知识瀚海大,妙题共赏析1.doc

知识瀚海大，妙题共赏析（初中）
陈湘平 (广东省珠海市第四中学 519015)
在读书之余偶见一道“赶火车”的好题，现摘录如下，以供赏析:
今有8名旅客从旅馆要赶往15千米的火车站去乘火车，离发车时间只有42分钟了，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，已知步行的速度为4千米/小时，小汽车的速度为60千米/小时，问这8人都能赶上火车吗？
解：(1)由汽车来回接送8名旅客，要分两趟，总路程为15×3=45千米，所需时间为45/60小时=45分钟，可见这种方法是无法让这8名旅客都赶上火车的。
(2)如果在汽车送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，这样可以节省一些时间。
第一趟：不妨设汽车来回共用了x小时，这时其他旅客也步行了x小时，汽车和其他旅客的路程之和为旅馆与火车站之间的路程的两倍，所以4x+60x=15×2，x＝15/32，15/32小时＝28.125分钟。
此时剩下的4位旅客离火车站的路程为15-4×(15/32)=105/8千米。
第二趟：所需时间为(105/8)÷60＝7/32小时＝13.125分钟。
所以所需的总时间为28.125＋13.125＝41.25分钟，这种方法中我们是忽略了旅客上下车以及汽车掉头所用的时间，因此要都能赶上火车是比较勉强的。
(3)让汽车将4名旅客送到中途某处，让他们下车步行(在这个过程中其他4名旅客也在步行)；接着汽车回来再送其他4名旅客到火车站。适当地选取第一批旅客的下车地点，是可以使送第二批旅客的汽车与第一批旅客同时到达火车站的。在整个过程中每个旅客不是在乘车就是在步行，没有一个在原地浪费时间的，所以是一种最快的方法，求它所需的时间关键是求出第一批旅客的下车地点，计算如下：
设汽车送第一批旅客行驶了x千米后让他们下车步行，这时第二批旅客已经步行了4×(x/60)= x/15千米，在第二批旅客上汽车之前的这段时间里，由于步行速度不变，所以第一批旅客与第二批旅客始终相隔x- x/15= 14x/15千米，而汽车要在这段路程间跑一个来回，所需时间为(28x/15)÷60=7x/225小时，而这个时间刚好是第一批旅客步行(15-x) 千米的时间(15-x)/4小时，所以
7x/225=(15-x)/4，解之得x=3375/253≈13.34.
因此所需的总时间为(3375/253)÷60＋(15-3375/253) ÷4≈0.64小时＝38.4分钟。
这种方法可以挤出大约3.6分钟的时间，足以弥补我们忽略了的旅客上下车以及汽车掉头所用的一些时间，因此用这种方法可以让8名旅客都能赶上火车!
这是一道开放性的题目，在此题中不仅要考虑怎样赶火车而且要计算每一种方法所需的时间，针对不同的方法，答案是不一样的。它有利于训练学生的数学逻辑推理的严密性和培养学生的发散性思维。
如果我们将这个问题一般化：
今有mk名旅客从旅馆要赶往s千米的火车站去乘火车，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘（k+1）人，已知步行的速度为v1千米/小时，小汽车的速度为v2千米/小时（v2 >　v1），问至少要多少时间？（m、k为自然数）
那么我们可以推出一个时间计算公式：
T＝x/ v2 +[2(m-1)( v2- v1)x]/v22
其中x是关于x的方程[2(m-1)( v2- v1)x]/v22=(s-x)/ v1的解，即小汽车从旅馆到第一批旅客下车的地方的路程。

作者E-mail：cxp_97@