新人教版八年级数学第13章实数教案(全章)[1].doc

★人教版八年级数学★ 第13章 实数
第1课时 平方根（1）
教 学

目 标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
教学重点
算术平方根的概念。
教学难点
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？若面积是1、9、16、36、时，边长又是多少呢？

从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供背景和生活素材．
二、合作交流 解读探究
学生独立思考回答问题．
教师倾听学生的解题过程，并对学生的回答总结如下：
因为52=25，所以正方形画布的边长是5 dm．
在此基础上，学生独立求出面积为1、9、16、36、 的正方形的边长为1、3、4、6、．
这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？
【问题2】已知一个数的平方，怎样求出这个数呢？
【知识储备】
1、什么样的运算是平方运算？
2、你还记得1～20之间整数的平方吗？
【自主探究】学生清理思路，阐述观点．
教师对学生的回答做出总结：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算．在此基础上教师给出算术平方根的有关概念及规定．
【总结】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．

规定：0的算术平方根是0.
【思考】卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？
表示的是正数、负数、非正数还是非负数？

在求正方形边长的活动中，从学生已有求一个数平方的经验出发，求平方数的算术平方根．根据平方与开方互逆运算的关系，建立新旧知识之间的联系，为引入一种新的运算作好铺垫．

在会求一个平方数算术平方根的基础上，给出算术平方根的定义，有利于学生对概念的理解和把握．
让学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己求算术平方根的方法，提高语言表达能力．

让学生知道是一种非负数的常见的表现形式。
三、应用迁移 巩固提高
【例1】求下列各数的算术平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸
【教师关注】
（1）学生是否能正确地利用平方与开方互为逆运算的方法，求一个数的算术平方根；
（2）学生对算术平方根概念的了解程度；
（3）学生在活动中的参与意识，及发表个人见解的勇气．
教师展示例题，学生独立思考，动手完成，教师规范学生的语言叙述和书写，以第（1）题为例：
因为102 =100，所以100的算术平方根是10，即 =10
【思考】－4有算术平方根吗？
【例2】
1、非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
2、
3、的算术平方根是_____, 的算术平方根____
4、若是49的算术平方根，则=【 】
A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
5、若，则的算术平方根是【 】
A. 49 B. 53 C.7 D
6、要使代数式有意义，则的取值范围是【 】
A. B. C. D.
7、一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______。
【例3】若，求x、y、z值。

【练习】课本Р69 练习

学生在了解算术平方根及有关概念的基础上，通过对例题的研究，进一步巩固算术平方根的概念，了解本节课的重点．

让学生知道负数没有算术平方根。

通过例2的教学，将学生对知识的理解转化为数学技能，给学生获得成功体验的过程，激发学生的积极性，建立学好数学的自信心．

让学生进一步认识常见的非负数的表现形式，并用非负数的概念解题，使得新旧知识结合。
四、总结反思 拓展升华
1、算术平方根的定义和性质；
2、正确地利用平方与开方互为逆运算的方法，求一个数的算术平方根。
五、课堂作业
P75 1 2 11
教学理念/反思

第2课时 平方根（2）
教 学

目 标
1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。
教学重点
夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教学难点
夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形？它的边长a是多少？

创设设问题情境，激发学生兴趣。
教师提出问题，学生以小组为单位，动手拼剪，教师深入小组参与活动，帮助指导学生完成拼图活动．
二、合作交流 解读探究
教师提出问题，学生以小组为单位，动手拼剪，教师深入小组参与活动，帮助指导学生完成拼图活动．
方法1、如上图，把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为，则
由算术平方根的意义，
即大正方形的边长为
方法2、如右图，
【问题2】大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
学生在独立思考的基础上，再次分组活动．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，对学生的探究过程进行指导和帮助．
引导对学生的探究结果进行总结和交流，在此基础上教师明确：
是无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，如、、、等．
【教师关注】
（1）探究大小的活动中，学生怎样初步估计接近哪一个数；
（2）怎样利用无限逼近的方法将的位数不断增加；
（3）在与学生沟通的过程中及时发现学生探究过程中的困难，给予及时指导；
（4）学生能否用自己的语言来谈出对探究过程中采用的方法；
（5）学生能否对的无限及不循环有所体会；
（6）能否感受到与我们以前接触的数都不一样．
【问题3】你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。

