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函数奇偶性推广的教学
位育中学 周宇
高一数学在学习了函数奇偶性后，对学有余力的学生进行函数奇偶性推广的教学，即函数图象对称性的研究，是非常有益的。通过对函数图象对称性的数量特征的探讨，加深对数量特征与图象特征之间关系的理解。
函数解析式与函数的图象，是函数的两种表现形式，解析表示精确但抽象，图象表示直观而易于理解。这两者有机结合，相辅相成，就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映。
因此，我认为，对函数图象对称性的研究的教学，能培养学生的数学素养，提高学生理性思维的能力。下面设计如何进行函数图象对称性的教学。
一、函数奇偶性推广到函数图像的对称性
我们知道，偶函数f(x)的图象是关于y轴对称图形，f(x)是偶函数 Û f(-x)=f(x)；奇函数的图象是关于原点中心对称图形，f(x)是奇函数 Û f(-x)=-f(x)．
如果函数f(x)既不是偶函数，又不是奇函数，f(x)的图象是否可能是对称图形？我们先来看几个熟悉的函数．
例1、判断下列函数的图象是否是对称图形，如果是，请指出对称轴或对称中心．
(1) y=2x-1 (2) y=x2+2x-3 (3) (4)
(5) y=|x-1|
解：(1) 函数y=2x-1的图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是与直线垂直的任意一条直线，直线上任意一点是对称中心．例如点(1,1)．
注：我们主要研究对称轴平行于y轴的情况．
(2) 函数y=x2+2x-3的图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴为x=-1．
(3) 函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(2,1)．
注：双曲线也是轴对称图形，此双曲线的两条对称轴方程分别是x-y-1=0和x+y-3=0，我们以后将在解析几何中作进一步的研究。
(4) 函数的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是点(1,2)．
(5) 函数y=|x-1|的图象是折线，是轴对称图形，对称轴是x=1．
就函数解析式与其对应的图象来说，解析式具有的特点，图象上必有所表现；图象上具有的特点，解析式中也必有所反映，你能用数量关系来说明上述对称性吗？
这里，我们仅对第(2)和(3)两题加以证明．
(2) 在函数y=x2+2x-3的图象上任取一点M(a,a2+2a-3)，则点M关于直线x=-1的对称点N的坐标(-2-a, a2+2a-3)也是函数y=x2+2x-3的一组对应值，所以点N也在函数y=x2+2x-3的图象上，从而函数y=x2+2x-3的图象关于直线x=-1轴对称．
(3) 在函数的图象上任取一点，则点M关于点(2,1)的对称点N的坐标也是函数的一组对应值，所以点N也在函数的图象上，从而函数的图象关于点(2,1)中心对称．
这是根据对称图形的定义进行的证明，能否通过平移图象所得的函数具有奇偶性来说明？
(2) 将函数y=x2+2x-3的图象向右平移1个单位，得函数y=x2-4的图象，因为函数y=x2-4是偶函数，图象关于y轴对称，所以函数y=x2+2x-3的图象是轴对称图形，对称轴是x=-1．
(3)将函数的图象向左平移2个单位，向下平移1个单位，得函数的图象，因为函数是奇函数，图象关于原点对称，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心是(2,1)．
(1)、(4)、(5)三题留给同学们练习．
评析：函数图象对称性的证明方法：①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：图象上任取一点à求对称点à证明对称点也在图象上；②证明通过平移后的函数具有奇偶性．
二、数量特征的探索
问题：函数的图象是对称图形吗？三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是对称图形吗？如果是，对称轴或对称中心是什么？
为此，我们共同来探索函数y=f(x)的图像具有对称性的数量特征，直接的判定方法．
如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，在函数y=f(x)的图象上任取一点M(x,f(x))，则点M关于直线x=a的对称点N的坐标(2a-x,f(x))也是函数y=f(x)的一组对应值，所以f(x)=f(2a-x)，也可写成f(a+x)=f(a-x)．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的必要条件是f(a+x)=f(a-x)．是否是充分条件呢？
