高中数学教学与数学文化.doc

摘 要 内容摘要： 新一轮课程改革无疑是对传统数学教学的挑战，从理念到内容，从方法到模式，蕴含着古今中外杰出数学人才成长史、数学演变史、数学思维发展史的数学文化在数学教学中的价值逐渐得到认同，数学课程应当反映数学的历史、应用和发展趋势，反映数学与社会发展相互作用、相互推动的关系，反映数学科学的思想体系、美学价值，已经成为数学教育教学研究的共识。在高中数学教学中渗透数学的科学价值、应用价值、人文价值，进行数学愉快教学，让学生学会体验、欣赏数学，帮助学生培养热爱数学知识、自主进行数学技能训练，在数学文化的熏陶中逐步将知识、技能内化为一种数学性格，生成良好的数学素养，是高中数学教学的新视点，本文结合数学史范例，从高中数学新课程改革的角度探讨数学文化在高中数学教学的渗透，并通过实验证明，数学文化背景下教与学理念和形式的人文化、多样化，课题的研究对高中数学教学有着极大的促进作用，将对学生的终身数学学习的兴趣和能力产生深远的影响，有利于完善学生的数学人格，促进他们身心的健康发展。关键词：数学文化 数学素养 数学教学 研究性合作学习AbstractContent: A new wave of course reform is undoubtedly a challenge to conventional math teaching. From the ideas to contents, from methods to models, with the development stories of many outstanding mathematical talents history, with the evolvement history of mathematics, and with the history of math thinking, the math cultures value in math education is gradually recognized and accepted. The math course should reflect maths history, maths application and development trend, and maths interaction and co-development with the society, and reflect math sciences ideology system and aesthetic values. This has become a common recognition in math education research. It is a new viewpoint that teachers teach courses in an enjoyable way with maths science values, practical values, and humanity values. Meanwhile, teachers help students experience and enjoy math, help them begin to love math knowledge from the bottom of their hearts, help students obtain their math techniques by themselves. In this way, students gradually integrate knowledge and techniques into a math characteristic, and obtain excellent math accomplishments. The paper introduces examples of math history ,from the angles of maths course reform explores math cultures influence in high school math course teaching. The paper proves with experiments that, it has greatly promoted high school math course teaching, with