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第二部分 决策分析

人们在社会实践的各个领域中，经常会遇到各种各样的决策问题。对于某一决策问题，一般总有多个可行方案可供决策者选择。当我们采取某一可行方案后，可能会出现事先不能确切预知的状态，作为决策者，自然希望在若干可供选择的可行方案中能够作出决策，选择出最佳的可行方案，以达到预期的目标。
作为决策问题，一般应该具备下列条件：
（1）存在一个明确的目标；
（2）存在至少两个及以上可供选择的可行方案（下面称为策略）；
（3）存在一种或几种不以人的意志而改变的自然状态；
（4）各可行方案在自然状态下可计算相应的收益值。
决策分析就是研究这种不确定性的决策问题的科学方法，旨在完善决策过程。学习和掌握科学的决策分析方法，对管理决策者提高决策水平是十分必要的。科学的举措一般遵循这几条原则：定量分析与定性分析相结合；个人决策与集体决策相结合；现实与创新相结合。
决策问题可以按照决策内容的重要性、决策时间的长短、决策目标的性质、决策问题所处的条件等不同角度分成许多类型。本章仅按决策问题所处的条件和性质所分的类型来进行讨论，我们将决策问题的类型分为确定型决策、非确定型决策和随机型决策。
确定型决策是指决策问题的条件和性质完全确定，作出的某项选择的结果也是确定的。
随机型决策指在决策过程中选择某项决策时，可能有若干个自然状态出现，并可根据统计规律知道这些自然状态出现的概率分布。
非确定型决策是指在决策问题过程中，选择某项决策时，引发的自然状态不可预测。
下面我们对随机型决策和非确定性决策介绍相关的方法。

§2.1随机型决策方法
随机型决策又称为风险型决策，主要应用于产品开发、技术改造、风险投资等决策问题。
设为可能选择的第个策略，为可能出现的第j个自然状态，那么随机型决策问题一般可用下述5个要素来描述：
（1）策略集
（2）自然状态集
（3）收益函数——采取策略而出现状态时的收益值；
（4）自然状态的概率分布——状态出现的概率
（5）决策目标V。
收益函数可以由矩阵给定，我们称矩阵A为收益矩阵，也可描述成如表2-1所示的决策收益表。

表2-1

状态以及概率分布

…

…

策略

…

…

…
…
…
…
…

…

下面我们来介绍随机型决策问题的方法。

2.1.1 期望值准则与报童问题
例2-1 某企业为了提高经济效益，决定开发某种新产品，产品开发生产需要对设备投资规模作决策。设有3种可供选择的策略：
：购买大型设备；：购买中型设备；：购买小型设备。
未来市场对这种产品的需求情况也有3种：
：需求量较大；：需求量中等；：需求量较小。
经估计，各种方案在不同的需求情况下收益值见表2-2.表中数据出现负数，表示该企业将亏损。现问企业应选取何种策略，可使其收益最大？
表2-2

50
20
-20

30
25
-10

10
10
10

解 根据收益值表2-2，可以求出采用策略，，的效益期望值：

如果我们采用“收益期望值”最大为决策的准则，那么就选取策略，即购买大型设备做为决策方案。
这种通过计算各个策略的收益期望值，按照大小作为决策标准的决策准则，我们称为期望值准则。期望值准则一般分为两步：
（1）根据各种策略在不同的自然状态下的收益值和各种自然状态出现的概率，求出收益期望值
（2）比较收益期望值的大小作出决策。
下面我们用期望值准则来解决一个存储问题。
例2-2已知顾客对商店中某种食品每天需求量的概率分布如表2-3所示，每出售一件食品，商店可获利4元；若当天卖不掉，每件食品将损失3元。试问商店对这种食品每日应进货多少？

表2-3
需求量
0
1
2
3
4
5
6
7
8

0.05
0.10
0.10
0.25
0.20
0.15
0.05
0.05
0.05

解 我们来计算需求量的期望值

于是，我们采取3个策略：进货量分别取，，。表2-4给出了这3种策略的期望值。所谓纯利润就是从出售的获利中减去未能出售而遭受的损失，负的利润表示损失。

表2-4
需求量
概率

0
0.05
-6
-9
-12
1
0.10
1
-2
-5
2
0.10
8
5
2
3
0.25
8
12
9
4
0.20
8
12
16
5
0.15
8
12
16
6
0.05
8
12
16
7
0.05
8
12
16
8
0.05
8
12
16
期望值
6.6
8.85
9.35

