偏序关系，所以a=0。这与已知|L|1矛盾。24在布尔代数中，证明恒等式a(b)=ab证明：a(b)=(a)(ab)=1(ab)=ab25在布尔代数中，证明恒等式(ac)(b)(bc)=(ac)(b)证明：(ac)(b)(bc)=(ac)(bc)(b)(bc)=(abc)(bc)=(a)bc=1bc=bc,故 bc(ac)(b)，从而(ac)(b)(bc)=(ac)(b)。