the humanity and diversification of concepts and forms of teaching and project. It is also beneficial to students personality development and their development in physical and mental health, profoundly influenced students interests and abilities in learning math throughout their lives.Key words: Mathematics culture; Mathematics skill set; Mathematics teaching; Researching cooperation and learning目 录引言1 1 新课程背景下关于数学的思考12问题的提出1第1章 树立数学文化观41.1数学与文化41.1.1关于数学4 1.1.2数学文化的概念界定41.2数学文化观51.2.1数学文化在中学数学教学中的迷失和回归51.2.2在中学数学教学中树立数学文化观6第2章 数学文化的形成和发展7 2.1数学发展史概述7 2.1.1古代数学时期72.1.2变量数学时期92.1.3近、现代数学时期92.1.4我国现代数学的发展102.2数学文化的发展122.2.1几何、微积分、非欧几何与数学文化122.2.2自然、综合国力与数学文化132.2.3人的发展与数学文化14第3章 高中数学教学渗透数学文化教育的必要性163.1渗透数学文化教育是高中新课标的要求163.2渗透数学文化教育是素质教育的重要内容163.3渗透数学文化教育可以有效激发学习数学的热情183.4渗透数学文化教育有助于全面认识数学的价值19第4章 高中数学教学渗透数学文化教育的实施214.1通过介绍数学史来渗透数学文化教育214.2创新教学方法，传播数学文化234.2.1发掘数学的内蕴，展示数学的美学价值234.2.2重视数学思维的培养，崇尚数学的理性精神244.2.3营造良好的课堂文化氛围，体现数学的人文精神264.3渗透数学思想方法，提高学生数学素养274.3.1运用数学思想方法的创新属性培养数学创新意识274.3.2运用数学思想方法的辩证特点培养正确的世界观、完善认知结构284.3.3在课堂教学中实施化归、构造函数等数学思想方法的渗透284.4开展研究性合作学习，体验感悟数学文化的价值30第5章高中数学教学渗透数学文化教育的实验研究365.1实验的目的365.2实验的理论依据365.2.1普通高中数学新课程标准365.2.2学习理论365.3实验设计365.4实验结果分析37结语40参考文献41附录143附录244致谢46引 言一、新课程背景下关于数学的思考R柯朗在M克莱因所著的西方文化中的数学一书的序言中指出：许多世纪以来，人们一直遵循数学是文化的组成部分的传统，但在我们这教育普及的时代，这一传统却被抛弃了。M克莱因在该书的前言中指出：在教科书和学校的课程中，都将“数学”看作是一系列毫无意义的，充满技巧性的程序。外行人很少使用数学技巧及其知识，因此他们通常对这些显得枯燥无味的东西反感，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度，对数学的无知成为一种社会风尚。M克莱因所指出的现象不仅反映了20世纪五、六十年代西方国家人们认识数学的一种态度或倾向，也透视了中国现代教育对数学的认识倾向。随着人类文明的进展，数学科学不断赋予数学新的功能，现在数学的思想已开始嵌入我们的文化之中。教育部颁发的高中数学课程标准（实验）中，对高中数学课程提出了十条要求，其中之一是：体现数学的文化价值。认为数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神等。高中数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值，提出对“数学文化”的学习要求，提高学生的数学素养。