全空间中带位势热方程的采样时间最优控制.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(4):1269-1283Cientiahttp:/全空间中带位势热方程的采样时间最优控制卢维平刘汉兵*（中国地质大学（武汉）数学与物理学院武汉4 3 0 0 7 4)摘要：该文考虑全空间中带常值位势的热方程的采样时间最优控制问题，给出了一定条件下时间最优控制的存在性和最小范数时间最优控制满足的Pontryagin最大值原理为得到时间最优控制的存在性，该文建立了新的能观不等式，通过该不等式得到控制系统的采样渐近零能控，并结合Fenchel对偶理论对实现渐近零能控的控制的最小代价进行了刻画.关键词：时间最优控制；采样控制；渐近零能控；Pontryagin最大值原理.MR(2010)主题分类：3 5K05;49J20;93C57文章编号：10 0 3-3 998(2 0 2 3)0 4-12 6 9-15中图分类号：0 2 3 2文献标识码：A(1.1)1引言和主要结论1.1问题阐述设w是 R的一个非空可测子集，X是w的特征函数，N+为全体正整数，R+(0,+oo).本文考虑如下带位势的热方程采样控制系统的时间最优控制问题在RnR+中,y(-,0)=yo E L2(R),其中为拉普拉斯算子，c0和 0 为给定常数.在阐述系统（1.1)的时间最优控制问题之前，我们先给出一些必要的定义和记号.对任意给定的 0,采样控制us来自空间Lg(R+;L2(R)us e L2(R+;L2(R):us=Zx(-1),0)()u,u)21 C L2(ROty+Hy=Xwus,H-c,8i=1收稿日期：2 0 2 2-0 5-12；修订日期：2 0 2 3-0 3-0 6E-mail:;基金项目：中央高校基本科研业务费，中国地质大学（武汉）（CUGSX01)Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities,China University ofGeosciences,Wuhan(CUGSX01)*通讯作者1270其范数采用 L2(R+;L2(R)空间的范数。对每一个i E N+，X(i-1),i 5)(t)是时间区间(i-1)s,is)上的特征函数，is称为一个采样时刻，称为采样周期.对任意usEL(R+;L2(IRn)和任意 yoE L2(IR)，记y(;yo,us）为采样控制系统（1.1)的解.在本文中，我们记 IIIl和0的闭球，intBr和Br分别为其全体内点和全体边界点构成的集合；B1为Rn中以原点为中心的单位闭球，Q为Rn中以原点为中心的单位开立方体；对任意实数k,K 是使得k-1 0，对任意初值o E L2(R)Br,给定 M 0,考虑(TP)ywo:T(M,yo)=inf(hd:3k e N+,us UM s.t.y(h8;o us)e B),其中UM us E L(R+;L2(R):lullL2(R+;L2(Rn)M).关于（TP)问题，我们介绍以下必要的概念。定义 1.1（i）称 Ts(M,yo）为最优时间，若它是存在的；称 us EUM是一个允许控制，若存在ko EN+使得 y(ko;yo,us）EB r；全体允许控制组成的集合称为允许控制集；称u E UM 是一个最优控制，若 y(Ts(M,yo);yo,us)Br.(ii）称一个最优控制u是最小范数最优控制，若其对任意最优控制满足I ul/(0,T(M,yo);L2(Rn)I/u l(0,Ts(M,y);L2(R).1.2目标，研究现状和方法本文的研究目标有二：一是建立系统（1.1）的采样时间最优控制的存在性，为此，我们要先考查使得最优控制存在的控制限制集合UM应满足的条件；二是建立最小范数最优控制所满足的Pontryagin最大值原理，继而对其形式进行刻画.在现有的文献中，大多数关于发展方程时间最优控制问题的研究都是基于持续控制系统 1,4,9,15，也就是说其输入的控制是随时间连续变化的函数。