生新知重育人——“分段计费”教学思考与实践.pdf

“分段计费”广泛应用于生活，是一种具有现实意义的数学知识。对该类问题的探究，能够帮助学生巩固小数乘法的基础知识，积累解决问题的活动经验。在数学文化进课堂理念的引领下，以解决“分段计费”问题的三个步骤为线索，从数学文化角度出发，挖掘其中的德育、智育、美育教学资源，遵循“数学思考数学创造数学欣赏数学应用”的探究模式开展教学，引导学生在习得“分段计费”相关知识的过程中，体会勤俭节约、保护环境的美好品德，发现车费与行驶里程间“变与不变”的关系，感悟生活中的函数思想。【关键词】数学文化教学；分段计费；德育；智育；美育【教学思考】“分段计费”是人教版教材五年级上册“小数乘法”单元的教学内容。本单元教材编排了小数乘整数、小数乘小数、积的近似数、整数乘法运算定律推广到小数和解决问题等内容。其中，为了培养和提高学生解决实际问题的能力，教材安排了“分段计费”的例题（例9），让学生在实际背景的问题中，学会收集信息并选择适合的方法来解决问题，在例题的学习中进一步掌握基础知识、基本技能，提高小数的四则运算能力以及解决问题的能力，积累解决问题的数学活动经验。例9结合本单元的数学知识和学生的生活实际，以“李叔叔乘出租车付费”为情境线索，设计了三个步骤引导学生经历解决问题的过程。第一步“阅读与理解”重在理解题意，特别是对计费标准的理解。第二步“分析与解答”结合小数乘整数以及加法进行列式并运算，呈现两种解决问题的思路和方法：一种是借助线段图来分段计算；一种是先假设再调整，先都按照每千米1.5元计算，再加上前3km少算的。第三步“回顾与反思”设置了表格，给出了行驶里程取不同整数的情况，让学生填写应收取的出租车费用。基于对数学文化教学资源的理解，依据例9及练习四第7题“某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费”来组织学习素材，从而让学生在“分段计费”的学习中意识到节约资源的重要性，形成节约资源、不浪费的优良道德品质。解决例9的第一步“阅读与理解”，拟采用摘录条件的方法和画线段图的方式，将抽象的语言转化为直观图解，彰显了数学美，归为美育资源；在渗透数形结合思想的同时探究行驶里程和计费金额之间变与不变的关系，并渗透函数思想，因此将其归为智育资源。第二步“分析与解答”拟采取用线段图表示行驶里程来计算车费的数形结合方式明确思维路径，有利于探究解决问题的不同方法，归为智育资源。第三步“回顾与反思”在回顾知识形成过程的同时，以表格形式直观呈现问题与回答，归为美育资源；进一步呈现行驶里程与出租车费的关系图（实际为分段函数的图象），深入渗透函数思想。五年级学生对生活中水费、电费、打车费等计费方式已有一定的了解，且在本单元的学习中，掌30教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN本 期 话 题握了小数乘法的基础知识，积累了解决问题的活动经验，形成了运用小数乘法解决问题的基本技能。但理解抽象的分段计费标准，对学生来说仍是一个难点。基于上述分析，笔者制订了本内容的教学目标。1.德育目标：联系数学与生活，在解决分段计费问题的过程中培育节约资源的优良道德品质。2.智育目标：巩固小数乘法知识，重温“单价数量总价”的数学模型，在画线段图以及观察计费图式的实践活动中，习得解决分段计费问题的一般方法，体悟数形结合思想和函数思想，发展几何直观素养。3.美育目标：将文字表述转化为图表，简洁呈现出租车行驶里程与车费之间的关系，感受数学图形的美观，在应用数形结合解决问题的过程中体验美好，体悟数学应用于现实生活中的“完美”。【教学过程】v教学模块1：数学思考活用教材中分段计费的生活情境，进一步深挖德育资源，引导学生发现生活中其他分段计费问题，同时结合例9内容展开“阅读与理解”，围绕教学目标，使学生体会“数学来源于生活，又应用于生活”，感悟到节约能源的重要性和必要性，初步厘清出租车分段计费的标准，由此制订任务1和任务2。任务1：联系收水电费等生活情境，理解分段计费的实际意义，初步感知模型思想。师：同学们，你们了解分段计费吗？生活中，我们在哪些地方见到过分段计费？生：知道。水费、电费的收取就是分段计费。用水、用电越多，费用越高。核心问题1 说一说怎么分段，为什么要进行分段计费。生：家里的电费超过一定度数，计费标准就不同了，因此我们要节约用电。生：还有打车费，它分成起步价和超过起步价的部分，两者的计费方式不同。师：可见分段计费与我们的生活息息相关，实行分段计费能帮助我们减少浪费。这节课我们一起深入探究分段计费问题。任务2：剖析题目，厘清计费标准，发现“分段”变与不变的美妙。教师用课件出示例题：出租车的计价标准是3 km以内7元；超过3 km的部分，每千米1.5元（不足1 km按1 km计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了6.3 km，需要付多少车费？