高中数学课程标准对“数学文化”的渗透给予了足够的重视，在实验教材的每一章内容后都附有相应的阅读材料或课题学习，在教材内容的注解中介绍了不少的数学史，但是，要使“数学文化”的思想理念真正在高中数学课堂教学中渗透实施，变成教师的自觉行为，本文认为：必须要转变观念，树立数学文化观，比较全面地认识数学文化的形成和发展，认识到在数学课堂中渗透数学文化的必要性，确立新课程标准理念下数学教育的评价体系，并且在实践中积极探索落实“数学文化”理念行之有效的方法。二、问题的提出R柯朗在什么是数学第一版的序言中指出，数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而数学的应用以及与其他领域的联系却没有得到应有的重视，数学教育也已陷入严重的危机之中，数学教学有时竟演变成单纯的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致对数学的真正理解，也无助于提高独立思考的能力。在第一版修正版的序言中R柯朗又指出，在许多事情的推动下，人们对数学知识与训练的需要日益增加，除非学生与教师设法超越数学的形式主义，并努力去把握数学的实质，否则产生受挫和幻灭的危险将会更甚。R柯朗对数学界的上述批评和告诫，过去了60年，但至今仍然有深刻的现实意义。他的批评既尖锐又中肯，关照现实，我们的数学课程教学又是怎样呢？以往我国数学教育界对中小学的教育水平，自我感觉良好，实际上，目前我国数学教育的现状不容乐观。2005年6月26日，丘成桐院士在浙江大学主持“数学英才班”第一场面试后，很失望地指出与国外相比，数学方面的差距不仅是在本科生和研究生阶段，国内的基础教育水平没有人们想象的那么好。参与面试的其他著名数学家也认为，这次面试使他们意识到，问题不仅存在于大学教育，更存在于中学教育。他们还认为，数学竞赛对中学生的负面影响，超出了他们的想象。现在的高中生不能准确叙述圆周率这一概念，不知道什么是“割圆术”，不知道什么是历史上数学计算方面的三大发明的学生比比皆是。正如学生说：我们从来没有学过数学史，也从来没有做过这样的题目。以上警示折射出了现行数学教育的一个弊端，重形式体系、重逻辑推理、重数学问题解决，轻数学文化教育。把掌握基本知识，训练学生的基本技能，提高学生解题速度和准确性作为教学的唯一目标，使得学生的情感和精神生活在这种机械训练的教学模式下丧失殆尽，把数学知识变成了僵死的教条，且以灌输的方式阻碍着学生的智力发展，使学生的创新意识与学习的激情逐步退化和停滞。一旦高考结束，留给学生的数学仅仅是加减乘除而已。学生认为学习数学仅仅是为了考试，而且在数学上花费的时间最多，在现实生活中最没用。有少数学生甚至由怕数学到恨数学，更有甚者恨数学老师，这不能不说是数学教育的悲哀，值得我们关注和反思。把学生的生活空间挤压在“题海”中，在分数的争夺上，使学生失去了健康快乐的生活，这种教学与以人为本的精神是相悖的。早在一九八四年，美国国家研究委员会的报告就指出：“在现今这个技术发达的社会里，扫除数学文盲的任务已经替代了昔日扫除文盲的任务，而成为当今教育的主要目标。”报告预见到：在二十一世纪，数学的知识和方法渗透到人类事物的方方面面，一个没有数学素养的人将很难在社会上立足。而有数学素养，不仅仅表现在数学考试中的解题速度和准确度，还应在日常生活、学习、工作中时时处处表现出是一个学过数学的人，这种不经意的言谈举止中表现出的数学造诣，决不是一时的数学知识灌输、数学技能训练所能体现得出的，是在长期的数学学习中数学的思想、方法逐步内化而成的，也就是在数学文化的熏陶中逐步形成的。过去人们往往只把数学看成一种自然科学，对数学本质的认识，偏重于数学基础、数学与生产实际及自然科学的关系，重视人的认知能力，其实人的非认知心理活动的一面更为奇特，而我们的数学教育却忽视了这一点。音乐老师注意培养学生的乐感，体育老师注意培养学生的球感，英语老师注意培养学生的语感，数学老师却很少注意培养学生的数感，甚至自己也没注意到这种感觉，其实这种感觉对人的情感、认识等都有很大的影响。柏拉图提出，不懂几何者不得进入他的哲学学校；英国律师至今要在大学里学习许多数学知识；西点军校设置许多高深的数学课程等等现象表明数学的重要性。当那些人后来成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，那些具体的数学知识恐怕忘得一干二净了，但那种铭刻于心的数学精神和数学思想方法，却发挥着重要作用，这是精神的一面，非认知心理的一面。数学教育不能只停留在学生认知的水平上，应当尽可能让学生欣赏到数学的美，追求数学的美，并认识到发展数学对发展人类文化起着不可估量的作用，这样的数学教育才是高效的。