实变函数课程教学改革与实践.pdf

实变函数课程教学改革与实践 杨 雄,孙明保(湖南理工学院 数学学院,湖南 岳阳 414006)摘 要:分析实变函数课程教学中存在的问题,从教学内容方面提出注重知识衔接、背景知识引入、数学思想方法渗透等优化措施,从教学方法方面提出直观化教学、探究式教学、讨论式教学等改革措施.教学实践表明,这些措施有助于培养学生的逻辑思维能力、创新能力和自学能力.关键词:实变函数;教学内容;教学方法 中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1672-5298(2023)02-0078-03 Teaching Reform and Practice on Real Variable Function Course YANG Xiong,SUN Mingbao(School of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)Abstract:Some problems in the teaching of real variable functions were analyzed,and optimization measures such as knowledge connection,background knowledge introduction,and mathematical thought and method penetration were proposed from the teaching content,and reform measures such as intuitive teaching,inquiry-based teaching,and discussion-based teaching were proposed from the teaching methods.Teaching practice shows that these measures help to cultivate students logical thinking ability,innovation ability and self-learning ability.Key words:real variable function;teaching content;teaching method 0 引言 实变函数是由法国数学家勒贝格(Lebesgue)创立,其核心内容是勒贝格测度与勒贝格积分,它是经典的 Riemann 积分理论的延续与发展,它的诸多思想方法源于数学分析,又高于数学分析1.实变函数是数学专业课程中既难教又难学的一门课程,该课程理论性强,内容抽象,学习难度比较大.研究如何教与学,对该门课程的建设有着重要的理论和实践意义.目前,实变函数课程教学中还存在一些问题.从宏观上讲,主要表现为:在近些年高校扩招的新形势下,普通高校生源情况发生变化,整体素质相对下降,而培养方案、授课内容、教学方法基本没变2.从微观上讲,主要有:教学内容较多而课时不够,如何对课程的教学内容进行合理的选择,在课时减少的同时又能保证基本教学内容,是目前需要解决好的问题;有的学生打算考研继续深造,希望学得深入一点,为以后进一步学习打下扎实的基础,有的学生打算毕业后参加工作,不愿学得太深,满足基本要求就可以了,如何兼顾学生的不同需求,充分挖掘课程的深度,提高学生学习的兴趣,发挥学生的个性,是需要思考的问题;传统的黑板板书教学模式,优点是能够充分展示思维过程,缺点是缺乏形象直观,不容易与学生互动,难以调动课堂气氛,近些年开展的多媒体辅助教学,优点是形象具体,能够将一些抽象的内容直观展现在学生面前,提高学生的学习兴趣,如何将多媒体和网络技术合理地应用于课堂教学中,以增强教学效果,是一个值得认真研究的问题.综上可知,实变函数理论抽象,缺乏几何直观,学生畏难情绪比较严重,如何将抽象的理论以相对通俗易懂的方式传授给学生,是本文主要探讨的内容.1 教学内容的优化 由于多方面的原因,国内实变函数教材大多注重数学的严谨性,而忽视了可读性,再加上课程内容本身的高度抽象性,让许多学生望而生畏,发出“实变函数学十遍”的感慨.笔者结合自身教学实践,在教学 收稿日期:2022-08-11 基金项目:湖南省普通高等学校教学改革研究重点项目(HNJG-2021-0152)作者简介:杨 雄,男,硕士,讲师.主要研究方向:调和分析、复分析 第36卷 第2期 湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.36 No.22023 年 6 月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology(Natural Sciences)Jun.2023第 2 期 杨 雄,等:实变函数课程教学改革与实践 79 内容的处理上做了一些有益的尝试.