显然，最优策略为每天进货4件。
关于例2-2实际上就是存储论中著名的报童问题。我们对它再作进一步的讨论。不失一般性，我们给出报童问题如下。
例2-3（报童问题）报童每天要到邮局去订报，出售一份报纸可获得利润（分），但如卖不出退回邮局，每份报纸要损失（分）。根据以往经验，得知每天需求量为k份的概率为。问报童每天应订购多少份报纸，才能使他获利的期望值最大？
解 设报童每天订购的份数为份，顾客每天需求量是一个随机变量，于是，有。报童每天的利润可用下列公式来表示：

因此报童获利的期望值为
（2-1）
报童需要作出的决策：确定一个订购数n，使得最大。
我们采取边际分析法来求解报童问题例2-3，也即利用价格结构来检验和判断在什么情况下，在多订一份报纸是合算的。
假设报纸订购数取n份是合算的，现考察再多订一份报纸是否合算，也就是考察第件报纸的利润期望值。第份报纸售出时，获利为分，售不出去时获利为分。因此，此时多订一份报纸的额利润期望值为
，
其中。所谓合算，就是利润期望值大于零。故由，可解得售出概率应满足下述等式：
（2-2）
其中。
于是，我们取满足下式的为报纸的最佳订购量：
（2-3）
下面我们用边际分析法来求解例2-2。因为我们引进了需求量随机变量X，所以我们将表2-3作一点修改并就在表中进行计算，如表2-5所示。现在本问题中，，所以，在时，满足式（2-3），所以最佳订购量件。
表2-5

0
1
2
3
4
5
6
7
8

0.05
0.10
0.10
0.25
0.20
0.15
0.05
0.05
0.05

0.05
0.15
0.25
0.50
0.70
0.85
0.90
0.95
1.00

0.95
0.85
0.75
0.50
0.30
0.15
0.10
0.05
0.00
如果报童问题中的顾客每天需求量X是一个连续型随机变量，它的概率密度函数为，则式（2-1）成为
。 （2-4）
从中解出，可知应该满足下式
。 （2-5）
满足此式的即为报纸的最佳订购量。虽然的值没有能够以显式的形式给出，但是如果概率密度函数知道了，便可通过计算或者查表得到的值。
例如，，现在是[2000，4000]上均匀分布的连续型随机变量，他的密度函数为

由（2-5）知，，于是，有，因此，报童的最优策略是订购3500份。
问题 某土地工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，工程可确保在30天内按期完工，但是根据天气预报，15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气而不影响工期，有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天，另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，考虑两种方案：
（1）提前紧急加班，确保工程在15天内完成，实施此方案将增加工资支付18千元。
（2）先维持原定的施工进度，到15天后根据实际出现的天气状况再作对策。若遇到阴雨天气，则维持正常进度，不必支付额外费用；若遇到小风暴，则有下述两个备选方案：（a）维持正常进度，支付工程延期损失费20千元；（b）采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24千元；有30%的可能减少工期2天，支付延期损失费和应急费用18千元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12千元。若遇到大风暴，则仍有两个方案可供选择：（c）维持正常进度，支付工程延期损失费用50千元；（d）采用应急措施，实施此措施可能出现三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费及应急费用54千元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费用46千元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38千元。试确定最佳方案。
假设 设表示方案“提前紧急加班，确保工程在15天内完成”；表示方案“按原定速度施工15天，再根据实际出现的天气状况作决策”；表示方案“15天后遇到小风暴采取应急措施”；表示方案“15天后遇到小风暴仍维持正常进度”； 表示方案“15天后遇到大风暴采取应急措施”；表示方案“15天后遇到大风暴仍维持正常进度”。表示“减少误工期i天”，表示“阴雨天气”，表示“小风暴”，表示“大风暴”。
求解 为解决这个复杂的决策问题，我们采用期望值准则。现将可能遇到的各种情况用决策树表示，如图所示。