本文提倡的，正是这样一种崭新的渗透了数学文化的数学教学。刚参加工作不久的数学教师是在教授课本知识，二流的数学教师在教授解题方法，一流的数学教师在传授数学思想方法，超级数学大师在传播数学文化，对受教育者产生深远影响。我们大多数的教师可能成不了大师，但作为当代的一名数学教师有责任、有义务为把我国建设成为“二十一世纪数学大国”而努力工作。第一章 树立数学文化观1.1数学与文化1.1.1关于数学数学的内涵随着时代的变迁而变化。公元前世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为：数学是量的科学。16世纪，英国哲学家培根（F.Bacon,15611626）将数学分为“纯粹数学”（pure mathematics）与“混合数学”（mixed mathematics）。17世纪，数学家、哲学家笛卡儿（RDeacartes,15961650）认为：凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关。19世纪晚期康托尔（GCantor,18451918）认为：数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。20世纪初罗素（BRussell,18721970）曾说过一段看似无理、实则充满睿智的话：“数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”莫里斯克莱因（Morris kline,19081992）认为，这是罗素用生动的语言对数学在20世纪与科学的关系的最好描述。数学家们不知道自己所说的是什么，是因为纯数学与实际意义无关；数学家们不知道所说的是否正确，是因为作为一位数学家，他们从不费心去证实一个定理是否与物质世界相符，对这些定理我们只能问也只需问它是否通过正确的推理得来的。R柯朗在什么是数学一文指出：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。他还认为：不论对专家来说，还是对普通人来说，唯一能回答“什么是数学”这个问题的，不是哲学而是数学活生生的经验。普通高中数学课程标准（实验）中认为：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然界规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。这样就把数学和文化连接到了一起，给数学课程指出了新的教学视野。1.1.2数学文化的概念界定什么是文化？中国大百科全书辞典解释为：文化，泛指一般知识，特别是基础的语文和计算知识。在中国古代，文化又是文治，教化的总称。当今文化一词，译自英文culture,一般说来，通过基因传递的（遗传）为生物的本能，后天习得的为文化传递，人类的行为模式，大部分是后天学来，可以认为是人创造出来的供人享受的一切，包括科学、艺术或美术、哲学或宗教等，文化是与自然相对的，广义地说，是指人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富与精神财富的总和。按照这样的理解，我们就应把一切非自然的、也即由人类所创造的事物或对象都看成文化的产物。任何一门科学都属于人类文化的范畴，数学也是一种文化现象。数学是人类的一种文化，它的思想、内容、方法和语言是现代文明的重要组成部分，数学不只是关于数的世界、形的世界或更广阔世界的科学，数学还是一门充满人文精神的科学，作为一种理性的深层次文化对人类社会有着深刻的影响。结合M克莱因在是与非的观念一文中数学为什么可以作为文化来看待的六个方面的说明和国内最早注意数学文化的学者即北京大学教授孙小礼的观点，本文界定数学文化的概念是：渗透数学内涵，用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学语言、图表、符号表示，进行数学交流，通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美的一种文化现象。把数学看作一种文化现象，数学教育就是数学文化的教育。当前，数学教育的文化价值已受到数学界的普遍认可，数学文化观逐渐树立。1.2数学文化观1.2.1数学文化在中学数学教学中的迷失和回归为什么在高中数学新课标中又重提数学文化呢？