第17数学记忆内容-20110830.doc

第17册数学记忆内容
第22章 二次根式
1、记忆“二次根式的基本概念”：
（1）形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点： (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
（2）2、表示a的算术平方根(其中a≥0) ；
2、记忆“二次根式性质”：
性质1：
3、记忆“ 区别”：
（1）从意义上看，表示数a 的算术平方根的平方，而 则表示数a的平方的算术平方根。
（2）从字母的取值范围来看，中的a必须是非负数，而中的a可以取任意数。
（3）从运算结果来看，， 。
4、记忆：“二次根式的乘法法则”：
（1）（a≥0,b≥0）
两个二次根式相乘，等于将它们的被开方数相乘。
（2）（a≥0,b≥0）
积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。
5、几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
6、判断同类二次根式的关键是什么？
答：化成最简二次根式，被开方数相同,根指数都等于2.
7、如何合并同类二次根式？
答：与合并同类项类似,。把同类二次根式的系数相加减，做为结果的系数，根号及根号内部都不变。
8、二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式；
(2)合并同类二次根式.

第23章一元二次方程
1、整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0) 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；
bx叫做一次项，b叫做一次项系数， c叫做常数项。
2、一元二次方程的解法常用的有：（1）直接开平方法；（2）因式分解法；（3）配方法；（4）公式法。
（注：如果一元二次方程有实数根，那么一定有两个实数根.）
3、AB=0 A=0或B=0（ A、B表示两个因式）
4、用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）方程右边不为零的化为0。（2）将方程左边分解成两个一次因式 的乘积。（3）至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程。（4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解。
5、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）常数项 移到方程右边.（2）将方程左边配成一个 完全平方式 式。 (两边都加上一次项系数一半的平方)（3）用直接开平方法解出原方程的解。
6、（1）根据平方根的意义，如果x2=a,那么x=；
（2）完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,a2±2ab+b2 =(a±b)2.
7、用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，

注意：用公式法解一元二次方程的前提是:
（1）必需是一元二次方程；（2）b2-4ac≥0.
还得注意的是：当a，b，c 满足 的条件时，方程无实数根。
8、一元二次方程的解法复习：

9、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 来说，
（1）当时，方程有实根：
①当时，方程有两个不相等的实根；，；
②当时，方程有两个相等的实根；.
（2）当时，方程没有实根。
10、一元二方程的根与系数的关系：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 来说，如果方程有两根，那么就有：
；
11、对于方程来说：
（1）时，方程是二元一次方程；
（2）当时，方程是一元一次方程。
12、经验：对于一元二次方程来说：
（1）当时，方程左边可写成完全平方式；
（2）当“某个整数的平方”时，方程左边可用十字相乘法分解因式。

第24章 图形的相似
1、两个能够重合的图形称为全等图形。全等图形的特点：1、形状相同；2、大小相等。
2、具有相同形状的图形称为相似形。相似形的特点：1、形状相同；2、大小不一定相同。
注意：（1）当相似形的大小相同时，他们成了全等图形.
（2）所有全等三角形都是相似图形。
（3）所有正方形都是相似图形。
（4）两个等腰直角三角形是相似图形。
3、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4、比例的基本性质：
如果有a、b、c、d都不等于0, 那么就有：

5、判断四条线段是否是成比例线段的方法步骤：
（1）先四个数按大小顺序排列；（2）计算第一、二个数，第三、四个数的比值；
（3）判断：若比值相等，则“是”。
6、（1）规律：两个形状相同的图形（地图），第一幅图上的任两点间的线段长与第二幅图上的对应两点间的线段长的比值是一个常数。
（2）两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等．
注意：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．
7、（1）对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，对应边的比叫做相似比。
（2）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形，即相似三角形。
表示法：∽，读作“相似于”
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比或相似系数(求相似三角形的相似比要注意顺序性)
注意：对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
8、相似三角形具有传递性；
9、相似三角形的判定方法（识别方法）：
**（1）根据定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。（忽略）
（2）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．（两角对应相等，两三角形相似）
（3）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似）
10、一个三角形有三条重要线段：高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么：（1）相似三角形对应高的比等于相似比.
（2）相似三角形对应中线的比等于相似比.
（3）相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
（4）相似三角形的周长比等于相似比。
（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
11、相似三角形的性质:
（1）对应边成比例，对应角相等。
（2）对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比。
（3）对应周长的比等于相似比。
（4）对应面积的比等于相似比的平方。
12、连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线。（三角形的中位线有三条。）
13、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
14、三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线
的长是对应中线长的。
15、依次连接任意四边形的四边中点，所成的四边形是平行四边形：
（1）当原来的四边形的对角线相等时，这个新的四边形是菱形；
（2）当原来的四边形的对角线互相垂直时，这个新的四边形是矩形；
（3）当原来的四边形的对角线相等，且互相垂直时，这个新的四边形是正方形。

16、梯形的中位线：
（1）梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
补充：(17-25为网络下载来学习的部分内容)
17、

18、

19、

20、所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1) AD2=BD·DC， (2) AB2=BD·BC , (3)AC2=CD·BC 。
(4) 等积式：AB×AC=BC×AD(可用面积来证明)
21、
相似三角形的判定方法
　　证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
方法一（预备定理）
　　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；
　　（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,
那么这两个三角形相似。

方法三
　　如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,
　　那么这两个三角形相似

方法四
　　如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似
方法五（定义）
　　对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形

22、什么样的特殊三角形一定相似?
一定相似的三角形
（1）两个全等的三角形一定（肯定）相似。　
（2）两个等腰直角三角形一定（肯定）相似
（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）两个等边三角形一定（肯定）相似。

23、什么样的直角三角形相似？
直角三角形相似判定定理
　　（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
　　（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
24、由相似三角形的判定定理可得出哪些推论？
三角形相似的判定定理的推论
　　推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
　　推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
　　推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
　　推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
　　推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
　　推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
25、相似三角形有哪些性质呢？
相似三角形的性质
　　（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。
　　（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
　　（3）相似三角形周长的比等于相似比。
　　 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
第25章:解直角三角形

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 。
； ；
注意：
(1)sinA、 cosA、tanA、cotA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
(2)sinA、 cosA、tanA、cotA是一个比值（数值）。
(3)sinA、 cosA、tanA、cotA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA 。
； ；
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。
； ；
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA 。
； ；
5、在Rt △ABC中，∠C＝90°，对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值和它对应，所以sinA是A的函数，同样地，cosA，tanA,cotA也是A的函数。锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数。

6、特别指出：根据三角函数的定义，我们还可得出：
（1）， （2） （3）
7、仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。

8、在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即．

坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有＝tanα．
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
9、同角的三角函数关系:
（1）平方关系:
（2） 倒数关系:
（3）商数关系:
（4）余角余函数之间的关系:
sinA=sin(90o-B)=cosB, cosA=cos(900-B)=sinB,
tanA=tan(900-B)=cotB, cotA=cot(900-B)=tanB
(注：∠A+∠B=90°时，上面的这个关系才成立。)
10、在右图中，已知角α、β及m的值，求x，记住一种关系：

第27章：二次函数：
1、一次函数: y=kx+b (k≠0)
y= kx (k≠0 ，b=0)一次函数成为正比例函数
一次函数及正比例函数的图象都是一条直线。
2、反比例函数：，它的图象是双曲线。
3、二次函数：
一般地,形如y=ax²+bx+c 的函数叫做x的二次函数.(a,b,c是常数,a≠ 0)
提示:(1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
4、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系：
n 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
n 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
5、二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质：

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