但随着计算机技术和数字控制器的发展，控制非持续变化的系统在应用中会更加便捷和实用，因此对这类系统的研究也就颇具意义近年来，一些类型的非持续控制系统得到了广泛的研究，例如：脉冲控制系统3,11,20、采样控制系统 2,14,19,，其中前者指的是系统的控制只在有限个时刻取到不为零的值，后者指的是控制在作用时间内取分段常值且只进行有限次变化，二者都是具有很强现实意义的非持续控制系统关于发展方程的采样时间最优控制的研究，我们这里着重提到文献 19 的工作，该文章对有界域中的热方程的采样时间最优控制进行了研究，得到时间最优控制的存在唯一性，并对采样最优控制和持续最优控制关于采样间隔做了上下界的误差分析与有界域中的热方程可以通过算子谱信息得到解的指数衰减性类似，在很多发展方程的时间最优控制问题的研究中，一般会有方程的解具有能量衰减性的条件 8,15,19，解的能量衰减保证了对于给定的初值，状态总会在某个时刻达到闭球Br，这样零控制自然就是一个允许控制，从而很容易有允许控制集非空的结论正是因为如此，很多对抽象方程时间最优控制的研究也作了方程的解具有能量衰减性假设 3 不过，对于很多具体的发展方程而言，解并不具有能量衰减性，数学物理学报Vol.43ANo.4例如本文研究的系统（1.1)，它的解不仅不具有能量衰减性，甚至对于某些初值，还会随着时间发散到无穷对于这类控制系统的时间最优控制问题，我们希望通过建立与能控性之间的联系来解决.如上文所述，系统1.1）的解不一定能量衰减，这导致其时间最优控制问题的允许控制不是自然存在的，因此，我们首先要考查其允许控制集非空的条件对此，我们的思路是先建立系统（1.1）的渐近零能控，得到允许控制存在的定性结论，然后利用Fenchel对偶理论5,10,13 对允许控制的最小代价进行刻画，进一步得出为保证允许控制存在，控制限制M应满足的条件值得一提的是，Wang等 17 对全空间中的热方程建立了几类Holder型的插值不等式，从插值不等式出发我们将能够推导全空间中热方程采样控制系统的渐近零能控，进一步得到本文系统（1.1)的渐近零能控，1.3主要结论本小节我们给出本文的主要结论，为了阐述这些结论，这里我们先介绍一些概念和记号.定义1.2 令（8,k)ER+N+，称系统（1.1)在 0,kd上有带有代价的L2渐近零能控性,若对任意0,存在 C(e,8,k)0,使得对任意 yo E L2(R),存在ug Ls(0,ko;L2(Rn)满足(1.2)C(e,8,k)全空间中控制系统的渐近零能控是否成立依赖于控制作用区域w，所以为了得到渐近零能控成立的条件，我们引入厚度集合的概念.定义1.3 对于给定的 0 和L0,称可测集ECRn关于标度L是-厚度的，若(1.3)回到系统（1.1)，（-H）是一个自伴算子且在L2(R）上生成一个解析半群(e-Ht)to满足给定初始状态yoEL2(Rn）和控制usELg(0,kd;L2(IR)，（1.1)的解可以表示为其中 Lk E C(L(0,k;L2(R),L2(Rn)为可以验证L的共轭算子 LC(L2(R),L(O,k;L2(R)为接着，我们定义 Gramian 算子 GkE C(L2(R)如下卢维平等：全空间中带位势热方程的采样时间最优控制1En(a+LQ)|L,Va E Rn.Ile-Ht l(L2(R)=ct,t 0,y(ho;yo,us)=e-Hh yo+Leus,Vk E+,Lkus=Jo=1Gk:b=1271e-H(ks-t)(Xxw us(t)t.Xue-H(ho-0)ds,Vb E L2(R),e-H(s-)(xu Lib)dt,Vb E L2(R2),1272则有如下关系式成立(Gx,)=/20/2=(-1).0(t)对任意的 yo E L2(R),k E N+,0,0,定义数学物理学报ki=1J(i-1)80,当(rb,e-ko y)-llul/ll 0,Vol.43AbdtIl L2(0,k8;L2(Rn)ksyo,Q为了通过得到最大值原理来刻画最小范数最优控制的形式，对任意的 yoEL2(R)Br,我们定义且约定 inf=+0.对任意的 E(0,T/2),记基于以上的定义介绍，本文的主要结论可以阐述为下面三个定理.定理1.1对任意给定的 0 和k2,若对于某 0 和L0,集合关于标度L是厚度的，那么系统（1.1）在 0,k上有带有代价的L渐近零能控性.定理1.2 对任意给定的 0,oEL2(R)Br，有如下结论成立(i)inf ulkok22yo,r/lyll 0 和L0,集合关于标度L是-厚度的，且则系统（1.1)的(TP)0 问题存在时间最优控制，且有唯一的最小范数最优控制。定理1.3 给定 o L2(R)B,(0,T%/2).若(TP)问题的最优时间T(M,yo)=k*，k*EP，最小范数最优控制为ua.