一个重要原因是数学本身的发展存在着脱离一般科学文化的孤立主义的倾向，即与一般科学文化相比，显得“超凡脱俗”、“曲高和寡”，数学的过度形式化，以及高度的抽象化，容易使人错误地认为数学只是少数天才脑子里想象出来的，由专家发明的一系列规律和公式，而其他人只能应用以得出固定答案，数学的进步也无需人类文化的哺育。另一个重要的原因，正如M克莱因所说，在教科书和学校的课程中，都将“数学”看作一系列毫无意义的、充满技巧性的程序。把这样的东西作为数学的特征，就如同把人体结构中每一块骨骼的名称、位置和功能当作活生生的、有思想、富于激情的人一样。在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会被简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。由于外行人很少使用数学技巧及其知识，因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感。这样一来产生的结果是，对数学这样一门基础性、富有生命力的、崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度。正是上述一些原因，数学作为一门自然科学，其丰富的科学价值为大众熟知，作为一种文化所蕴含的深刻的人文价值，却往往被大众所忽视。王梓坤院士在今日数学及其应用一文中总结了数学的四个作用，其中一个作用是对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，他指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括。”齐民友教授在数学与文化中指出：“历史已经证明，而且将继续证明一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不将掌握数学作为文化的民族也是注定要衰落的。”在2002年北京国际数学家大会上，国外数学教育家提出了将数学教育与人文教育相结合的观点，在国内张奠宙教授、齐民友教授、张顺燕教授、张楚廷教授、孙小礼教授、邓东皋教授等学者纷纷发出对数学文化的呼吁，广大数学教育工作者逐渐达成共识。高中数学课程标准明确提出要在教学中体现数学的文化价值，表明数学文化的回归乃大势所趋。1.2.2在中学数学教学中树立数学文化观学习数学不仅是为了获取知识，更要通过数学的学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中去。前苏联数学家辛钦指出：“数学教学可以培养人正直与诚实的品质，可以培养人的顽强与勇气。”英国大学律师专业开设了数学课程，因为严格的数学训练能够使人养成一种坚定不移而客观公正的品格，形成一种严格而又精确的思维习惯。著名的美国西点军校也开设了数学课程，其目的不在于实践中要用到这些数学知识，而是在于以下考虑：只有经过严格的数学训练，才能使学生在未来的军事行动中，把特殊的活力与灵活的快速反应互相结合起来，使学生具有把握军事行动的能力和适应性，从而为他们驰骋疆场打下坚实的基础，这些都可以看成数学文化的魅力。数学的文化性还体现在：数学可以帮助人们更好地认识自然和人类社会，更好地适应日常生活，理解周围世界；数学可以促进人们有条理地思考有效地进行表达和交流，运用数学分析问题和解决问题；数学实践活动可以发展人的主动性、责任感和自信心，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的创新精神。因此，在高中数学教学中，要树立数学文化观：充分发挥数学教育的两个功能即科学技术教育功能和文化教育功能，在传授知识的同时起到人格教化的作用，让学生不但是一个科学人，还是一个文化人，形成和发展数学品质，全面提高学生的数学素养。第二章 数学文化的形成和发展数学是人类活动的结果，只有真正了解数学的历史的人，才能对数学文化有较全面的认识，才能树立数学文化观。数学课程一般使人有这样一种感觉：数学就是从概念到概念，从公理到定理，从定理到定理，从一般到抽象，从抽象到更抽象；在深奥的数学抽象王国里，数学家们都是天才、超天才，他们能克服任何困难，能轻松地巧架辅助线，巧设辅助函数，任何难题他们都所向披靡，而数学的发展史告诉我们：数学家也是普通的人，也曾经历过漫长艰苦的道路，也曾在迷雾中摸索前进，也曾遇到过挫折、斗争，所谓天才，其实就是刻苦钻研、不屈不挠的精神。