师：题目中有哪些数学信息，怎么理解？生：题目中说“不足1 km按1 km计算”，以此类推，超过1 km但不超过2 km要按照2 km算所以题中的6.3 km要按7 km算。师：车费会有什么样的变化？举一个例子详细说明。（同桌之间互相举例说一说，教师巡视指导）生：路程小于3 km时，无论是1 km、2 km还是2.3 km，都需要支付7元；若路程超过3 km，每增加1 km，车费会多1.5元，比如行驶了3.1 km或4 km，就需要支付7+1.5=8.5（元）。实施效果：学生能够理解生活中的分段计费问题，自主树立节约资源的意识，明白分段计费的原因与必要性，实现了“培育节约资源的优良道德品质”的德育目标；学生通过分组合作，在交流与表达中分析、理解题目，突破了理解所提炼的关键信息的难点，并能举例子说明对分段计费标准的理解，发现分段计费问题中的变与不变，体会函数思想，初步达到“渗透思想方法”的智育目标。v教学模块2：数学创造继续探究例9，围绕教学目标，引导学生将文字语言转化为图形语言，以深化对问题的理解，强化数形结合思想，体会创造知识的快乐，由此制订任务3和任务4。任务3：数形结合，借助线段图转化题目，理解题意。核心问题2 用什么方法表达能使题目中的数量关系更清晰？（学生独立思考后与小组成员进行交流，选择用线段图表示数量关系，如图1所示）31教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN本 期 话 题图1 线段图表示数量关系生：可以用线段将路程分为两段。第一段表示小于等于3 km的路程，第二段表示超过3 km的路程。线段终点表示7 km，因为“不足1km按1 km计算”。师：大家采用了文字、线段图等多种方式来表示题目，其中线段图是最受欢迎的，为什么？生：线段图方便而且清晰。师：这两段怎么计算？生：第一段只付7元，第二段每多1 km加1.5元。任务4：小组合作探究，解决分段计费问题，体验成功解决问题的美好。核心问题3 根据这个计费标准，李叔叔应该付多少元车费？（学生独立思考后和小组成员分享思路和方法）生：我们结合线段图知道，6.3 km要按照7 km来算。第一段7元，第二段超出了7-3=4 km，41.5=6（元），最后相加，得出应付13元。师：能给这种方法取个名字吗？说说你的理由。生：分段计算法，这个名字可以提醒我们，要根据不同标准分段计算。师：还有其他方法吗？生：首先将6.3 km按照7 km来算，假设按照每千米1.5元计算，7 km共需支付10.5元；由于前面的3 千米也是按照每千米 1.5 元计算的，只收了 4.5元，应补收7-4.5=2.5（元）。10.5+2.5=13（元），所以应收13元。师：假设很关键，我们把这种方法叫作假设法。假设法需要注意什么？生：最后要补上少算的部分。实施效果：学生基于已有的数学活动经验采用多种方式表征题目，并踊跃参与讨论，将题目的文字表征转化为图形表征，强化了对题意的理解，感受到了图形的简洁性。学生能够利用线段图，结合小数乘法的知识经验和“单价数量总价”的数学模型，得出解决分段计费问题的不同方法。创造知识后，学生的成就感得到满足，实现了“习得知识技能”“渗透思想方法”的智育目标和“感受美观”“体验美好”的美育目标。v教学模块3：数学欣赏在解决问题后，围绕教学目标，沿用例9中的出租车价格表，引导学生构建解决分段计费问题的知识体系，并归纳解决此类问题的一般步骤，设计观察图象的活动以强化学生的思维，由此制订任务5和任务6。任务5：总结分段计费的方法，内化成解决该类问题的数学模型，进一步体悟线段图解决问题的简便。核心问题4 分段计算法和假设法的步骤分别是什么？生：分段计算法是先按题意画出线段图，再逐段计算，最后相加。假设法是先假设，再找差价，最后调整。师：你更喜欢哪种方法？说说理由。生：我喜欢分段计算法，因为它容易理解。生：我也喜欢分段计算法，它不但容易理解，而且计算简单。任务 6：列表描述出租车价格和里程间的关系，观察图象，发展几何直观。基本练习：1.完成出租车价格表。行驶里程/km出租车费/元123456789102.根据表格快速地说出行驶4.9 km、4.1 km和9.5 km需要的车费。3.下面哪幅图表示了出租车费用和行驶里程32教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN本 期 话 题的关系？（）0000（学生独立完成基本练习，全班交流基本练习3）师：通过列表，我们能够快速答出相应里程的出租车费用。此外，图象也能让信息直观化。练习3中哪幅图正确表示了出租车费用和行驶里程间的关系？生：我选择D。因为超过3 km不超过4 km都付8.5元，路程变了，金额不变。同理，路程超过4 km不超过5 km都付10元。师：大家从“变”和“不变”的角度选出了答案，D选项呈现的图象正是我们以后会学习的分段函数。那在什么条件下，答案会是A呢？生：题目去掉“不足1 km按1 km计算”这一条件，那么在3 km之后，费用才会随着路程的增加而增加。