(1)课程设计注重与数学分析知识的衔接,并与数学分析进行全方位的类比 例如,在“集合”中突出集合语言与语言的关系,强化集合的无限交并运算;在勒贝格测度处理上,将勒贝格测度与“体积”这一古典测度进行全方位类比;介绍可测函数产生的历史背景,自然引入可测函数的概念,与连续函数的性质进行全面类比;在勒贝格积分的处理中,强调勒贝格积分的几何属性,与黎曼积分进行全方位的类比;在微分与不定积分这一章,紧紧抓住微分与不定积分的互逆性展开教学,突出勒贝格积分的相对优越性.(2)注重背景知识的引入,填补各知识板块之间的衔接空白 讲可测函数之前,先介绍勒贝格从分割函数值域来定义勒贝格积分的思想,这样可测函数的概念引入便水到渠成;适当介绍学科前沿知识和相关数学家的科学研究成果,有利于激发学生从事数学研究的积极性.讲解基数理论时,可以介绍“连续统假设”及其历史进展和希尔伯特 23 个著名难题.(3)将数学概念的引入尽可能放在具体的情境当中 例如,讲解点与点集的关系时,画个区域表示点集,从直观上看点与点集的三种关系便呼之欲出:内点,边界点,外点.然后引导学生给出严格的数学定义,最后稍加阐释,说明这种关系也适用于一般点集.这样既可以避免概念的抽象难懂,又可以让学生很好地理解它们之间的相互联系.(4)数学定理的证明注重数学思想和数学方法的渗透 华罗庚说,复杂的问题要善于退,足够地退,退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.例如,要证明不等式ab,可以先退一步证明弱一点的不等式ab其中0,如果该不等式与的大小无关(即对任意0成立),那么就得到了原不等式.在外测度的次可数可加性等定理的证明中,多次应用这种以退为进的思想.在证明鲁津定理时,从简单函数到有界可测函数再到一般可测函数的思路,还有勒贝格积分线性性质的证明,从简单函数到非负可测函数再到一般可测函数展开,无不体现了这种“从特殊到一般、从简单到复杂”的思想.(5)教学过程中注意引入一些数学大家的观点 例如,勒贝格关于黎曼积分与勒贝格积分差异的那个著名比方3:假定我欠人家许多钱,现在要还这笔钱;如果先按照钞票的面值大小分类,再计算每一类的面值总额,然后相加,这就是我的积分思想;如果不管面值大小如何,而是按某种先后次序(如顺手递出)来计算总额,那就是黎曼积分的思想.再比如,李特尔伍德的三个原理4:每个集合接近于区间的有限并集;每个函数接近于连续函数;每个收敛序列接近于一致收敛序列.第一原理揭示了勒贝格可测集与区间的关系,鲁津定理和叶果洛夫定理分别是第二原理和第三原理的精确版本.这些观点通俗易懂又能深入问题的核心,比起“冰冷”的定理描述更能走进学生的内心.2 教学方法的多样化 在国家一流课程建设背景下,按照“高阶性、创新性和挑战度”的金课建设标准,单一传统的课堂面授教学方法已经不能适应新时代的要求.为此,笔者结合教学实践,在教学模式与教学方法方面也做了一些有益的尝试和改革.(1)采用多样化的直观化教学手段,降低课程的抽象性 “数缺形时少直观,形少数时难入微”,几何直观是逻辑思维的落脚点,实变函数较数学分析更抽象,缺少几何直观是一个重要原因.在实变函数课程教学中引入为数众多的几何图形,能够画图的地方都尽可能画出图形.例如,借助数学软件展示康托集的构造过程和开集分解为方体的过程等;利用一般点集特殊化的方法,将可测集画成区间,可测函数图形画成连续曲线,直观化勒贝格积分的几何意义.(2)采取探究式教学法,初步培养学生的科学研究能力 在习题课以及课后练习中,引入少部分开放性的主观题,不设置标准答案,引导学生充分阐述自己的80 湖南理工学院学报(自然科学版)第 36 卷 观点和对问题的理解,有意识地培养学生对已有知识进行归纳总结的能力,启发学生的创造性思维.(3)适当开展讨论式教学,训练学生由“学”到“教”的思维模式 为了活跃课堂气氛,学生可以随时向教师提问,也鼓励学生积极回答教师的提问(平时成绩奖励加分),即使答案错误也没有关系,数学史上很多新的思想方法就诞生于各种“错误”和“不可能”.鼓励学生用自己的语言阐述对一些概念和定理的理解,真正将课本知识转化为自身能力.(4)加强对学生自学能力的培养,授人以鱼,不如授人以渔 利用学习通等平台,每堂课开始前让学生预习本堂课的内容,并提出若干问题让学生在阅读时思考.让学生预先了解本堂课的主要内容,有利于加强学习的主观能动性,变被动学习为主动学习,带着问题去听课,上课更有针对性.3 结束语 实变函数课程的核心内容勒贝格测度与勒贝格积分,已经成为现代数学的基础知识.研究实变函数的两大工具集合与极限,也被广泛应用于数学的各个分支.通过多样化的数学教学方法和手段,优化教学内容,创新实践教学,让学生较好掌握勒贝格测度与积分的基本理论,为以后进一步应用现代分析工具打下基础.同时,让学生较好掌握勒贝格积分理论基本思想与方法,能够熟练运用集合与极限两大数学工具,逐步培养学生的逻辑思维能力、创新能力和自学能力.参考文献:1 程其襄,张奠宙,胡善文,等.实变函数与泛函分析基础M.第 4 版.北京:高等教育出版社,2019.2 孙明保,李新平,李松华,等.依托学科建设的数学专业类人才培养探索与实践J.湖南理工学院学报(自然科学版),2021,34(3):7982.3 周民强.实变函数论M.第 3 版.北京:北京大学出版社,2016.4 伊莱亚斯 M.斯坦恩,拉米沙卡什.