数学文化揭示真理：认真探索先人的数学创造的思想、数学发现的能力往往比仅仅积累、掌握数学教科书上的知识更为重要。2.1数学发展史概述2.1.1古代数学时期（原始人时代到世纪初）2.1.1.1数学的萌芽时期（约公元前年公元前年）在自然科学的众多分支中，数学是其中最古老的分支之一，其发展的历史和人类的历史几乎是同样的久远。最初，仅仅是一些零碎的简单数学知识，中国古代的传说中便有“结绳而治，契木而之”的说法，后来更有“隶首作数”的记载。三四千年前，在人类文明的发祥地埃及的尼罗河流域、伊拉克的两河流域、印度河流域、中国黄河流域等地区，开始出现了较高水平的人类早期文化，出现了数的写法、数的算术运算、某些几何的实际知识，解答最简单的代数性质问题等。公元前二千年左右，出现了专门记录数学知识的史料，但只是零星的知识积累，尚未概括出精确的方法，也没有严格的理论，没有形成严整的体系，也缺乏逻辑因素，在这一时期基本上还看不到命题的证明，演绎推理和公理法。2.1.1.2初等数学时期（公元前年世纪初）近两千年的初等数学时期，可分为几何发展时期（公元前600年2世纪）和代数优先发展时期（2世纪17世纪），也可分为希腊数学时期（公元前600年7世纪）、东方数学时期（715世纪）和欧洲文艺复兴时期（1517世纪）。希腊数学与哲学的紧密结合使数学知识很快被抽象、概括、整理，形成数学理论，同时又重视命题的逻辑证明，力求数学建立在必然性的理论基础上，追求严密的理论体系，在古希腊形成一种风尚和传统。例如强调“万物皆数”的毕达哥拉斯学派的数学思想一直影响到文艺复兴时期的其他哲学家和科学家。几何原本是古希腊数学的代表，欧几里得几何的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的，美妙的定理，更主要的是它孕育出了一种理性精神，数学也被看作是所有科学的标准，在柏拉图学院的门口，写有这样的箴言：“不懂数学者不得入内”，这典型地反映了当时对待数学的态度。随着古希腊数学的衰退，数学发展的中心转到东方的中国、印度和阿拉伯。印度人在代数、三角等方面获得了相当大的成就，512世纪是其全盛时期，阿拉伯数学自715世纪的数百年间，吸取希腊与印度的数学精华，而且大大向前发展。这个时期中国数学也有了长足的发展，出现了九章算术、赵爽的勾股圆方图注、刘徽的九章算术注和海岛算经、五曹算经、孙子算经、张邱建算经等，沈括的梦溪笔谈，秦九韶的数学九章等一些具有世界意义的突出成就。在1000多年间，九章算术一直被当作教科书，对东西方数学发展有着重大影响。祖冲之（429500年）是继刘徽之后的一位杰出的数学家，计算圆周率精确到小数点后第六位，即：3.14159263.1415927，这一记录直到世纪才被阿拉伯数学家阿尔卡西打破。祖冲之还提出圆周率的密率，1000多年后才被德国数学家鄂图（Otto,15501605年）重新得到。祖冲之之子祖暅提出“幂势相同，则积不容异”的原理，现一般称之为祖暅原理。意大利数学家卡瓦列利于17世纪重新提出这个原理，并为微积分奠定了基础。宋元数学是中国数学史上光辉灿烂的一页，也是中世纪世界数学史上最丰富多彩的一页，是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时期，特别在高次方程数值解法、天元术和四元术、大衍求一术、垛积术和招差术（朱世杰的“招差术”公式与其后300年牛顿的插值公式在形式上是完全一致的）等许多方面都超过西方，处于遥遥领先的地位。但明朝以后，中国古代数学陷于衰落，出现了停滞不前的局面。总的来说中国古代数学长于计算，疏于证明，数学的理性思维方面不如西方数学。欧洲数学从5世纪中叶到16世纪末期，经历了黑暗时期、传播时期、黎明时期和文艺复兴四个时期。15世纪中叶，开始了以意大利为中心逐渐蔓延到整个欧洲的文艺复兴时期。这个时期欧洲数学发掘、再现和继承了希腊人的数学，并受阿拉伯、印度数学的影响，终于第一次越过先人的成就，于17世纪完成了初等数学的建立。至此，初等几何、算术、初等代数、三角学都已发展成为独立的数学分支。初等数学的建立，标志着常量数学时期的结束，接着向变量数学高等数学过渡。2.1.2变量数学时期（世纪中叶世纪年代）文艺复兴时期，在生产的推动下，自然科学得到迅猛的发展，数学也进行了一场大变革，伽利略(Galilie,Galileo 15641642年)强调在观察和实验中运用数学方法的作用，强调科学必须通过测量而追求定量的规律。