则yo(i)u满足 Pontryagin最大值原理,也即存在函数EL2(,k*;L2(R)和 SoEL2(R)0 满足方程(1.6)6(,k*8)=0,且使得p,Xwua)2(0,*8;L2(Rn)=max(,Xw us)L2(0,*8;L2(R),从而u(t)=NsupbEL2(Rn)(+0，当Gb=0且0时.Tu.inf(t 0:-Ht o B,Pr%,(h E N+,28 hb 0,当我们取M=0以及初值yoL2(R）B,满足条件(1.9)时（显然满足条件（1.9)的o EL2(Rn）是存在的，如抽样函数 sinaa/ac,02V)，由Parseval 等式有(1.10)由（1.9)(1.10)式再次利用Parseval等式可以推出Ile-Ht yll Il oll r,Vt .另一方面，M=0使得允许控制集UM中仅有控制us=0,而根据（1.11),零控制下系统（1.1)的解 y(k8;yo,0)=e-Hhayo对任意的kN+都无法到达闭球 B,.因此，对于满足(1.9）的yo，这里预先给定的M=0使得系统（1.1）的采样时间最优控制不存在.在定理1.3 中，条件E（0,T%/2）和k*P。是为了保证最小范数的时间最优控制非零事实上，若T*To，则零控制就是最小范数的时间最优控制.定理1.3 只针对最小范数的时间最优控制进行了刻画因为本文考虑的是采样控制，最优时间又是离散形式的，一般来说，我们只能保证最小范数的时间最优控制是唯一的我们粗略解释一下（TP)u问题的最优控制未必是唯一的，最优控制也未必有bang-bang性的原因假设最优时间为2 8 的最小范数的时间最优控制的范数为M1，而最优时间为3 8 的最小范数的时间最优控制的范数为M2.显然MiM2.当ME（M 2,M 1）时，最优时间仍然是3 8，但控制未必是唯一的，除了最小范数的时间最优控制（其范数严格小于M，故没有bang-bang性)，可能有范数更大的控制使得系统的解在3 s时刻之前到达Br，并在3 时刻仍然在Br上Wang等 19 讨论过此类问题，其中的定理3.2 证明了有界域上的热方程的时间最优控制问题可能有无穷多个最优控制.1.4文章结构在第1节中，我们已经对本文的问题和主要结论做了介绍，因此在后续的第2，3，4 节中我们依次给出定理1.1，定理1.2，定理1.3 的证明过程.卢维平等：全空间中带位势热方程的采样时间最优控制supp.Fyo C-Vc,V1273(1.11)12742定理1.1的证明为了证明定理1.1，我们需要先证明一个重要的引理2.2，引理2.2 的证明需要引理2.1,而引理2.1是文献 17 的定理1.1的直接结论，因此我们直接给出引理2.1的结果，然后给出本文引理2.2 和定理1.1的证明.引理2.1可测集ECR对于系统满足Holder型插值不等式，即对任意E(O,1),存在CH=CH(n,w,)使得对任意T0和系统(2.1)零控制输入下的状态y(;yo,0)，满足(2.2)当且仅当存在 0 和L0,使得w关于标度L是-厚度的.引理2.2 给定 0 和2,若对于某 0 和L0,集合关于标度L是-厚度的，那么系统（2.1)在 0,kd上有带有代价的L渐近零能控性.证基于本引理假设，结合引理2.1可知，此时对系统（2.1）成立Holder型插值不等式(2.2).这里对(2.2)式取=，则对于任意t0,我们可以找到常数CH=C(n,w)使得(2.3)将(2.3）式改写成Co半群的形式得到Iletyll eCn(1+)x e-tyll l,yo E 2(R).令0 S0成立12CH(1-I/(;T,2)12p(t;T,z)dt,Vz E L2(R),(t;T,z)dt+ellzll2,Vz E L?(R),S2(2.9)(2.10)在(2.10)式中令T=k和S=k/28,由于k/25s(t;o,)dtZ1=Il w s(;k0,2)lL1(0,k/28;2(Rn)Vk/2l ws(;ko,2)L2(0,8;L2(R),其中k(ps(t;ko,z)=x(i-1),ig(t)i=1于是可以得到Il(0;o,)/C(n,w,0,)xgs(;,)/2(.68;2(R)+l/2,Vz E L2(R),(2.11)k/2(i-1)sip(t;kd,z)dtJ(i-1)8p(s;ko,z)ds,Vt E(o,kd,1276为了得到最后的结论，这里利用文献 18 的引理5.1并采用该引理的框架来证明令XL2(R),L(O,;L2(R),Z L2(R),并定义算子 R:ZX 和 O:Z 如下Rz p(0;ko,z),Oz=Xws(;ko,z),Vz E Z,可以验证R和都是有界线性算子，且它们的共轭算子为R*yo=y(kd;yo,O),Vyo E X;O*us=y(ko;0,us),Vus EY,由文献 18 的引理5.1,式（2.11)成立等价于其共轭形式1C(n,w,e,s,k)成立，引理2.2 得到证明.