巧用体力与面力的变换求解非常体力弹性力学问题.pdf

/.日2023年力第4 5 卷第3 期6月实践学巧用体力与面力的变换求解非常体力弹性力学问题杨振宇*,t,2)卢子兴*（北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京1 0 0 0 8 3)（北京航空航天大学宁波创新研究院，浙江宁波31 5 8 0 0）摘要在弹性力学问题的求解中，考虑体力的计算比考虑面力的计算要复杂很多，而且在力学实验中模拟体力的载荷条件通常也比较困难。因此，将体力转化为面力，可以简化弹性力学问题的求解，并且对于实验设计，也可提供极大的方便。本文以两个典型平面问题为例，分别探讨了在直角坐标系和极坐标系下对非常体力的处理方法，为实验的设计提供了新的思路，有助于学生灵活运用弹性力学理论解决实际工程问题，具有一定的工程应用价值和教学实践意义。关键词边界条件，非常体力，面力，直角坐标系，极坐标系中图分类号：V343文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-594SOLVING ELASTICITY PROBLEM BY TRANSFORMATION OF NON-CONSTANT BODY FORCE TO SURFACEFORCEl)YANG Zhenyu*,t,2)LU Zixing*(School of Aeronautic Science and Engineering,Beihang University,Beijing 100083,China)t(Ningbo Innovation Research Institute,Beihang University,Ningbo 315800,Zhejiang,China)Abstract In the solution of elastic problems,the calculation considering body force is much more complicatedthan that considering surface force,and it is often difficult to simulate the load conditions of body force inexperiments.Therefore,converting body force into surface force can simplify the solution of elastic problemsand provide great convenience for experimental design.Taking two typical plane problems as examples,thispaper discusses the methods of dealing with non-constant body force in rectangular coordinate system and polarcoordinate system,respectively.It provides a new idea for the design of experiment,and helps students toflexibly use the theory of elasticity to solve practical engineering problems.It shows certain application value inengineeringand instruction.Keywords boundary condition,non-constant body force,surface force,rectangular coordinate system,polarcoordinate system对于弹性力学中的常体力情况，由于平衡微分方程、相容方程和应力边界条件中都不含有弹性常数，因此，针对任意物体求出的应力分量，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其他材料的物体1-3。据此，实验力学中通常采用便于测量的材料来制造模型，以代替原来不便于测量的结构，为应力分析带来了极大的方便。将弹性力学应用于实际工程问题中，比如桥梁、隧道、水坝和高速旋转的机械等，常常都需要考虑体力的影响。但是，在实验过程中要模拟体力对结构的本文于2 0 2 2-1 0-2 8 收到。1）国家自然科学基金项目（1 1 9 7 2 0 5 7，1 2 2 7 2 0 2 1）和国家科技重大专项（2 0 1 7-VII-0003-0096）资助。