这种“实验数学方法”的思想，是划时代的。研究运动成了自然科学的中心课题，作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念，数学开始进入一个崭新的时期变量数学时期。伽利略提出实验力学，笛卡儿（Rene Descartes,15961650）和费马（Pierrede Fermat,16011665年）建立解析几何，费马和帕斯卡开拓概率论，帕斯卡提出数学归纳法，笛沙格和帕斯卡奠定了射影几何学，牛顿和莱布尼兹完成微积分的发明等。在1650年，自然界的数学解释已经风行全欧洲，并成为一种时尚，以至于印有笛卡儿名字的精美、昂贵的书籍，成了贵妇们梳妆台上的装饰品。17世纪后半期作为一门数学科学，微积分学的最后创立由一代宗师牛顿（Newton,Isaac 16421727年）和德国学者莱布尼茨（Leibniz,Gottfried Wilhelm 16461716）完成。18世纪是变量数学迅速发展的时期，在数学史上被称为发明的世纪，在这一世纪数学方面的成果大大超过过去任何一世纪，产生了一些重要的数学分支，如无穷级数、常微分方程和偏微分方程、微分几何和变分法、画法几何等。18世纪末，数学界产生了一种“世纪末”的情绪，认为在这一世纪内，已经由欧拉、拉格朗日、达兰贝尔等人把主要的问题全解决了，数学领域似乎已穷竭。但暂时的沉寂仅是暴风雨来临前夕的预兆，数学史上一场更为壮阔更为深入的革命即将来临，19世纪的数学将进入一个新时代。2.1.3近、现代数学时期（世纪年代二次世界大战，世纪年代以来）近代数学时期：19世纪在数学史上是一个具有特色的时代，数学取得了前所未有的飞跃发展，它的成果一直持续到20世纪，这一时期的特点：1）几何学上突破了传统的欧氏几何体系，各种非欧几何相继出现。2）代数学上打破了以方程论为中心的古典代数学之牢笼，以群论为发端的近世代数诞生。3）分析学上经过几代人的努力，终于奠定了分析学的严格的逻辑基础，并随之开拓了函数逼近论、复变函数论、泛函分析论、拓扑学等众多的数学新分支。4）出现了灿若群星的大批数学家，如高斯、傅里叶、泊松、波尔查诺、柯西、克莱茵、彭加勒、希尔伯特等等。在19世纪，由于数学研究题材巨大的膨胀，新领域不断地开辟，旧领域持续地扩大，数学这棵大树进入了它最繁盛的时期。从数学哲学的角度看，19世纪是一个重要的转折时期。在非欧几何出现以前，尽管不同的数学家、哲学家对数学有着不同的看法，但几乎所有的人对数学的绝对真理性持完全肯定的态度，然而由于非欧几何的建立，欧氏几何一统天下的覆灭，关于数学绝对真理性的信念崩溃了，各式各样代数学的出现加速了这种信念的破灭，数学家被迫从根本上改变对数学性质的理解，以及对它和物质世界的关系的理解，数学的发展由变量数学时期转向现代数学时期。现代数学时期：由于计算机的出现，使得数学得到了史无前例的迅速发展，数学这棵古老的大树焕发出青春的活力。数学界的思想极端活跃，现代数学知识爆炸，文献宏丰，一个数学家只能谙熟其中一个领域，至多旁及几个领域，像过去欧拉、高斯、黎曼那样“全能”的数学家已不复存在，也没有像庞加莱和希尔伯特那样雄视全局的大师，更不会有像希氏在短期内提出23个带全局性问题的突破。现代数学有以下特点：1）计算机科学和人工智能的形成和发展。2）应用数学分支的大量涌现和发展，如计算数学、对策论、控制论、生物数学、数学金融学、数理经济学等。3）纯粹数学有一些重大突破，如连续统假设，大基数问题，广义函数论，数理逻辑中的“力迫法”、“模型论”、纤维丛理论，数论中用李群的无限维表示法。4）系统科学的出现。5）各种数学新思想的出现，如非标准分析，模糊数学，突变理论，结构数学，构造数学，分形几何，混沌学等等。6）机器证明的出现。总之，从时间上来看，数学史是一个由简单到复杂，由低级向高级，由特殊到一般的过程。我国著名数学家齐民友教授在1958年所写的竹子的哲学一文中认为：“数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年后，竹子开花，结成种子，重回大地。”这一比喻，生动贴切地揭示了数学文化的形成和发展。