统计学的几个概念.doc

一 统计学的几个概念1、总体和个体： 在统计学中，研究对象的全体称为总体；组成总体的每个单位，即每个研究对象称为个体； 总体中所包含的个体的数量-总体容量； 容量有限-有限总体； 容量无限-无限总体2、样本： 从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布； 样本中所含个体的数量称为样本容量。 一般地：设是一个随机变量，是一组相互独立且与同分布的随机变量，则称是总体，为来自总体的简单随机样本，简称：样本，为样本容量。3、统计量定义：设为来自总体的简单随机样本， 是一个关于的连续函数,若中不含 任何未知参数,则称是一统计量.常见的统计量有: 样本平均值: = 样本方差:备注: 叫做未修正的样本方差;称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的 有较简单的计算公式: 证明:样本标准差:样本阶原点矩: 样本阶中心矩: 二、抽样分布 统计量的分布叫做抽样分布.1.样本均值的分布: 由中心极限定理可知: 只要是相互独立且同分布的(设=),则 当充分大时,就可近似的服从正态分布. 即 应用举例: 例1 设,是来自的一个样本, 是样本均值,求和解: 因为,所以, 故=,=例2 设总体，是一个样本， 是样本均值,，求设，求 要使，至少应等于多少？ 解：例3 设与相互独立，而且都服从，和是分别来自与的样本，求的概率？解：结论：若（）是来自总体的一个样本，为样本均值，则 与相互独立。（结论在分布的结论中）2、分布1）定义:设（）是来自总体 的一个样本，则称统计量：所服从的分布是自由度为的分布，记作：。的概率密度函数为： ，其中:，备注：称作函数，函数有数值表可查，并且： ，事实上，（分布在第三章例3 中有定义）2)分布的性质分布的可加性：设，且与相互独立，则：+若，则，证明：因为，则：，所以：；3)结论：设（）为来自总体的一个样本，,为已知常数，则：I)统计量 （当=0时也成立）事实上，令，则，所以II)样本均值与样本方差相互独立，且统计量。例4设 是来自正态总体的简单随机抽样，记： ，问当各取何值时，统计量服从分布，其自由度如何？解：3、-分布1)定义:设，且与相互独立，则称统计量：所服从的分布是自由度为的分布，记为，分布又称为学生氏（Student）分布。分布的概率密度函数为： 。2)分布的特点（性质）。I、关于=0对称；II、在=0达最大值；III、的轴为水平渐近线；IV、；即时，分布，一般地，当30时，分布与非常接近。V、当较小时，分布与有较大的差异，且对有，其中。即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。VI、若，则 时，3)结论：I)设（）是来自总体的一个样本，则统计量：，事实上，由，又，且与相互独立，则与相互独立，由分布的定义，所以II)设（）是来自总体的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，当时，则统计量,其中， 事实上，且与相互独立，所以:，即：；又，且它们相互独立，由分布的可加性，则。由分布的定义：服从 例5 假设总体服从，是来自总体的简单随机抽样，求统计量：的概率分布4、-分布1)定义：设，且与相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记作：，其中：为第一自由度，为第二自由度。由定义，若，则。的概率密度函数为： 说明：先求出 的联合密度函数，再令，求出（）的联合，注意到独立，所以的边缘密度函数，也即的密度函数。2)分布的性质（特点）.密度曲线不对称(偏态).若，则.当时，当时，注:(利用)3)结论：设（）是来自总体的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，则。事实上，由分布的定义，可得,其中，；三、分位数1. 定义：设随机变量的分布函数为，对于给定的正数，若有满足，则称为的（下侧）分位数(或分位点)。2.表示方法：.的分位数满足：。由标准正态分布的对称性可知：。.分布的分位数 满足:，或定义：，即由附表查其值当时，或。例如： .分布的分位数满足：，即由附表5可查出其值。由于时，分布接近于，所以当时，可查分布分位数表。由分布的对称性可知：。它的双侧分位点（即满足）与上侧分位点的关系：例如：.分布的分位数满足：，由分布性质，有：=。事实上，。.分位数的其它表示法。1）若使，则称为的上侧分位数，显然:为原分布的1-分位数，这是因为。例:若,满足:,则2）若，使，；则称为的双侧分位数，显然，为的分位数，为的1-分位数。例:设,求,使得，解: 13