我们现在证明定理1.1.证对系统（1.1)作变量替换，令y=ectg,则g满足如下方程Otj-j=Xw e-ctus,在 R R+中,g(-,0)=yo E L2(R),并且，系统（1.1)和(2.12)的解满足如下关系式y(t;o,us)=ect j(t;o,e-ctus),Vt E(o,+oo),根据引理 2.2,系统(2.12)满足对任意 1=e-ckoc0,存在 Ci(n,w,s,8,k)0,使得对任意yo E L2(R),存在 e-ctugo Ls(0,k8;L2(IR)成立1Ci(n,w,5,k)将(2.13)式代入(2.14)式得到1Ci(n,w,s,5,k)由于 e-ctaug E Ls(0,k8;L2(R),因而数学物理学报e.90Vol.43A(2.12)(2.13)(2.14)1-cho(k0;yo,ug0)/2 llyoll,=echs le-ctu l(,;(Rr),由此可推出ugE L(0,kd;L2(R)且e-cksCi(n,w,e,s,k)令 C(n,w,s,k,c)=eckoCi(n,w,k),则可得到标准的渐近零能控不等式1C(n,w,e,o,k,c)因此，我们证明了定理1.1.e-ckdll(kd;yo,u%0)l ll oll1,No.43定理1.2 的证明本节我们给出定理1.2 的证明，在此之前我们要先证明引理3.1,该引理是文献 10 中定理1和定理2 的推广，该文献证明了对于持续控制系统的结论，下面的引理3.1将结论延伸到采样控制系统中.引理3.1给定 0,对于任意的kEN+，控制系统（1.1在 0,ka上具有L?渐近零能控等价于对任意的加EL(R），对任意的。0.有%。0 和 0,对任意的 yo E L2(R),定义Mbo.infyo,a如果不存在控制使得系统（1.1)的状态在 ks 时刻到达 llollB1,则 Mb,。=+.显然，系统(.1)在 0,ka 上的渐近零能控等价于 Mb%。+对任意的 o La(2）和任意的 0卢维平等：全空间中带位势热方程的采样时间最优控制yo,o1277都成立.因此，为证明本引理，我们接下来研究M%。和 usg.。的关系。定义两个下半连续的凸函数 f:L(0,k8;L2(R)0,+)和 g:L2(R)0,+o 为和0,+8，当$-e-Hko yo+allyol Bi 时,则可以得到关系式Mkdyo,Q由于L2(R）和 Ls(0,ko;L2(R)）都是 Hilbert空间，则根据Fenchel 对偶理论，函数f和 g 的 Fenchel 共轭函数*：Ls(0,ko;L2(R)0,+oo)和 g*:L2(IR）0,+o 为f*(us)=usEL(0,k5;L2(R)和g*(b)=sup(b,p)-g(p)=9EL2(Rn)对(3.1）式使用Fenchel对偶定理可以得到Mkdyo,Q其中Jb.a(b)=1(Grb,b)-(ub,e lo y)+llull,Vb(R),对任意L2(R),令=ro,其中=llll,(R）且 oll=1.那么当 E-e-H k yo+allyll Bi 时,inf(f(us)+g(Lk(us).usEL(O,k);L2(Rn)sup(u8,us)-(a)=ul/2(0,b8;L2(R)=(os)suppE-e-Hk o+allyollB1igfen(f*(Lib)+g*(ab)-eibEL2(Rn)(3.1)infbEL2(IRn)1278因此，对任意固定的EL(R）有10,infJksro70yo,Q(结合定义(1.4)可知yo,Q数学物理学报当(o,-kb yo)-all/ll 0,当 Gk 0 且(o,e-Hkb yo)-allyll 0 时,2(Gk0,0)-80,infJkdyo,(ub)=-,inf,inf Jhd.yo,QbEL2(Rn)Ilo=1r0Vol.43A当 Gk=0 且(o,-Hh yo)-allyll 0 时,yo,a因而Mkd8inf uko,K2由下确界的定义，对任意满足上式的 M,至少存在一个kEN+和一个控制 usEUM，使得y(kd;yo,us)E Br,也即(kS:3k EN+,3us EUM允许控制集合非空，根据 Ts(M,yo)的定义，存在一个N+使得同时，存在 ko E N+和 u E L(0,kd;L?