《2.4.1-2.4.2-平面向量的坐标表示》导学案.doc

《2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示》导学案1

课程学习目标

1.掌握向量的正交分解及坐标表示，理解直角坐标系中的特殊意义.
2.理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.
课程导学建议

重点:“正交基底”“向量的坐标”，让学生建立起向量与有序实数对的对应关系，能用坐标表示向量，并进行向量的线性运算.
难点:应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题.

第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
足球运动员在踢足球的过程中，将球踢出时的一瞬间的速度为υ. 能否建立适当的坐标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度？能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢？
知识导学

问题1:平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个　相互垂直　的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正交分解是平面向量基本定理的特例，即当基底e1、e2　垂直　时的情况. 
问题2:平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，如图，以坐标原点O为起点作=a，由平面向量基本定理可知，　有且仅有　一对实数x，y，使得=　xi+yj　，因此a=xi+yj.我们把实数对　(x，y)　叫作向量a的坐标，记作　a=(x，y)　. 
问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算
(1)向量和的坐标运算:若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=　(x1+x2，y1+y2)　. 
即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(2)向量差的坐标运算:若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b=　(x1-x2，y1-y2)　. 
即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R，a=(x，y)，则λa=　(λx，λy)　. 
即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.
(4)的坐标表示:若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-=　(x1-x2，y1-y2)　. 
即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.
问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线？
由向量的共线定理可知:若a，b(b≠0)共线，则存在唯一的实数使得　a=λb　.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)≠0，则(x1，y1)=λ(x2，y2)=　(λx2，λy2)　，得即两式相减消去λ得　x1y2-x2y1=0　，这就是两个向量平行的条件.由于规定　零　向量可与任一向量平行，所以在应用时可以去掉b≠0，即:当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a，b共线.若x2≠0，且y2≠0(也可写作x2y2≠0)，则x1y2-x2y1=0可以写成 =　(两向量平行的条件是相应坐标　成比例　). 
知识链接

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景.利用向量便于研究空间里涉及的直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积与解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础.
基础学习交流

1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量，若a=(3，4)，则a可以用i、j表示为(　　).
A.a=3i+4j　　　　　　B.a=3i-4j
C.a=-3i+4j D.a=4i+3j
【解析】a=(3，4)=3i+4j.
【答案】A
2.已知平面向量a=(1， 2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b=(　　).
A.(-2，-4) B.(-3，-6)
C.(-4，-8) D.(-5，-10)
【解析】由a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，得1×m=2×(-2)⇒m=-4，从而b=(-2，-4)，那么2a+3b=2×(1，2)+3×(-2，-4)=(-4，-8).
【答案】C
3.设a=(1，2)，b=(2，3)，若向量λa+b与向量c=(-4，-7)共线，则λ=　　　　. 
【解析】∵λa+b=(λ+2，2λ+3)与c=(-4，-7)共线，∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0，解得λ=2.
【答案】2
4.(1)设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求 a+b，a-b，2a+3b.
(2)设a，b，c的坐标分别是(1，-3)，(-2，4)，(0，5)，求3a-b+c的坐标.
【解析】(1)a+b=(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)，
a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-1-3，2+5)=(-4，7)，
2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5)=(-2+9，4-15)=(7，-11).
(2)3a-b+c=3(1，-3)-(-2，4)+(0，5)=(3，-9)-(-2，4)+(0，5)=(3+2+0，-9-4+5)=(5，-8).
第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
平面向量的正交分解

在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|=4，|b|=3，且∠AOx=45°，∠OAB=105°，分别求向量a，b的坐标及A、B点的坐标.
【方法指导】先对a进行正交分解，可得A点的坐标，即a的坐标；再将b移至原点，对b进行正交分解，可得b的坐标；最后用A点的坐标加上b的坐标即得B点的坐标.
【解析】设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，
∵∠AOx=45°，∴a1=|a|cos 45°=4×=2，
a2=|a|sin 45°=4×=2，
∴a=(2，2)=，
∴A点的坐标为(2，2).
将b的起点平移至原点，令b的终点为B'，
由题意可知∠B'Ox=120°，
所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-，
b2=|b|sin 120°=3×=，
∴b=(-，).
又∵b==-，
∴=b+=(2-，2+).
故a=(2，2)，b=(-，)，A点的坐标为(2，2)，B点的坐标为(2-，2+).
【小结】(1)相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点.
(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.
(3)若已知向量a=(x，y)，a的模为|a|，a的方向与x轴正方向的夹角为θ，由三角函数的定义可知，x=|a|cos θ，y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.
探究二