2.1.4我国现代数学的发展辛亥革命推翻了满清王朝，一批知识分子为寻找中国富强之路，到西方各国去留学，回国后成为中国现代数学的拓荒者、先驱者与领导者，如从美国留学归来的胡明复、姜立夫、秦元勋、钱宝琮等，从法国留学归来的熊庆来、何鲁、陈荩民、关肇直、陈省身等，从英国归来的许宝騄、徐利治等，从日本留学归来的陈建功、冯祖荀、苏步青等，从东欧回来的王梓坤（原苏联）、候振廷以及本土的数学家李俨、傅仲孙等，努力普及现代数学知识，兴办数学教育，出版科技刊物，创办科学学会和研究所，为中国数学文化的积累和发展、推广和普及做出卓越的贡献。陈建功（18931970）于1928年发表了世界性的成果研究傅里叶级数的收敛和求和的问题，以及从理论上探索怎样可以将函数表达为三角级数。苏步青（19022003）于1928年春在一般曲面研究中发现了四次（三阶）锥面，用几何的构图刻画出曲面的高阶微分性质，这一成果被称为“苏锥面”。70年代以后在中国开创了新的研究方向计算几何，创立了国际公认的微分几何学学派；研究“K展空间”几何学和射影曲线；开展计算几何在航空、造船、汽车制造等方面的应用研究等，在我国的数学史上，苏步青开创并代表了一个时代！陈省身（1911.102004.12）世界级的数学巨匠，华人数学家的杰出代表，成就为：高维高斯邦内特公式内蕴证明和示性类两项极负盛名的工作，开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何等领域的研究。84年5月获得当代数学的最高奖之一“沃尔夫奖”（Wolf Prize）,被国际数学界尊为“微分几何之父”。04年11月国际天文学联合会将一颗编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他对全人类的贡献。他培养的学生丘成桐于1983年荣获当代数学的最高奖之一“菲尔茨奖章”（Fields Medals）。华罗庚（19101985）是一位自学成才的中国数坛巨星。他的数学工作主要在四个方面：一是数论；二是代数（典型群、华氏定理、矩阵几何）；三是多复变函数论；四是推广“统筹法”和“优选法”。许宝騄在英国研究概率论和数理统计，解决了一系列的难题，成为20世纪数理统计学的奠基人之一。“文化大革命”期间数学研究和教学几乎停顿。陈景润在哥德巴赫猜想上的突破大大的鼓舞了中国数学界。1986年在美国伯克利举行的国际数学家大会上，吴文俊作了45分钟讲演；1990年在日本京都举行的国际数学家大会上，大陆到美国工作的田刚、林芳华应邀作了45分钟报告 ；1994年在苏黎世举行的国际数学家大会上，张恭庆、马志明和在美国工作的于骏、励建书都作了45分钟报告；2002年8月20日至28日，第22届世界数学家大会在北京召开，说明中国的数学研究与教育的国际地位已经得到了世界的认可，2002年8月20日的中国北京人民大会堂第一次成为数学家的圣殿，世界数学精英、科学巨擘纷纷来华参会，盛况空前。今年6月3日丘成桐教授向全世界宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已彻底证明“七大数学世纪难题”之一的庞加莱猜想。中国一直不乏出色的数学家，陈景润、陈省身、丘成桐就是例子，据统计，近十年发表论文的国家排行榜上，中国居于第四位。2.2数学文化的发展2.2.1几何、微积分、非欧几何与数学文化初等数学时期，在古希腊哲学中是“万物皆数”，数是万物的本源，数的规律统治着万物一生二，二生三，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物中国古代也有一生二，二生三，三生万物的说法，也是类似的哲学思想。从此，数学与哲学结下了不解之缘。欧几里得几何产生在公元前300年，已流传两千多年，至今每个学生或多或少还要学习它，它的影响遍及世界各国。欧氏几何首开公理方法，牛顿的力学就学欧氏方法，把全部力学建立在万有引力和运动三大定律基础上；爱因斯坦把相对论只建立在两条公理上；有一位伦理学家企图把伦理学也建立在公理基础上；哲学家思考自己的逻辑起点；教育理论工作者也思考自己的教育科学的逻辑起点。可以看出，欧氏几何的思想和方法产生了极其广泛和深远的影响。在长达2000多年的历史中没有停止对欧氏几何的研究，曾经有一个匈牙利年轻人不顾父亲、朋友的忠告，“偏向虎山行”去研究欧氏几何中的平行公理独立性问题；另有一位俄罗斯人，研究平行公理问题遭到他人（包括一些名人）的讥讽和嘲笑，而他无怨无悔。欧氏几何的出现不仅影响到人们的自然观，而且影响到人类的思维方式、世界观，影响到人类