实施效果：学生能够用自己的语言表达出分段计算法和假设法的解题步骤，内化新知，在课堂上乐于表达自己的真实感受，体悟到数学问题解决中的简便性和多样性。在练习题中，学生能够独立完成基本练习1和基本练习2，但对基本练习3存在理解困难。教师放手让学生观察图象，对其进行辨析，并从中体会分段计费的特点与函数思想，发展学生的几何直观素养。学生在分析问题的过程中发现变量与变量之间的关系，实现了“习得知识技能”“渗透思想方法”“发展核心素养”的智育目标。v教学模块4：数学应用为了呼应教学模块1，选用生活中的电费标准表、教材练习四第7题的水费分段计费作为情境，并围绕教学目标，设计变式练习，意在扩展学生思维，促进学生认知的结构化，由此制订任务7和任务8。任务7：通过解决与生活密切联系的分段计费问题巩固新知，落实数形结合思想与函数思想。练习1：某市居民用电阶梯电价收费如下表。用电量/千瓦时每千瓦时电费/元200及以下0.522014000.57401及以上0.82王叔叔家本月的用电量为300千瓦时，应缴电费多少元？练习2：某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨4元。（1）小云家上个月的用水量为11吨，应缴水费多少元？（2）小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？（3）小可家这个月缴水费90元，他家用水量为多少吨？任务8：总结解决分段计费问题的一般方法，实现认知结构化，将数学的简洁美升华至数学育人价值之美。师：这节课我们学习了分段计费的问题。我们可以按照标准分段，然后计算各段的总价，最后相加。那如果遇到更复杂的分段计费问题怎么办？生：可以根据题目信息画出对应线段数的线段图或者表格，再解决问题。师：根据阶梯电费、水费等问题，结合生活想一想，分段计费有什么意义？生：我国是人口大国，人人节约能够节省很多资源。水也是一样，如果我们不节约用水，地球上的最后一滴水就是我们的眼泪。分段计费就是提醒我们要尽最大的努力节约资源。33教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN本 期 话 题生：我们要有意识地节约用水，没有水就不可能有美丽的花草树木，树木、村庄和田地就会被沙漠侵蚀，影响我们的生活。师：一道简单的数学题里蕴含着深刻的道理。其实生活中处处有数学，仔细观察，我们还可以发现更多神奇的奥秘。师：同学们可以尝试用文字的形式记录今天的所学、所想、所悟，也可提出自己关于分段计费的疑问，或者其他解决分段计费问题的方法写下你的数学小作文，和大家一起分享。实施效果：学生面对新的问题情境与变式，能够根据题目进行分段并解决问题。在解决问题后，学生能踊跃分享分段计费的现实意义，培养了节约用电、用水，杜绝浪费的意识。尝试撰写数学小作文能够进一步培养学生数学思考和自我反思的能力。这样的学习过程能实现“培育节约资源的优良道德品质”的德育目标，“习得知识技能”“渗透思想方法”“发展核心素养”的智育目标和“体悟数学美好”的美育目标，体现了数学文化目标的协同作用。【教学意蕴解析】这是一节充满文化意味的数学课，学生经历了“数学思考”“数学创造”“数学欣赏”“数学应用”四个探究过程，感受到数学与生活的联系。在数学文化理念的引领下，学生感受到分段计费的现实意义，体会到运用数形结合解决问题的便利之处，落实了数学的育人价值。在教学中，教师通过挖掘教材中“李叔叔乘出租车付费”的学习素材，引导学生围绕4个核心问题展开探究，自主尝试解决分段计费的数学问题，实现知识的数学化和认知的结构化。教材中的例9是实际应用的问题，呈现的素材和思路蕴含丰富的数学文化元素。例如，从“分析与解答”出租车价格表的素材中能够深挖智育元素，通过呈现出租车费随着行驶里程的增加而变化的图象，直观感受二者的联系，体会函数思想。实践证明，正是教学素材和数学文化资源的挖掘与整合，催生出了具有育人价值的数学课：（1）在新知生成中培养良好品德，继承、弘扬中华优秀传统文化。在数学思考模块，由学生寻找生活中的分段计费问题，理解其实际意义；在数学应用模块，在应用新知的同时彰显分段计费的必要性。随着数学知识的生成，学生对节约、不浪费的行为有了深刻的认识，自主形成良好品德。（2）遵循教材逻辑，拓展素材，显化函数思想。在数学思考模块，引导学生初步感受车费与行驶里程间“变与不变”的关系；在数学创造模块和数学欣赏模块，呈现反映二者关系的图象，显化行驶里程变化时收费金额的变化，一步步彰显函数思想。总而言之，本节课所呈现的魅力正是数学文化智育、美育、德育资源相互依存、交互作用的结果。除此之外，数形结合思想及其体现出的数学简洁美贯穿本节课始终。三类资源的交织为学生的立德修身、智能发展和美育感知提供了实际支持，并让学生进一步认同和丰富班级的数学文化内核，使数学课程的育人目标真正落地。（1.广东省佛山市顺德区凤翔小学2.佛山科学技术学院）34