通过拼图活动得到与有理数不同的另一类数——无理数，以为例子．通过形的研究来感受无理数的存在．
通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间观念，发展形象思维．

在探究活动中发挥计算器的作用，加强培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受两个方向无限逼近的数学思想，发展了学生的抽象思维．

让学生对带有根号的数能进行分类。

三、应用迁移 巩固提高
【例1】用计算器求下列各式的值：
（1）（2）（精确到0.001）
学生独立思考，动手完成．
注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．
【例2】 (1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?
解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故长方形纸片的长为3cm,宽为2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.
通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.
【练习】课本Р72 练习

通过用计算器求算术平方根，使学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感．

培养学生运用所学知识解决实际问题的意识和能力．
四、总结反思 拓展升华
1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.
2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
五、课堂作业
P75 5、6、9、10
教学理念/反思

第3课时 平方根（3）
福民俊杰学校初中数学集体备课教案
执教者：边文亮 2015、9、15
教 学

目 标
1、掌握平方根的概念和表示方法和开平方的概念；
2、理解平方根的性质；
3、知道平方和开平方互为逆运算；
教学重点
平方根的概念和求数的平方根。
教学难点
平方根和算术平方根的区别和联系。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题】
1、 的平方是49。
2、平方得81的数有 个，分别是 。
3、一对互为相反数的平方是 数。
4、填表：
x2
1
16
36
49

-100
x

由问题是引入平方根的概念．
二、合作交流 解读探究
学生完成练习，师生共同归纳：
⑴如果一个数的平方等于，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，用符号表示为：若；其中正数a的正的平方根（即算术平方根）用表示，正数a的负的平方根用-表示。
⑵只有非负数才有平方根；
⑶求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。
【练一练】求下列数的平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0
【总结归纳】
1、正数有两个平方根，它们互为相反数
2、0的平方根是0
3、任何数的平方都是正数，所以负数没有平方根，所以中的被开方数a必须是非负数，才有意义。
【讨论】平方根与算术平方根之间有什么关系？
【总结】
1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为。
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
⑶0的平方根和0的算术平方根都是0

通过练习使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，，
如果有要用平方根的符号来表示。

【例2】求下列各式的值：
（1），（2）－，（3）（4），

【例3】当x为何值时，下列各式有意义？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

【例4】求下列各数中的值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

【练习】课本Р75 练习

熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。

四、总结反思 拓展升华
1、什么叫做一个数的平方根？
2、正数、0、负数的平方根有什么规律？
3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？
五、课堂作业
P75 3 4 7 8 12
教学理念/反思

第4课时 立方根
教 学

目 标
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
3、让学生体会一个数的立方根的惟一性.
教学重点
了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；会用计算器求某些数的立方根.
教学难点
明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根.
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题】要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
设这种包装箱的边长为x m,则x3=27这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为33=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m.
通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．
二、合作交流 解读探究
【归纳】 如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），这就是说，如果x3=a，那么叫做a的立方根。
∵33=27 ∴3是27的立方根
求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
【探究】根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ 2 ）
因为，所以0.125的立方根是（ ）
因为，所以8的立方根是（ 0 ）
因为，所以8的立方根是（ ）
【总结归纳】
正数的立方根是正数，0立方根是0，负数的立方根是负数。
一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，。
【探究】
因为所以 =
因为，所以 =
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。

通过亲自运算、探究学习立方运算的逆运算，培养了学生的探究能力，初步掌握立方根的概念．

三、应用迁移 巩固提高
【例1】求下列各数的立方根
⑴ －8 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
【例2】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