在函数y=f(x)的图象上任取一点M(a+x,f(a+x))，则点M关于直线x=a的对称点N的坐标为(a-x,f(a+x))，因为f(a+x)=f(a-x)，所以N的坐标(a-x,f(a-x))也是函数y=f(x)的一组对应值，因此点N也在函数y=f(x)的图象上，从而函数f(x)的图象关于直线x=a对称．这也就证明了函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充分条件是f(a+x)=f(a-x)．
例2、(1) 函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)；
(2) 函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是什么？请加以证明
答：函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(a+x)+f(a-x)=2b．请同学们作为练习加以证明．
评析：设函数f(x)的定义域关于点(a,0)对称，从函数的奇偶性来理解：
f(a+x)=f(a-x) Û 函数f(a+x)是偶函数，再通过平移图象，知函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；f(a+x)+f(a-x)=2b Û 函数f(a+x)-b是奇函数，再通过平移图象，知函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称．
三、应用
例3、函数是轴对称图形吗？如果是，请写出对称轴方程．
解：假设函数f(x)是轴对称图形，设对称轴方程是x=a，则f(a+x)=f(a-x)．
即恒成立．
化简得，4(a+1)x=0恒成立，所以a=-1．f(x)是轴对称图形，对称轴方程为x=-1．
评析：存在性问题，一般先假设存在，然后在存在的条件下推导，如果得出矛盾，说明不存在．此题也可通过图象变换来探索，是偶函数．
下面我们探索三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性．先看一个具体的三次函数：
例4、三次函数y=x3-3x2-2的图象是对称图形吗？
解：(1) 假设函数y=x3-3x2-2的图象是轴对称图形，设对称轴为x=a，则f(a+x)=f(a-x)．
即(a+x)3-3(a+x)2-2=(a-x)3-3(a-x)2-2恒成立．
化简得，x3+3a(a-2)x=0恒成立，但不存在这样的常数a．
函数y=x3-3x2-2的图象不是轴对称图形．
(2) 假设函数y=x3-3x2-2的图象是中心对称图形，
设对称中心为(a,b)，则f(a+x)+f(a-x)=2b．
即(a+x)3-3(a+x)2-2+(a-x)3-3(a-x)2-2=2b恒成立．
化简得，3(a-1)x2+a3-3a2-b-2=0恒成立．
Û 解得a=1，b=-4．
函数y=x3-3x2-2的图象是中心对称图形，对称中心是(1,-4)．

能否通过图象平移得到奇函数来找对称中心？
我们来看下列一组三次函数：
例4、下列三次函数的图象都是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心．
(1) y=x3 (2) y=x3-1 (3) y=(x-1)3 (4) y=x3+3x
(5) y=x3+3x -2 (6) y=x3-3x2+3x-2 (7) y=x3-3x2-2
(8) y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
答：都是中心对称图形．对称中心为(1) (0,0)，(2) (0,-1)，(3) (1,0)，(4) (0,0)，(5) (0,-2)，
(6) y=(x-1)3-1 对称中心为 (1,-1)，(7) y=(x-1)3-3(x-1)-4对称中心为 (1,-4)，
(8)
对称中心为．
评析：通过配立方，转化成f(x)=a(x-b)3+c(x-b)+d的形式，再平移得奇函数g(x)=f(x+b)-d=ax3+cx，从而求出三次函数f(x)图象的对称中心．
四、小结
1．函数图象对称性的证明方法：
①根据对称图形的定义证明图象上所有点的对称点仍然在图象上．其一般步骤是：
图象上任取一点à求对称点à证明对称点也在图象上；
②证明通过平移后的函数具有奇偶性．
2．函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)；
函数f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(a+x)+f(a-x)=2b．
3．函数图象的对称性是函数奇偶性的推广，函数奇偶性是函数图象对称性的特例。

位育中学 周宇
2005年4月
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