2）杨振宇，副教授，研究方向为复合材料力学。E-mail：z y y a n g b u a a.e d u.c n用恰式：物子，巧用体刀与面力的变换求解非常体刀弹性刀字向题：刀与买践，2 0 2 3，4 5（3）：6 9 4-6 9 7Yang Zhenyu,Lu Zixing.Solving elasticity problem by transformation of non-constant body force to surface force.MechanicsinEngineering,2023,45(3):694-697695第3 期杨振宇等：巧用体力与面力的变换求解非常体力弹性力学问题影响是很有挑战性的，常规的力学实验室几乎不具备这样的功能。于是，国内的经典弹性力学教材1-4 中介绍了，对于直角坐标系中的常体力的情况，可以将体力的作用变换为面力的作用，这样只需要对无体力问题进行求解，然后再叠加一定的应力分量即可得到原问题的解答，为问题的求解和实验开展带来很大的便利。然而，当弹性体受到的体力随空间变化时，也就是非常体力的情况，是否还可以做类似的处理呢？此外，在极坐标系中是否也可以进行类似的变换，从而简化问题的求解？诸多教材中鲜有提及。本文首先以狭长矩形薄板的热应力求解为例，通过体力与面力的变换，将问题化解为无体力的简单问题来求解，一方面可以拓宽学生的解题思路，另一方面为实验力学的等效设计提供了参考。然后，针对旋转均匀圆盘问题的求解，给出了将体力转换为面力作用的处理方法，补充了教材上关于极坐标系下体力变换为面力的教学内容空白。本文的内容来源于课后习题和学生的提问，其中大部分归结于对应力求解所满足的基本条件的深入理解，对学生灵活解决实际问题有一定的启发，为学生将来从事实验工作奠定一定的理论基础，同时对弹性力学授课教师系统讲授体力和面力的处理方式有一定的参考价值。1热应力问题中的等效体力与面力的转换如图1 所示矩形薄板（b)(弹性常数为E,，热影服系数为0)受到变温T二1(1-%)的作用。对于这个问题的应力求解，徐芝纶的弹性力学中基于位移势函数，通过先求特解再求补充解的方式给出了这类问题的一种求解方法。此外，Timoshenko等2 提出的应变抑制方法给出简洁的求解方法，但这类方法不便于直接向复杂问题推广。本文基于体力与面力等效的方法，给出了另外一种基于应力求解的一般性解法，而且具有推广性。由于在温度应力的平面问题中，通常将其转aaTo6y图1自由狭长矩形薄板受变温的作用换为已知体力和面力的平面问题。温度应力可以等价于等效体力ETf=1-u(1)ET=一11-uoy和等效面力ET于=(2)ET一m1-S作用下引起的应力，再叠加上各向相同的正应力-ET/(1一)。即温度应力可以表示为ET0=01-uET(3)1一Tay=ay其中等效应力o,oy,Tay需要满足平衡方程+=0oyOTeu(4)E2Toy+oy1-u62和面力边界(los+mTau),（1）ETo一1一1S(5)(mo+lTy)s)。=0S此外，根据热弹性力学的物理方程1E(a-ay)+TE1(oy-oa)+T(6)EyE2(1+)YyTeyE代入应变协调方程2/0 g?+2g/02=22yay即可得到热应力问题的相容方程为V?(o+0)+EV2T=0(7)将式（3）代入式（7）可以得到等效应力，需要满足的相容方程为1+2To7?(+0E0(8)1-62因此，针对图1 所示问题，首先需要获得满足式（4），式（5）和式（8）的应力状态。为力696实践学2023年第4 5 卷了便于直接从应力对这个问题进行求解，可将式（4）转换为无体力的平衡方程。假设另一个应力状态o,o,Tu满足EToy?1-u62EaTo?(9)1-u62分别代入式（4），式（5）和式（8）可以得到2十y0(10)y8yETo(lo+mTETo1-62(11)ETo(mo+1-u+,=0(12)因此，根据式（1 0）式（1 2），%，o就等价于图2 所示边界条件下的应力状态。EToETo6aETo1-u626图2等效应力状态的面力边界条件由于 ab,根据圣维南原理，方向的应力在远离端部的地方应该表现为均匀应力分布状态，因此EToETo211ETodyETo261一u1一M3ETo1-0y(13)联立式（3），式（9）和式（1 3）即可得到原问题的解答为1O=ETo623(14)0y=0Tay=0由此可见，巧妙地利用体力和面力之间的转换关系，不需要引入位移势函数，即可很简便地获得这个温度热应力问题的解答。以上方法为同类问题的求解开辟了新的思路，并且有助于提升学生灵活处理实际问题的能力。2极坐标系下的体力与面力之间的转换既然在直角坐标系里面可以将体力转化为面力来处理，以便于问题解答和实验设计，那么在极坐标系下面是否也可以进行类似的处理呢？根据极坐标系下的平衡方程，径向应力分量，和环向应力分量。