(Rn)使得y(kod;o,ug)e B,且 lullL2(0,kos;2(R)M.根据(3.2)、(3.3)式可推出k=ko，再结合(3.4)式可得到1 给定 0 和 b E R,有 inf(ar2-br)=Ms.t.y(kd;yo,us)e Br)+0,Ts(M,yo)=kio,Ts(M,yo)kod Ts(M,yo)+/2;Ts(M,yo)=kod,0当b0时,r0-8当=0且b0时,(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)No.4结合（3.4)、（3.5)式可知u%是(TP)的一个时间最优控制。为说明了最小范数最优控制的存在性，定义yo显然So存在，则可以取到一列极小化序列（un1CU使得o因此，我们可以找到一个aU 和【ugn1 的一个子列，仍记为【un1 使得在空间L(0,ko;L2(R)）中成立根据(3.6)式的第一个式子和(3.7)式可知另一方面，由于因此结合(3.7)式，并在(3.9)式中令n+o可以得到在空间L2(R）中成立根据(3.6)式的第二个式子和(3.10)式可知y(kod;yo,ugo)Br,结合(3.8)式和(3.11)式可知，a是系统(1.1)在kog时刻的最小范数最优控制.为了证明其唯一性，不妨令和u%是上述(TP)问题的两个最小范数最优控制，则由方程（1.1）的解的形式可知，y(kod;yo，（u+u)/2)EB r，再利用u和是最小范数最优控制，可知Ilul 2(,(M,0);L2(R)I(ua+u)/L2(,(M,v);L2(R)由此可知（u+u)/2也是最小范数最优控制，根据Hilbert空间Ls(0,Ts(M,yo);L2(Rn)的平行四边形法则可以得到在Ls(O,Ts(M,yo);L(R)中成立，这也就证明了最小范数最优控制的唯一性.卢维平等：全空间中带位势热方程的采样时间最优控制y(ko;o us)=e-Hko yo+Lrou,y(kod;yo,ug)-y(kod;yo,ugo)Ilul L(0.(M 0);2(R)+Ilul L(0,T(M,);2(R)2=llull L2(0,Ts(M,yo);L2(R),u=u1279(3.6)(3.7)yo(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)4定理1.3 的证明在本节中，我们将利用凸集分离定理来得到最小范数最优控制满足的Pontryagin最大值原理，继而推导出定理1.3 的内容，证明如下.1280证（i）根据定理1.2 可知，N是使得状态在k*时刻到达闭球B，的全体控制的范数下确界，即N=inf(llul z(0,*8;2(R)1(k*;yo,us)B,),于是NIlu=Lz2(0,*;L2(R)，同时，若Nr.在N的定义式（1.4）中取b=e-Hko yo,于是总可以得到数学物理学报Il ual L2(0,8;2(Rn)llul L2(,*8;L2(Rn)M,y(k*S;yo,us)E Br,Vol.43A从而，N0成立，又根据定理1.2,N+o0.所以此时N=sup(b,e-Hk yo)-rllbEL2(Rn)(Gh*2b,3)/2(i)定义Aks=(y(k*;yo,us)1 us E UN),则该集合满足Ak*s noBr=(y(k*S;yo,u*),Ak*s nintBr=O,理由如下.第一，(y(k*);yo,u)Ak*s nBr.首先，显然(y(k*);yo,u)Ak*s n Br.而若(y(k*);yo,u)Ak*s n Br,则必存在常数 ro 满足 0 ro 0,使得当Ilu=L2(0,;2(Rn)-I ul 2(,8;2(R)0.Ily(k*;yo,us)-y(k*S;yo,u)l r-roIl ul L(,*8;L(R)N,(4.1)(4.2)(4.3)No.4由于intBr是一个开的凸集，Ak*是一个凸集，结合（4.3）式，利用凸集分离定理，可知存在&oEL2(R)且&oO和常数c使得(60,z1)c (S0,22),Vz21 E Br,22 E Ak*,再结合（4.2)、（4.4）式可知此时于是记 Lous=Jae-H(*s-t)(xaus(t)dt,则可得到最小范数最优控制 u 满足的最大值原理0(xt L,ub)L2(0.