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弧长和扇形面积
　　一、教学目标
    知识技能：经历探索扇形的弧长公式和扇形的面积公式,明确其内在的联系,能利用公式进行简单的计算.经历探索圆锥的侧面积及全面积公式,能运用得出的公式进行相关的计算.
    数学思考：在探索扇形的弧长公式和扇形的面积公式过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力.
    问题解决：利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式解决应用问题,提高学生的思维水平和应用意识.利用圆锥的侧面积公式及全面积公式解决应用问题,提高学生的思维水平.
    情感态度：通过实际应用问题的解决,培养学生的应用意识及对生活的热爱.
　　二、重难点分析
    教学重点：学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积,并能应用公式解决问题.
    本节课的内容为弧长及扇形面积,是在学习了圆的有关性质后,利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积,并能运用得出的结论进行有关计算,实质上是圆的有关性质的运用.本节的重点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积,并能应用公式解决问题.
    在教学中,教师不要急于给出学生公式,而要引导学生自己根据已有的知识推导公式.如果学生有困难,可以采取小组合作的形式解决.这样既能使学生有成就感,又能培养他们的探索能力,还能使所学知识掌握得比较牢固,那么运用公式进行计算来解决实际问题就比较容易了.
    教学难点：经历探索圆锥侧面积计算公式．
    对于圆锥的侧面积,首先让学生通过观察圆锥,认识到它的表面是由一个曲面和一个圆面围成的,然后再思考,圆锥的曲面展开图在平面上是什么样的图形,最后经过学生自己动手实践得出结论:圆锥的侧面展开图是一个扇形,把圆锥的母线、底面半径和展开图中的半径之间的关系找出来，根据扇形面积公式就可求出圆锥的侧面积，进一步运用公式进行有关计算.
    让学生观察圆锥,再想象圆锥的侧展开图,最后经过自己动手实践得出结论这一系列活动,可以培养学生的空间想象能力、动手操作能力、归纳总结能力，使他们的手、脑、口并用，帮助他们有意识地积累活动经验，使他们获得成功的体验.对于学生的观察、操作、推理、归纳等活动，教师要进行鼓励性的评价，使他们能提高学习数学的信心和决心.
　　三、学习者学习特征分析
    “弧长和扇形的面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，就可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积.由于圆锥的侧面展开图是扇形，所以教科书接下来介绍了圆锥的侧面积和全面积的计算.这些计算不仅是几何中基本的计算，也是日常生活中经常要用到的，运用这些知识也可以解决一些简单的实际问题.圆锥的侧面积的计算还可以培养学生的空间观念.
　　四、教学过程
    （一）创设情境，引入课题  
  （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
    1．圆的周长公式是什么？
    2．圆的面积公式是什么？
    3．什么叫弧长？
     老师点评：（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）弧长就是圆的一部分．
    （二）合作交流，探索新知
    Ⅰ.弧长和扇形面积 
   请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
    1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
    2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
    3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
    4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
     ……
    5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
    （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
    n°的圆心角所对的弧长为
  问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

    （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
    （2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．
    （3）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
    像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

  请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：
    1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
    2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
    3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
    4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
   ……
    5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
    老师检察学生练习情况并点评

    因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

    Ⅱ.圆锥的侧面积和全面积
    1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
    2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．

    老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．
    （2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．

    老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由求得：，    ∴扇形面积；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
    （三）应用新知，体验成功
    课本P122练习．教材P124  练习1、2．
    1.（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

    （2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

                                           (a)                                   (b)
    （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．
    解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．
    ∵四边形ABCD是正方形
    ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
    又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
    ∴△AMO≌△DNO
    ∴AM=DN
    ∴AM+AN=DN+AN=AD=a
    特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．
    故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．                                                                           
    （2）120°；70°
    （3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．

    （四）课堂小结，体验收获
    本节课应掌握：
    1．n°的圆心角所对的弧长.
    2．扇形的概念．
    3．圆心角为n°的扇形面积是.
    4．运用以上内容，解决具体问题．
    5．什么叫圆锥的母线．
    6．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题.
    （五）拓展延伸，布置作业
    1．教材P124? 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．
    2．教材P124? 复习巩固4 P125 综合运用8 拓广探索9、10．
　　(六)学习评价
　　一、选择题
    1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（     ）．
    (A)3.   (B)4. (C)5.(D)6.
    2．如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（    ）
    (A)31.   (B). (C).   (D).

                         2题图                             3题图                     6题图       　　　　　　　8题图
    3．如图所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（     ）
    (A)312m.    (B)18m .   (C)20m.   (D)24m.
    4．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（     ）
    (A)6cm .   (B)8cm .    (C)10cm .    (D)12cm.
    5．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（    ）
    (A)3228°.   (B)144°.    (C)72°.    (D)36°.
    6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（     ）

　　二、填空题
    7．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
    8．如图所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．
    9．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
    10．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）
    11．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
　　三、综合提高题
    1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
    2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
    3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．
    4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
    （1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
    （2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？
    5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．                                                                    
    6．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．

1题图
2题图
3题图
5题图
6题图
    答案：
    一、选择题
    1．B；  2．D；  3．D；   4．D；   5．C；  6．C.
    二、填空题
    .
    三、综合提高题
    1．连结OD、O′C，则O′在OD上
    由=R，解得：∠AOB=60°，
    由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．
    2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，
    可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，
    所以OA=8cm，OB=12cm，
    因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
    所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，
    而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．
    因此，与原题意相符．
    3．设屏幕被着色面积为S，
    则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，
    连结BD′，
    在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，
    ∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，
    ∴S=·22+1·=+ ．
    4．（1）2400cm2 （2）40cm
    5．48cm2
    6．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2×3×4+×32+×3×5=24+9+15=48cm2．