根据决策树，自右向左，计算各方案的期望值

因为所以去掉方案分支，，。留下的方案即为最佳方案，即开始以正常速度施工，15天后根据实际出现的天气状况再作进一步的决策。出现阴雨天气，则维持正常速度施工；出现小风暴，则采取应急措施；出现大风暴，则仍按正常速度施工。整个方案的期望损失值为14.9千元。

2.1.2灵敏度分析
风险决策的关键在于各种自然状态出现的概率是已知的，而且是根据过去经验估计出来的，所以根据这样的概率值计算出来的损益值，不可能十分精确可靠。一旦概率值有了变化，据以确定的决策方案是否仍然有效，就成为值得重视的问题。因此，在决策过程中，有必要了解概率值变化对最优方案的选择究竟存在多大的影响，即概率变化到什么程度才引起方案的变化，这一临界点的概率称为转折概率。对决策问题作出的这种分析，称为灵敏度分析或敏感性分析。
经过灵敏度分析之后，如果决策者所选择的最优方案不因自然状态概率在其允许的误差范围内变动而变动，那么这个方案就是比较可靠的。
灵敏度分析的步骤
（1）求出在保持最优方案稳定的前提下，各自然状态概率所容许的变动范围。
（2）衡量用来预测的估算这些自然状态概率的方法，其结果是否能保证所得概率值在此允许的误差范围内变动。
（3）判断所作决策的可靠性。
例2-6投资公司有一投资决策问题的收益表，如表2-8所示。试问两个策略哪个是最优？并进行灵敏度分析。
表2-8 （单位：万元）

状态
状态
策略
1000
-400
策略
-300
2000
解 先计算两方案的收益期望值：

根据期望值准则，应选择策略作为最优策略。
下面对这一决策问题进行灵敏度分析。
（1）假设状态出现的概率由0.7变化到0.8，此时两个策略的收益期望值相应变化为

根据期望值准则，最优策略仍为。
（2）假设状态出现的概率由0.7变化到0.6，此时两个策略的收益期望值相应变化为

根据期望值准则，最优策略变为。
由（1）和（2）不难发现，当概率变动时，收益期望值的情况没有发生改变，而当概率在（0.6，0.7）内变动时，情况就可能发生根本性改变，最优策略可能由转变为。因此，在区间（0.6，0.7）内，存在一个参数，当概率时发生策略转折。
现在，我们不妨假设状态出现的概率为，两策略的收益期望值分别为