【例3】解方程
⑴ x3=0.125 ⑵3(x-4)3-1536=0
分析：我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解x3=a（a为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把（x-4）看成一个整体，依然转化成为x3=a的形式，再由立方根定义去求解。

【例4】利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？
…

…

【练习】课本Р79 练习

眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．
四、总结反思 拓展升华
1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．
2．在学习中应注意以下5点：
      （1）符号中根指数“3”不能省略；
      （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；
      （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但却有一个立方根；
      （4）灵活运用公式：x3=a，x=
      （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
五、课堂作业
P80 习题
教学理念/反思

第5课时 实数（1）
教 学

目 标
了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。
教学重点
实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
教学难点
体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题】使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即：
， ， ， ， ，
学生利用计算器将一些有理数转化为小数，与前几节学过的无限不循环小数作对比，为给出无理数概念做准备．

二、合作交流 解读探究
【归纳】 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
【观察】通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数。
【结论】 有理数和无理数统称为实数。
【试一试】 把实数分类：

像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
【探究】如图13.3-1所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长，点O′的坐标是，这样，无理数可以用数轴上的点表示出来。
【结论】
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
【讨论】当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
【结论】
数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的发现能力．
通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想．培养学生的多角度思维，为他们以后更好地学习新知识做准备．同时也能使学生加深对无理数和实数的理解．

从学生已有的知识水平出发，找到数轴上的位置，体会无理数是实实在在存在的数

让学生知道有理数中的相关概念在实数中同样适用。
三、应用迁移 巩固提高
【例1】把下列各数分别填入相应的集合里：

正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－，，0，，－3

【练习】课本Р86 练习1 2

通过对实数分类的练习与巩固，加深学生对各种数的认识，加深对实数概念的理解．

四、总结反思 拓展升华
这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？
无理数的特征:
1．圆周率π及一些含有π的数
2．开不尽方的数
3．无限不循环小数
注意:带根号的数不一定是无理数。
五、课堂作业
P86 1 2 3
教学理念/反思

第6课时 实数（2）
教 学

目 标
1、会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算。
2、学会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。
教学重点
实数的运算法则及运算律。
教学难点
准确地进行实数范围内的运算。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立。
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
让学生回忆有理数范围内比较大小的方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立。
二、合作交流 解读探究
【问题2】比较下列各组数里两个数的大小：
　　（1）
，1.4；（2）－，－；（3）－2，
分析：像例1（1），即可以将，1．4的大小比较转化为，的大小比较；也可以先求出的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。
【问题3】在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？
　　答：加、减、乘、除、乘方和开方运算。
　　接着问：有哪些规定吗？
　　除法运算中除数不为0，而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算。
　　问：有理数满足哪些运算律？
　　加法交换律：a+b＝b+a
　　加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）
　　乘法交换律：ab＝ba
　　乘法结合律：（ab）c＝a（bc）
　　分配律：a（b+c）＝ab+ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？

通过例题，使学生掌握比较两数大小的方法。

鼓励学生多举一些实际例子来验证。其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。
三、应用迁移 巩固提高
【例1】计算下列各式的值：
（1）； （2）

（3）； （4）

（5）（+2） （6）（+）

实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的。
【例2】利用计算器计算（结果保留小数点后两位）
（1）； （2）

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
【例3】为何值时，下列各式有意义？

【练习】课本Р86 练习3 4

例1在运算中遇到无理数但并不需要求出结果的近似值。

例2在运算中遇到无理数且需要求出结果的近似值，在教学中应该提醒学生注意按照问题的要求解决问题。
四、总结反思 拓展升华
1、用近似有限小数代替无理数，再进行计算。
2、会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。
五、课堂作业
P87 4 5 6 7 8 9
教学理念/反思
本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化，自己探索得到结论：实数与数轴上的点的一一对应关系，从而培养学生自主探索的学习方法。
在问题2中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要的数学思想：转化思想。
在应用环节中，先复习七年级上已经学习过的有理数范围内的运算律，然后提出一个富有启发性且具有探索意义的问题“我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？”然后鼓励学生多举一些例子来验证，其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。

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