第五章中值定理技巧应用.doc

                                  第五章 中值定理技巧应用
1.       设函数在 在闭区间 上可微，对于 每一个 ，函数 的值都在开区间 内，且 ，证明：在 内有且仅有一个 ，使 .
证明： 设 ，则 在 上连续，又 ，所以 ， ，由零值定理可知，
在 内至少存在一个 ，使 ，即 .
利用反证法证明 在 内至多有一个零点.
设 且 使得 ， ，则由拉格朗日中值定理可得，至少存在一个 ，使得

这与题设矛盾，综上所述，命题得证.
2．设函数 在 上连续， 内可导，且 ，证明：在 内 一个 ，使 .
证明： 由积分中值定理，可知在 上存在一点 ，使 ， ，从而有 .
于是由洛尔定理可知，在 内存在一个 ，使 ，
3．设函数 在 上有二阶导数，且 ，又 ，证明：在 内至少 一个 ，使 .
证明：由题意可得 ，根据洛尔定理可得至少存在 ，使得 .
又 当 时， .
再对 在 上应用洛尔定理，可得至少存在一个 ，
使得 ，命题得证.
4．设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：在 内 一个 ，使 .
证明：设 ， 在 上连续，在 内可导，且 ，则 在 满足柯西定理，于是有 ，使

即
所以
5．设函数 在 上可导，且 ，证明： 一个 ，使

证明：设 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理，于是有 使

即
所以
6．设函数 在 上连续，在 内可导，证明： 一个 ，使

证明：设 则
在 上满足洛尔定理，于是存在 ，使 ，即

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