为观察的变化如何对决策产生影响，令，得

解得，称为转折概率。
可以看出，当时，，应选择策略；当时，，应选择策略。

2.1.3 贝叶斯决策
在随机型决策中，对自然状态的概率分布所作估计的精确性，直接影响到决策的收益期望值。我们称概率分布为先验概率。为了提高先验概率的精确性，我们可以对决策系统进行一次试验或者调查，并根据试验或者调查的结果来修改先验概率，以便我们在计算新的各个相关收益期望值时可以把新的信息体现在模型中。我们称这些新的概率分布为后验概率。
在这里我们必须指出，在试验或者调查前出现的自然状态，和试验或者调查后出现的结果未必相同。
例如，工厂生产的批量产品的自然状态有两种：表示为“好“的批量产品，表示为“不理想“的批量产品。现在知道先验概率.但是这样的概率分布可信吗？为此工厂进行抽样检查，决定从某一批量产品中检验两件产品样本。于是结果有3种：
为两件都是好的，为有一件是好的，为两件都是次品。
根据统计资料，“好”的批量产品中的次品率是4%，而“不理想”的批量产品中的次品率是10%，因为样本不是从“好”的批量产品中抽取，就是从“不理想”的批量产品中抽取，由于“好”的批量产品和“不理想”的批量产品中的次品率我们都已经估计，因此根据二项分布，条件概率完全可以计算出来。然后，我们通过贝叶斯公式来计算条件概率。如果抽样后的结果是，我们就用代替先验概率。这就是后验概率的意义。
我们再来看另一个实例。某公司对一块已经确定有石油资源的土地是否进行开采需要作出决策（自己开采或者出租）。估计该地出油量状态有3种，概率分布已经进行了估算。现在公司希望对概率分布作进一步的修正，为此可以考虑是否进行一次“地震试验”。如果进行试验，那么地质结构的状态有（好），（较好），（一般），（差）4种。而条件概率由统计资料完全可以决定。由于试验需要一笔费用，这样的试验是否需要做呢？
有了这样的准备知识以后，我们现在来给出贝叶斯决策方法。
为了使我们再利用期望值准则做决策的时候能够更加正确，我们考虑是否应花一笔费用进行试验或者调查，以得到有关新信息。然后利用这些新信息修正原先对所作的统计，并利用经过修正的概率分布在做决策。
我们假定试验或者调查后出现的结果是，并且条件概率能够估算出来。贝叶斯决策的基本步骤是：
（1）验前分析。决策者根据自己的经验和判断估计，然后凭借这种验前概率分布和收益函数，计算，利用期望值准则作出决策。假定相应得出的收益期望值为。
（2）预验分析。在实际试验或者调查前，可先对是否值得花一笔费用进行试验或者调查以获得新信息进行研究分析，从而作出是否试验或者调查的抉择。
（3）验后分析。在实际问题中，如果确实进行了试验或者调查，我们根据所得结果对验前概率分布做修正，得出验后概率分布，由新的概率分布和效益函数，计算新的，利用期望值准则重新作出决策。假定试验或者调查后相应决策所得的效益期望值为。
（4）阶段分析。为了提高决策的正确性，我们将试验或者调查搜索信息的过程划分为若干阶段，在每一阶段都作预验分析和验后分析。
那么在预验分析中如何进行抉择呢？
如果试验或者调查结果为，我们利用概率论中的贝叶斯公式，可以算出在结果为的条件下，自然状态为的条件概率：
（2-6）

假设试验或者调查结果为，由此用（2-6）算出概率后，用它取代，与收益函数一起，利用期望值准则可以算出新的：
（2-7）
然后计算出：

利用概率论中的全概率公式，可知试验或者试验或者调查结果为的概率是：
（2-8）
因此，估计出试验或者调查后决策所得的效益期望值为
. （2-9）
而就是如果进行试验或者调查使效益期望值增大的数值。显然，如果大于实验或者调查的费用，那就可以认为试验或者调查是合算的。
如果在决策的过程中确实进行了试验或者调查，并出现结果，那么就是验后概率，就是这次试验或者调查真正增加出来的收益期望值。此时，如果考虑再做一轮新的试验或者调查，那么这次试验或者调查算得的验后概率可以作为下一次试验或者调查的验前概率来使用。
例2-7 在例2-1的基础上，我们考虑对市场进行调查，现假设调查结果为（当前需求量较大），（当前需求量中等），（当前需求量较小）。
已知如表2-9所示，问在什么条件下可以进行市场调查？请作贝叶斯决策。
表2-9

0.6
0.2
0.2

0.3
0.5
0.2

0.1
0.3
0.6
解 先根据式（2-8）求出,如表2-10所示。在应用式（2-6）计算出，见表2-11.
表2-10

0.18
0.08
0.06
0.32

0.09
0.20
0.06
0.35

0.03
0.12
0.18
0.33

表2-11

0.56
0.25
0.19

0.26
0.57
0.17

0.09
0.36
0.55
最后，可得到算出万元，万元。因此，当调查费用不超过的时候，可以进行调查。

§2.2非确定型决策方法
有时我们关于自然状态的信息掌握得很少，无法估算出自然状态的概率分布，因而难以运用随机型决策方法。因此这类非确定型决策，就要依据决策者的决策偏向进行决策，也就是说在这种情况下主要取决于决策者的主观意志和素质。
常用的处理这类非确定型决策问题的方法有：乐观值准则、悲观值准则、折中值准则、后悔值准则和等可能准则。我们结合实例来说明这5个准则。
例2-8 某电视机厂为下一年度作广告宣传需要进行投资。现考虑了4个方案：(维持今年水平)；(增加5万元)；(增加10万元)；(增加20万元)。未来电视机市场可能出现4种情况：(有较大上升)；(略有上升)；(与今年持平)；(有所下降)。收益如表2-12所示，由于没有任何关于销售量的预测资料，试用各种不同的决策准则求出最优策略。