出现在同一个偏微分方程中，很显然对体力的转化处理不会像在直角坐标系中那样简单。根据应力求解的基本要求，即应力分量需要满足平衡微分方程和相容方程，以及应力边界条件，所以我们仍需在此框架下来实现体力与面力的转换。以教材中匀速转动的圆盘问题为例，设有密度为po，半径为r的等厚度薄圆盘，泊松比为，绕其回转轴以均匀角速度w旋转，试求其应力分量。教材1-3 上通常给出了按应力函数求解、按应力求解和按位移求解三种方法，这里我们尝试通过体力等效为面力的方法来求解。如果我们可以将图3(a)中的体力等效为面力，那么问题的求解就变得非常简单，旋转的圆盘在不考虑体力之后就变成静止的圆盘了，可以直接通过圆环受均布压力的结果-3，即拉梅解，从而获得解答。(b)图3(a)匀速旋转的圆盘，（b）受局部拉力的圆盘图3(a)所示为轴对称应力问题，其应力分量Q。和Tps需要满足平衡微分方程dop一+fp=0(15)dpP其中体力fp=Powp。此外，应力分量还需满足应力相容方程4d22+do1+2 dog=0(16)uop)+dpPdpPdp边界条件可以表示为697杨振宇等：巧用体力与面力的变换求解非常体力弹性力学问题第3 期lp=r(17)Tpplp=rOp=o,+apfp,0p=o+bpfp,Tp=Tpp(18)其中，b 为待定常数。要实现体力的转换，需要使得。和。满足无体力的平衡方程和相容方程do0(19)dpP2+do1+2udg=0(20)dpPdpPdp同时，面力边界条件就变换为-apowr一(21)因此，和。就是一个固定的均匀圆盘受到沿板面均布拉力的问题解。由此将式（1 8）代入式（1 5）和式（1 6），再结合式（1 9）和式（2 0），就可以得到常数，b 需要满足的条件为3a-b+1=0(22)(2+)b-(1+2)a=0)3+1+3u联立求解可以得：a688考虑式（2 1）中的面力边界条件，因此图3(b)的解可以直接用拉梅解退化得到，即3+8PO3+(23)28因此，林根据式式（1 8），原问题的解就可以表示为3+Pow(n2-p2)p8(24)PoW(3+)r2 (1+3)p 8可见，所得的解答与教材上的结果1-2 完全一致。所以，以上的例子表明，在极坐标系下，仍然可以先不计体力，而对弹性体施加等效面力，这样求出的应力分量及再分别叠加apf和bpf，即可得到原问题的应力分量。与在直角坐标系中常体力问题不同的地方是，等效面力的系数不能直接给定，而需要联立等效前后两个状态的基本方程求解得到。以上给出的是在轴对称应力情况下的一个特例，如果用同样的方法在极坐标系下处理一般性的问题，需要结合实际问题来考虑。此外，从以上两个例子中可以发现，对于非常体力问题的转换，主要需要联合平衡方程和相容方程来确定等效应力分量的形式，这也是采用这类方法处理问题的核心所在。可见，这类方法可推广应用于比较复杂的体力状态，而不局限在教材中提到的常体力问题。3结论弹性力学理论为实验力学，如光弹实验力学，提供了重要的理论基础。深刻认识弹性体中体力变换为面力的规律，一方面可以加深对弹性力学基本方程物理涵义的理解；另一方面还可以开辟新的求解问题的思路，并为灵活的实验设计提供理论依据。本文以直角坐标系中的温度应力问题为例，给出了非常体力转换为面力的方法，为简化问题的求解和实验设计提供了新的思路。此外，以均速旋转的均匀圆盘为例，给出了极坐标系下将体力转换为面力的方法，为这类问题的求解给出了新的思路。以上问题都归结于对弹性体外载的处理方法，将相关内容前后联系，贯穿讲解，有助于培养学生灵活处理实际问题的能力，同时为学生动手设计实验提供必要的知识储备。参考文献1徐芝纶.弹性力学，第5 版.北京：高等教育出版社，2 0 1 6Xu Zhilun.Elasticity,5th edn.Beijing:Higher EducationPress,2016(in Chinese)2 Timoshenko SP,Goodier JN.Theory of Elasticity,3rd edn.New York:McGraw-Hill Education,20133陆明万，罗学富.弹性理论基础，第2 版.北京：清华大学出版社，2001Lu Mingwan,Luo Xuefu.Foudations of Elasticity,2nd edn.Beijing:Tsinghua University Press,2001(in Chinese)4王敏中，王炜，武际可.弹性力学教程(修订版).北京：北京大学出版社,2 0 2 1Wang Minzhong,Wang Wei,Wu Jike.Course of Elasticity(Revised edition).Beijing:Beijing University Press,2021(inChinese)（责任编辑：王永会）