平面向量的坐标运算
已知点A(-1，2)，B(2，8)及=，=-，求点C、D和的坐标.
【方法指导】设点C、D的坐标，利用向量的坐标运算，通过向量相等的条件列出方程，然后解方程.
【解析】设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意得=(x1+1，y1-2)，=(3，6)，=(-1-x2，2-y2)，
∵=，=-，
∴(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)，
(-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)，
则有和
解得和
∴点C、D的坐标分别为(0，4)和 (-2，0)， =(-2，-4).
【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可.
探究三

平行向量的坐标运算
已知四边形ABCD的顶点依次为A(0，-x)，B(x2，3)，C(x，3)，D(3x，x+4)，若AB∥CD，求x的值.
【方法指导】由AB∥CD得，∥且AB，CD不重合，据此可得它们之间的坐标关系，从而得到x的值.
【解析】∵AB∥CD，∴∥，
又∵=(x2，x+3)，=(2x，x+1)，
∴x2(x+1)-2x(x+3)=0，
解得x=-2或x=0或x=3.
[问题]上述解法正确吗？
[结论]不正确，错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序，需满足，反向才行.
错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同，∥时，AB与CD可能平行也可能重合.
于是，正确解答如下:
=(x2，x+3)，=(2x，x+1)，
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴与平行且反向.
于是解得x=-2.
经检验，x=-2满足题意.
【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况，但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况，如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量，不能在同一条直线上且反向平行.
思维拓展应用
应用一
在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.
(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位；
(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位；
(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.
【解析】设(1)(2)(3)中的向量分别为=a，=b，=c，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3).

(1)如图，因为∠POP'=45°，||=2，所以a==+=i+j，所以a=(，).
(2)因为∠QOQ'=60°，||=3，
所以b==+
=-i+j，
所以b=(-，).
(3)因为∠ROR'=30°，||=4，
所以c==+=2i-2j，
所以c=(2，-2).
应用二

已知A、B、C的坐标分别为A(2，-4)、B(0，6)、C(-8，10)，求向量+2-的坐标.
【解析】由A(2，-4)、B(0，6)、C(-8，10)，
得=(-2，10)，=(-8，4)，=(-10，14)，
∴+2-
=(-2，10)+2(-8，4)-(-10，14)
=(-2，10)+(-16，8)-(-5，7)
=(-18，18)-(-5，7)
=(-13，11).
应用三

已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解析】(法一)ka+b=k(1，2)+(-3，2)= (k-3，2k+2)，
a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4).
∵(ka+b)∥(a-3b)，
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0，解得k=-.
此时ka+b=(--3，-+2)=(-，)
=-(10，-4)=-(a-3b).
∴k=-，且此时ka+b与a-3b平行，并且反向.
(法二)由题意知ka+b=(k-3，2k+2)，a-3b=(10，-4)，当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka+b=λ(a-3b)，由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，
∴解得
∴当k=-时，ka+b与a-3b平行，
这时ka+b=-(a-3b).
∵λ=-<0，∴它们的方向相反.
∴k=-，此时ka+b与a-3b平行，并且反向.
第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.设向量=(-2，-5)，若点A的坐标为(3，7)，则点B的坐标为(　　).
A.(5，12)　　　　　　　　B.(12，5)
C.(2，1) D.(1，2)
【解析】设点B的坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(3，7)，=-=(x-3，y-7)=(-2，-5)，
∴解得
【答案】D
2.已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与向量同方向的单位向量为(　　).
A.(，-) B.(，-)
C.(-，) D.(-，)
【解析】=(3，-4)，所以||=5，这样同方向的单位向量是=(，-)，选A.
【答案】A
3.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴正方向上，则向量2+3+的坐标为　　　　. 