实分析M.叶培新,魏秀杰,译.北京:机械工业出版社,2019.(上接第 49 页)共价有机聚合物中富氮富氧官能团与金属离子活性位点有较强的相互作用,从而增加材料表面的金属活性位点,增强金属与载体的相互作用,抑制活性位点的聚集和丢失.研究表明 Pt/N-COPs 是一种催化活性高、CO 键加氢选择性高的催化剂.参考文献:1 Zhao J,Yuan H,Gui Y,et al.Engineering the interface of Au nanocatalysts with FeOx for enhanced selective hydrogenation of cinnamaldehydeJ.Journal of Materials Science,2021,56:57605771.2 Su J,Shi W,Liu X,et al.Probing the performance of structurally controlled platinum-cobalt bimetallic catalysts for selective hydrogenation of cinnamaldehydeJ.Journal of Catalysis,2020,388:164170.3 Xue K,Lan X,Wang J,et al.Synthesis of PtMAF-6 as a steric effect catalyst for selective hydrogenation of cinnamaldehydeJ.Catalysis Letters,2020,150:32343242.4 Pei A,Ruan L,Liao J,et al.Platinum island-on-copper-nickel alloy nanoparticle/carbon trimetallic nanocatalyst for selective hydrogenation of cinnamaldehydeJ.Catalysis Letters,2021,151:559572.5 Hui T,Miao C,Feng J,et al.Atmosphere induced amorphous and permeable carbon layer encapsulating PtGa catalyst for selective cinnamaldehyde hydrogenationJ.Journal of Catalysis,2020,389:229240.6 Wang H,Shi Y,Wang Z,et al.Selective hydrogenation of cinnamaldehyde to hydrocinnamaldehyde over Au-Pd/ultrathin SnNb2O6 nanosheets under visible lightJ.Journal of Catalysis,2021,396:374386.7 Cui H,Liu S,Lv Y,et al.Transfer hydrogenation of cinnamaldehyde to cinnamyl alcohol in hydrophobically modified core-shell MOFs nanoreactor:Identification of the formed metal-N as the structure of an active siteJ.Journal of Catalysis,2020,381:468481.8 Wang G,Xin H,Wang Q,et al.Efficient liquid-phase hydrogenation of cinnamaldehyde to cinnamyl alcohol with a robust PtFe/HPZSM-5 catalystJ.Journal of Catalysis,2020,382:112.9 Zhang Y,Zhou J.Synergistic catalysis of hybrid nanostructure Pt catalyst for high efficiency selective hydrogenation of nitroarenesJ.Journal of Catalysis,2021,395:445456.10 Wang T,Pan L,Zhang X,et al.Insights into the Pt(111)surface aid in predicting the selective hydrogenation catalystJ.Catalysts,2020,10(12):1473.11473.12.11 Zhang L,Liu X,Yang R X,et al.Environmentally benign and economic synthesis of covalent triazine-based frameworksJ.Chinese Journal of Catalysis,2017,38:583588.