统计学的几个概念.doc

一 统计学的几个概念
1、总体和个体：
在统计学中，研究对象的全体称为总体；组成总体的每个单位，即每个研究对象称为个体；
总体中所包含的个体的数量------总体容量；
容量有限-----有限总体； 容量无限-------无限总体
2、样本：
从总体中抽出的部分个体组成的集合称为称为来自总体的样本。通常样本是相互独立且与总体同分布；
样本中所含个体的数量称为样本容量。
一般地：设是一个随机变量，是一组相互独立且与同分布的随机变量，则称是总体，为来自总体的简单随机样本，简称：样本，为样本容量。
3、统计量
定义：设为来自总体的简单随机样本，
是一个关于的连续函数,若中不含
任何未知参数,则称是一统计量.
常见的统计量有:
①样本平均值: =
②样本方差:
备注: 叫做未修正的样本方差;称为修正的样本方差,平时若未特别标明,样本方差均指修正的

有较简单的计算公式:
证明:

③样本标准差:
④样本阶原点矩:
⑤样本阶中心矩:
二、抽样分布
统计量的分布叫做抽样分布.
1.样本均值的分布:
由中心极限定理可知: 只要是相互独立且同分布的(设
=),则 当充分大时,就可近似的服从正态分布.
即~
应用举例:
例1 设~,是来自的一个样本, 是样本均值,求和
解: 因为~,所以,
故=,=
例2 设总体~，是一个样本， 是样本均值,，求①设，求
②要使，至少应等于多少？
解：

例3 设与相互独立，而且都服从，和
是分别来自与的样本，求的概率？
解：

结论：若（）是来自总体的一个样本，为
样本均值，则
①
②与相互独立。（结论在分布的结论中）
2、分布
1）定义:设（）是来自总体 的一个样本，则称统计量：所服从的分布是自由度为的分布，
记作：。
的概率密度函数为： ，

其中:，
备注：称作函数，函数有数值表可查，并且： ，
事实上，（分布在第三章例3 中有定义）
2)分布的性质
①分布的可加性：
设，，且与相互独立，则：
+
②若，则，，
证明：因为，则：，，
所以：；
3)结论：
设（）为来自总体的一个样本，,为已知常数，则：
I)统计量 （当=0时也成立）
事实上，令，则，所以
II)样本均值与样本方差相互独立，且统计量
。
例4．设 是来自正态总体的简单随机抽样，记：
，问当各取何值时，统计量服从分布，其自由度如何？
解：

3、-分布
1)定义:设，，且与相互独立，则称统计量：
所服从的分布是自由度为的分布，记为，分布又称为学生氏（Student）分布。
分布的概率密度函数为： 。
2)分布的特点（性质）。
I、关于=0对称；
II、在=0达最大值；
III、的轴为水平渐近线；
IV、；即时，分布，一般地，当>30时，分布与非常接近。
V、当较小时，分布与有较大的差异，且对有
，其中。
即分布的尾部比的尾部具有更大的概率。
VI、若，则 时，
3)结论：
I)设（）是来自总体的一个样本，则统计量：
，
事实上，由，又，且与相互独立，则与相互独立，由分布的定义，所以

II)设（）是来自总体的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，当时，则统计量
,
其中，，
，
事实上，，，且与相互独立，所以:
，即：；
又，，且它们相互独立，由分布的可加性，则。由分布的定义：

服从
例5 假设总体服从，是来自总体的简单随机抽
样，求统计量：的概率分布

4、-分布
1)定义：设，，且与相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记作：，其中：为第一自由度，为第二自由度。
由定义，若，则。
的概率密度函数为：

说明：先求出 的联合密度函数，再令，求出（）的联合，注意到独立，所以的边缘密度函数，也即的密度函数。
2)分布的性质（特点）
Ⅰ.密度曲线不对称(偏态)
Ⅱ.若，则
Ⅲ.当时，
当时，，
注:(利用)
3)结论：
设（）是来自总体的一个样本，（是来自总体的一个样本，且与相互独立，则。
事实上，，，
由分布的定义，可得
,
其中，；
三、分位数
1. 定义：
设随机变量的分布函数为，对于给定的正数，若有满足，则称为的（下侧）分位数(或分位点)。
2.表示方法：
①.的分位数满足：。
由标准正态分布的对称性可知：。
②.分布的分位数 满足:，
或定义：，即由附表查其值
当时，或。
例如：

③.分布的分位数满足：，即
由附表5可查出其值。由于时，分布接近于，所以当时，可查分布分位数表。由分布的对称性可知：。
它的双侧分位点（即满足）与上侧分位点的关系：

例如：
④.分布的分位数满足：，由分布性质，有：=。
事实上，
。
⑤.分位数的其它表示法。
1）若使，则称为的上侧分位数，显然:为原分布的1-分位数，这是因为。
例:若,满足:,则
2）若，使，；则称为的双侧分位数，显然，为的分位数，为的1-分位数。
例:设,求,使得，
解:

13