表2-12 （单位：万元）

20
10
0
-5

40
20
10
10

60
30
20
15

100
60
30
5

解 （1）乐观值决策准则。采用乐观值决策准则的决策者，属于敢于承担风险的进取型人才，对未来结果往往持乐观的态度，总是假设出现最有利的状态，认为即使出现不利的情况也未必会有多大的损失，但是一旦出现最有利的情况却能得到很大的收益。乐观值决策在准则又称大中取大的准则。该准则为：
①根据收益矩阵，确定每一个策略可能获得的最好结果：

②选取，使得
我们用乐观值决策准则来求解例2-8。决策过程可以用表2-13来说明，其中用黑体字加括号标出的数是，因此应采用策略。
表2-13

20
10
0
-5
20

40
20
10
10
40

60
30
20
15
60

100
60
30
5
（100）

（2）悲观值决策准则。采用悲观值决策准则的决策者，决策比较谨慎，不希望因为决策失误而造成失误，是从每一个可能出现的最差结果出发，通过分析多种最坏的可能结果，从中选择最好者，即从最不利的结果中选择最有利的结果。悲观值决策准则又称小中取大的准则，该准则为：
①根据收益矩阵，确定每一个策略可能获得的最坏结果：

②选取，使得
我们用悲观值决策准则来求解例2-8。决策过程可以用表2-14，其中用黑体字加括号标出的数是诸中的最大值，因此应采用策略。
表2-14

20
10
0
-5
-5

40
20
10
10
10

60
30
20
15
（15）

100
60
30
5
5

（3）折中值决策准则。折中值决策准则是介于悲观和乐观之间的决策准则，认为乐观值决策准则太冒险，悲观值决策准则太保守，那么考虑折中一下。即既不完全乐观，也不完全悲观，而是采用引进一个乐观系数来反映；而就称为悲观系数。该准则为
①根据乐观值准则中的和悲观值中的计算折中值：

②选取，使得

我们用时的折中值决策准则来求解例2-8。决策过程见表2-15，可见应采用策略。

表2-15

20
10
0
-5
6
-3.5
2.5

40
20
10
10
12
7
19

60
30
20
15
18
10.5
18.5

100
60
30
5
30
3.5
（33.5）

（4）后悔值决策准则。在决策过程中，当某种状态可能出现时，决策者必然要选择使收益最大的策略，但决策者由于决策失误而没有选择收益最大的策略，就会感到后悔。后悔值决策准则的思想就是尽量减少决策后的后悔程度。衡量决策者后悔程度的一个指标，称为后悔值。事实上，相应于每对（，）都可以定义一个后悔值：

其中为决策者在状态时可获得的最大收益，即
该准则为：
①计算出后悔值：
②对每个可能产生后悔最大的数值

③选取，使得

我们用后悔值决策准则求解例2-8.决策过程见表2-16，采用策略。

表2-16

20
10
0
-5
80
50
30
20
80

40
20
10
10
60
40
20
5
60

60
30
20
15
40
30
10
0
40

100
60
30
5
0
0
0
10
（10）

100
60
30
15

（5）等可能决策准则。在各种自然状态发生的概率总是相同的条件下，我们采用等可能决策准则来选择最优策略，该准则为：
①计算各策略在各自然状态等概率条件下的效益期望值：

②由期望值中的最大者，来确定相应的作为最优策略。
我们用等可能决策准则求解例2-8.计算期望值：

因此采用策略。
对于非确定型决策问题，是因人、因时、因地选择的决策原则。在实际决策时，可根据具体情况同时选用几个不同的准则，然后将所得的结果进行分析比较，从而作出最后的选择。一般来说，总是在若干准则中，被选中多的策略应予以优先考虑。比如，例2-8求解中有4次决策为策略，所以应该是最优策略。