*8;2(Rn)=max(xa Li-,s)2(0,*8;L2(R),这里(Li-0)(t)=Xw Z x(i-1),is)(t)=xu Z(-1).0(),=1其中p(;k*8,So）为方程（1.6）的解将（4.6)式代入（4.5)式中，由于u和us都是关于时间的分段常值函数，我们得到（1.7）式的最大值原理.为证明（1.8)式，我们还需证明k*xZx(i-1).0)(t)=1为此，我们证明（4.7）式的一个充分条件XJ(i-1)8如若不然，则存在io E1,2,k*-1使得Xw/(i0-1)8根据对热方程的共轭方程成立的（4.9）式可知，对原方程（1.1）的共轭方程成立在(4.10)式中取 T=(k*+1-io),S=8,z=So得到Ilp(0;(k*+1-i0)5,S0)12卢维平等：全空间中带位势热方程的采样时间最优控制c=(5o,(k*8;o,us),(o,2-y(k*;yo,us),Vz2 E Ak*8,k*=1(i-1)8p(s;k*$,so)ds 0,Vi=1,2,.,k*-1,p(s;k*,so)ds=0,1281(4.4)(4.5)ie-H(k*s-s)SodsJ(i-1)i8p(s;k*,So)ds,J(i-1)8p(s;k*,So)dsIL2(0,k*8;L2(Rn)p(s;(k*+1-io)o,Eo)ds(4.6)￥0,(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)1282又由于数学物理学报Vol.43A=(io-1)5+s;k*,0),Vs E 0,所以(4.11)rioXwJ(io-1)8结合(4.9)和(4.11)式可知p(io-1)8;k*$,so)=0,再由原方程的倒向唯一性得到So=0,矛盾这样，我们就证明了（4.8）式，从而（4.7）式成立于是结合（4.1)、（4.5)、（4.6)式和(4.7)式，我们给出最小范数最优控制的表达式如(1.8)式所示.至此，我们证明了定理1.3的全部内容.1 Barbu V,Korman P.Analysis and Control of Nonlinear Infinite Dimensional Systems,Vol.190.Amster-dam:Elsevier,19932 Chen T,Francis B A.Optimal Sampled-Data Control Systems.London:Springer-Verlag,19953 Duan Y L,Wang L J,Zhang C.Minimal time impulse control of an evolution equation.Journal ofOptimization Theory and Applications,2019,183(3):902-9194 Fattorini H O.Infinite Dimensional Linear Control Systems:the Time Optimal and Norm Optimal Prob-lems.Amsterdam:Elsevier,20055 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Pontryagins maximum principle that time optimalcontrol with minimal norm satisfies.In order to obtain the existence of time optimal control,anew observability inequality is established.The null approximate controllability of the sampled-data control system is obtained by using the observability inequality,and the minimum cost toachieve the null approximate controllability is characterized by Fenchel duality theory.Key words:Time optimal control;Sampled-data control;Null approximate controllability;Pontryagins maximum principle.MR(2010)Subject Classification:35K05;49J20;93C57