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谈谈五点作图法周启杰(山东单县教科研中心 2 7 4 3 0 0)【摘要】五点作图法是作正弦型、余弦型函数 简 图 的 重 要 方 法,本 文 通 过f x =As i n x+为什么可以用五点法作图,为什么用整体换元方法处理问题,并用运算的角度解释图象变换,说明五点法所蕴涵的思想价值.【关键词】五点作图法;整体换元;图象变换五点作图法是作正弦、余弦函数简图的重要方法,是在学生掌握正弦、余弦曲线图形特征的基础上,选择一个周期中的五个关键点,确定函数图象的基本形状.对于函数f x =As i n x+,利用五点作图法作出其图象的大致形状,借助图象直观分析问题,往往有利于获得解题思路,是解决函数f x =As i n x+具体问题的有效方法,也是五点作图法的价值所在.为什么 可以用五点 法作f x =As i n(x+)(A0,0)的图象?令X=x+,这样X每取一个确定的值,通过x=X-,都有唯一的x与之对应,于是函数y=As i nX图 象 上 的 点 与 函 数f x =As i n x+图象上的点一一对应.由于0,X增大时,x也相应增大,则X增大时,其对应的函数y=As i nX的图象上的点从左向右排列,对应的f x =As i n x+图象上的点也是从左向右排列,其 图 象 形 状 与 正 弦 曲 线 类 似.当X0,2 时,函 数y=As i nX的 图 象 与x-,2-时f x =As i n(x+)(A0,0)的图象相对应;当X 0,2 时,函数y=As i nX图 象 上 的 五 个 关 键 点0,0 ,2,1 ,0 ,3 2,-1 ,2,0 分 别 对 应f x =As i n x+A0,0 图象上的五个关键点-,0 ,2-,1 ,-,0 ,3 2-,-1 ,2-,0 ,因 此 可 用 五 点 法 作fx =As i n x+A0,0 的图象.为什么研究f x =As i n(x+)(A 0,0)的性质如单调性、对称性、最值时,往往整体换元,令X=x+,转化为研究y=As i nX的性质?这是因为二者间的单调区间、对称轴、对称中心、最高(低)点、零点等从左至右是一一对应的,比如,若M是y=As i nX的一个增区间,则f x 有唯一 的 增 区 间N与 之 对 应.求f x =s i n-2x+4 的增区间时,令-2+2k-2x+42+2k(k Z),求 得 的 结 果 恰 恰 是f x 的减区间,为什么?令 X=-2x+4,则x=-12X+8,当X对应的点从左至右方向从最低点上升到最高点时,相应的x对应的点恰恰是从右至左方向从最低点上升到最高点,恰对应f x =s i n-2x+4 的减区间.我们知道,由y=s i nx的图象经过一系列变换得到函数f x =As i n(x+)(A0,0)的图象,主要有两种途径,一是教材给出的:先平移,后横向伸缩(周期变化),最后纵向伸缩(振幅变化);二是先横向伸缩(周期变化),后平移,最后纵向伸缩(振幅变化).前者平移个单位长度,后者平移个单位长度.为什么?我们也可以从五点法中找到答案.对于函数f x =As i n(x+)(A0,0),令X=x+.这样X每取一个确定的值,通过x=X-计算x的值时,先计算X-,然后计算X-与的比值.第一步计算X-,其实质就是平移变换,在y=As i nX图象上任取点X,y0 ,即y0=As i nX,点X,y0 向 左0 或 向 右0 平 移个 单 位,对 应 的 点 就 是41 数理天地 高中版基础精讲2 0 2 3年9月上X-,y0 ,而 点X-,y0 就 是 函 数y=As i nx+图象上的点.为什么水平方向的平移法则是“左加右减”?X-就能清楚地说明这一点.第二步计算:X-与的比值,其实质就是横向的 伸 缩 变 换,点X-,y0 的 横 坐 标 伸 长01 为原来的1倍,对应的点就是X-,y0 ,而X-,y0 就 是 函 数y=As i n x+图象上的点.也就是说,函数y=As i nx图象上各点的横坐标向左0 或向右0 平移个单位(纵坐标不变),就得到函数y=As i nx+的 图 象;函 数y=As i nx+图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长01 为原来的1倍(纵坐标不变),就得到函数y=As i n x+的图象.由于X-=X-,如果通过x=X-计算x的值,其中是常数,第一步先计算X,然后再计算 X-.第一步运算的实质就是横向的伸缩变换,在y=As i nX图象上任取点X,y0 ,即y0=As i nX,点X,y0 的横坐标伸长01 为原来的1倍(纵坐标不变),对应的点就是X,y0 ,而X,y0 就是函数y=As i n x图象上的点.第二步运算的实质就是平移变换,点X-,y0 就是由点X,y0 向左0 或向右0 平移个单位(纵坐标不变)后对应的点,而X-,y0 是函数y=As i n x+图象上的点.也就是说,函数y=As i nx图象上各点的横坐标伸长01 为原来的1倍(纵坐标不变),就得到函数y=As i n x的图象;函数y=As i n x的图象向左0 或向右0,-22)的部分图象如图1所示,则=.图1解析 显然,34T=5 1 2-3 ,得T=,则=2.可以利用特殊点求(方法略),也可以利用平移求.如图2所示,易知点A的横坐标为6,函数f x 的图象可以看作是由函数y=2 s i n 2x的图象向 右 平 移6而 得 到,于 是2 s i n 2x-6 =2 s i n2x-3 ,于是得=-3.图2事实上,也可以利用五点法求,选择形如“”的一个周期,把点5 1 2,2 看作五点作图法中的第二个点2-2,2 ,于是2-2=5 1 2,得=-3.体会到五点作图法所蕴涵的思想,就可以利用五点法解决更多的问题.512 0 2 3年9月上基础精讲 数理天地 高中版