求解脉冲分数阶常微分方程的二阶数值格式.pdf

求解脉冲分数阶常微分方程的二阶数值格式谭 晴曹俊英(贵州民族大学数据科学与信息工程学院贵州 贵阳)摘 要:基于中点矩形公式和积分中值定理的思想构造了脉冲分数阶常微分方程的二阶显式数值格式 数值算例再次验证了该数值格式的有效性关键词:脉冲分数阶常微分方程脉冲 积分方程局部截断误差数值算例中图分类号:.文献标识码:文章编号:()():.():.():.:.:.():.():.:.():.():.:.收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金()贵州省科学技术基金项目(黔科合基础)作者简介:龙明丹()女研究方向:微分方程数值解通讯作者:王自强()男博士教授硕士生导师研究方向:微分方程数值解数理科学/第 卷 .:脉冲微分方程的理论研究在 世纪 年代以后得到了较大的发展 在物理学及最优控制等方面都有很多应用并成为近年来研究的一个重要领域其中文献总结了脉冲分数阶微分方程不同解的主要研究成果 文献利用不动点定理得到了()阶脉冲分数阶微分方程的一个柯西问题数值格式 基于龙格库塔方法文献和研究了线性脉冲和非线性脉冲 与整数阶脉冲微分方程不同当前研究脉冲分数阶微分方程的数值方法很少 我们根据文献的思想构造了()的脉冲分数阶微分方程的数值方法本文第一部分详细介绍了二阶显式数值格式第二部分给出了该格式的局部截断误差在第三部分对构造的数值格式进行数值实现来验证算法的有效性 数值算法的构造考虑如下的脉冲分数阶常微分方程:()()=()()()()()()()()()其中 :是连续的:满足 ()在 时的右、左极限表示为:()()和()()其中()式中()为()阶 分数阶导数定义为:()()()()其中()表示 函数假设 文献 已经证明了()式与下面的脉冲 积分方程:()()()()()()()()为了简单起见我们假设脉冲点在区间内均匀分布即 /我们将区间划分为:()(对于 时我们构造的数值格式为()()()()()/()()()/()()()/()()()对于 我们有()()/()()()()/()()()()/()()()其中()()(/)()(/)(/)()(/)()贵 州 科 学():将式()和式()代入式()得到:()下面我们继续构造当 时的格式如下:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()/()()()/()()()/()()()/()()()/()()()()()()其中对于 我们有()()/()()()()/()()()()/()()()()/()()()()/()()()其中()()(/)()(/)(/)()(/)()(/)(/)()(/)()()将式()和式()代入式()我们得到:()()()()综上所述整体的数值格式为:()()()()局部截断误差数值格式()的局部截断误差的估计如下:数理科学/第 卷定理:假设 如果 设()()则有()其中是一个依赖于 有关但与 无关的常数数值算例用两个数值算例来验证数值解相对于步长 的收敛性 以下两个算例我们设置 ()()()例:考虑初值问题()的右端项为如下形式:()其相对应的精确解为:()()()()()()()(在表 中我们列出了 和 取一系列不同的值时得到的最大误差并列出了相应的收敛阶 由表 可以看出对于所有大于 小于 的 收敛阶都接近于 这与理论结果是一致的表 当.和.的最大误差和收敛阶././././././.例:考虑初值问题():()()()()()()()()()()()(其相对应的精确解为:()()()()()()()(在表 中我们给出了当.时的最大误差和相应的收敛阶 表 的结果再一次验证了数值解的收敛阶为 表 当.和.的最大误差和收敛阶././././././.参考文献【】$.:.().():.:.():.:.:.:.:.收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金()贵州省科学技术基金项目(黔科合基础)作者简介:谭 晴()女研究方向:微分动力系统的数值方法通讯作者:曹俊英()女博士教授硕士生导师研究方向:微分方程数值解贵 州 科 学():