　　【解析】如图，建立直角坐标系，
有A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，
即=(1，0)，=(0，1)，
=(1，1)，则有2+3+
=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).
【答案】(3，4)
4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.
【解析】设顶点D的坐标为(x，y).
∵=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，=(3-x，4-y)，
由=，得(1，2)=(3-x，4-y).
∴∴
∴顶点D的坐标为(2，2).
全新视角拓展

(2013年·陕西卷)已知向量a=(1，m)，b=(m，2)， 若a∥b，则实数m等于(　　).
A.-　 　B.　 　C.-或　 　D.0
【解析】因为a=(1，m)，b=(m，2)，且a∥b，所以1·2=m·m⇒m=±，所以选C.
【答案】C

第四层级：总结评价与反思
思维导图构建

学习体验分享

固学案
基础达标检测
1.若向量=(1，2)，=(3，4)，则=(　　).
A.(4，6)　　　　　　　　B.(-4，-6)
C.(-2，-2) D.(2，2)
【解析】=+=(4，6).
【答案】A
2.已知平面向量a=(x，1)，b=(-x，x2)，则向量a+b(　　).
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】由题意得a+b=(x-x，1+x2)=(0，1+x2)，易知a+b平行于y轴.
【答案】C
3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1， 3)，则=　　　　. 
【解析】由题意得=-=-=(-)-=-2=(1，3)-2(2，4)=(-3，-5).
【答案】(-3，-5)
4.平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1)，若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
【解析】∵(a+kc)∥(2b-a)，
又a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
基础技能检测

5.在△ABC中，D是BC的中点，若=(1，)，=(，)，则=(　　).
A.(1，) B.(2，)
C.(，-) D.(-，)
【解析】由题可知=-=(，0)，所以=+=+2=(2，).
【答案】B
6.在梯形ABCD中，AB∥DC，且|AB|=λ|DC|，若=a，=b，则等于(　　).
A.λa+b B.a+λb
C.a+b D.a+b
【解析】AB∥DC，|AB|=λ|DC|，=a，∴=a.选C.
【答案】C
7.已知A、B、C三点的坐标分别为(-2，1)、(2，-1)、(0，1)，且=3，=2，则向量的坐标为　　　　. 
【解析】∵A、B、C三点的坐标分别为(-2，1)、(2，-1)、(0，1)，∴=(-2，0)，=(2，-2)，∴=3=(-6，0)，=2=(4，-4).
∴=-=(4，-4)-(-6，0)=(10，-4).
【答案】(10，-4)
8.如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标.

【解析】∵A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
∴=(3，5)-(7，8)=(-4，-3)，
=(4，3)-(7，8)=(4-7，3-8)=(-3，-5).
又∵D是BC的中点，
∴=(+)=(-4-3，-3-5)=(-，-4).
∵M，N分别是AB，AC的中点，∴F为AD的中点，
∴=-=-=-(-，-4)=(，2).

技能拓展训练

9.已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，要找一点D，使这四点构成平行四边形的四个顶点，则点D的坐标可能是　　　　. 
【解析】(1)当平行四边形为ABCD时，得D=(2，2).
(2)当平行四边形为ACDB时，得D=(4，6).
(3)当平行四边形为DACB时，得D=(-6，0).

【答案】(2，2)或(4，6)或(-6，0)
10.(选做)已知O(0，0)、A(2，-1)、B(1，3)、=+t.求:
(1)当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由.
【解析】(1)=+t=(t+2，3t-1).
若点P在x轴上，则3t-1=0，∴t=；
若点P在y轴上，则t+2=0，∴t=-2；
若点P在第四象限，则∴-2<t<.
(2)=(2，-1)，=(-t-1，-3t+4).
若四边形OABP为平行四边形，则=.
∴无解.
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
同理可知，当t=1时，四边形OAPB为平行四边形；当t=-1时，四边形OPAB为平行四边形.