《2.4.1-2.4.2-平面向量的坐标表示》导学案.doc

2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示导学案1课程学习目标1.掌握向量的正交分解及坐标表示，理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.课程导学建议重点:“正交基底”“向量的坐标”，让学生建立起向量与有序实数对的对应关系，能用坐标表示向量，并进行向量的线性运算.难点:应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境足球运动员在踢足球的过程中，将球踢出时的一瞬间的速度为. 能否建立适当的坐标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度？能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢？知识导学问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正交分解是平面向量基本定理的特例，即当基底e1、e2垂直时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，如图，以坐标原点O为起点作=a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得=xi+yj，因此a=xi+yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a=(x，y).问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2).即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b=(x1-x2，y1-y2).即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设R，a=(x，y)，则a=(x，y).即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积. (4)的坐标表示:若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-=(x1-x2，y1-y2).即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线？由向量的共线定理可知:若a，b(b0)共线，则存在唯一的实数使得a=b.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)0，则(x1，y1)=(x2，y2)=(x2，y2)，得即两式相减消去得x1y2-x2y1=0，这就是两个向量平行的条件.由于规定零向量可与任一向量平行，所以在应用时可以去掉b0，即:当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a，b共线.若x20，且y20(也可写作x2y20)，则x1y2-x2y1=0可以写成=(两向量平行的条件是相应坐标成比例).知识链接向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景.利用向量便于研究空间里涉及的直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积与解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础.基础学习交流1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量，若a=(3，4)，则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j【解析】a=(3，4)=3i+4j.【答案】A2.已知平面向量a=(1， 2)，b=(-2，m)，且ab，则2a+3b=().A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)【解析】由a=(1，2)，b=(-2，m)，且ab，得1m=2(-2)m=-4，从而b=(-2，-4)，那么2a+3b=2(1，2)+3(-2，-4)=(-4，-8).【答案】C3.设a=(1，2)，b=(2，3)，若向量a+b与向量c=(-4，-7)共线，则=.【解析】a+b=(+2，2+3)与c=(-4，-7)共线，(+2)(-7)-(2+3)(-4)=0，解得=2.【答案】24.(1)设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求 a+b，a-b，2a+3b.(2)设a，b，c的坐标分别是(1，-3)，(-2，4)，(0，5)，求3a-b+c的坐标.【解析】(1)a+b=(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)，a-b=(-1，2)-(3，-5)=(-1-3，2+5)=(-4，7)，2a+3b=2(-1，2)+3(3，-5)=(-2+9，4-15)=(7，-11).(2)3a-b+c=3(1，-3)-(-2，4)+(0，5)=(3，-9)-(-2，4)+(0，5)=(3+2+0，-9-4+5)=(5，-8).第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|=4，|b|=3，且AOx=45，OAB=105，分别求向量a，b的坐标及A、B点的坐标.【方法指导】先对a进行正交分解，可得A点的坐标，即a的坐标；再将b移至原点，对b进行正交分解，可得b的坐标；最后用A点的坐标加上b的坐标即得B点的坐标.【解析】设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，AOx=45，a1=|a|cos 45=4=2，a2=|a|sin 45=4=2，a=(2，2)=，A点的坐标为(2，2).将b的起点平移至原点，令b的终点为B，由题意可知BOx=120，所以b1=|b|cos 120=3(-)=-，b2=|b|sin 120=3=，b=(-，).又b=-，=b+=(2-，2+).故a=(2，2)，b=(-，)，A点的坐标为(2，2)，B点的坐标为(2-，2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x，y)，a的模为|a|，a的方向与x轴正方向的夹角为，由三角函数的定义可知，x=|a|cos ，y=|a|sin .要注意公式中的是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二平面向量的坐标运算已知点A(-1，2)，B(2，8)及=，=-，求点C、D和的坐标.【方法指导】设点C、D的坐标，利用向量的坐标运算，通过向量相等的条件列出方程，然后解方程.【解析】设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意得=(x1+1，y1-2)，=(3，6)，=(-1-x2，2-y2)，=，=-，(x1+1，y1-2)=(3，6)=(1，2)，(-1-x2，2-y2)=-(-3，-6)=(1，2)，则有和解得和点C、D的坐标分别为(0，4)和 (-2，0)， =(-2，-4).【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可.探究三平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0，-x)，B(x2，3)，C(x，3)，D(3x，x+4)，若ABCD，求x的值.【方法指导】由ABCD得，且AB，CD不重合，据此可得它们之间的坐标关系，从而得到x的值.【解析】ABCD，又=(x2，x+3)，=(2x，x+1)，x2(x+1)-2x(x+3)=0，解得x=-2或x=0或x=3.问题上述解法正确吗？结论不正确，错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序，需满足，反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同，时，AB与CD可能平行也可能重合.于是，正确解答如下:=(x2，x+3)，=(2x，x+1)，在四边形ABCD中，ABCD，与平行且反向.于是解得x=-2.经检验，x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况，但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况，如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量，不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)用向量表示沿西偏北60方向移动了3个长度单位；(3)用向量表示沿东偏南30方向移动了4个长度单位.【解析】设(1)(2)(3)中的向量分别为=a，=b，=c，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3).(1)如图，因为POP=45，|=2，所以a=+=i+j，所以a=(，).(2)因为QOQ=60，|=3，所以b=+=-i+j，所以b=(-，).(3)因为ROR=30，|=4，所以c=+=2i-2j，所以c=(2，-2).应用二已知A、B、C的坐标分别为A(2，-4)、B(0，6)、C(-8，10)，求向量+2-的坐标.【解析】由A(2，-4)、B(0，6)、C(-8，10)，得=(-2，10)，=(-8，4)，=(-10，14)，+2-=(-2，10)+2(-8，4)-(-10，14)=(-2，10)+(-16，8)-(-5，7)=(-18，18)-(-5，7)=(-13，11).应用三已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解析】(法一)ka+b=k(1，2)+(-3，2)= (k-3，2k+2)，a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4).(ka+b)(a-3b)，(k-3)(-4)-10(2k+2)=0，解得k=-.此时ka+b=(-3，-+2)=(-，)=-(10，-4)=-(a-3b).k=-，且此时ka+b与a-3b平行，并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3，2k+2)，a-3b=(10，-4)，当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b)，由(k-3，2k+2)=(10，-4)，解得当k=-时，ka+b与a-3b平行，这时ka+b=-(a-3b).=-0，它们的方向相反.k=-，此时ka+b与a-3b平行，并且反向.第三层级：技能应用与拓展基础智能检测1.设向量=(-2，-5)，若点A的坐标为(3，7)，则点B的坐标为().A.(5，12)B.(12，5)C.(2，1)D.(1，2)【解析】设点B的坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(3，7)，=-=(x-3，y-7)=(-2，-5)，解得【答案】D2.已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与向量同方向的单位向量为().A.(，-)B.(，-)C.(-，)D.(-，)【解析】=(3，-4)，所以|=5，这样同方向的单位向量是=(，-)，选A.【答案】A3.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴正方向上，则向量2+3+的坐标为.【解析】如图，建立直角坐标系，有A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，即=(1，0)，=(0，1)，=(1，1)，则有2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).【答案】(3，4)4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.【解析】设顶点D的坐标为(x，y).=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，=(3-x，4-y)，由=，得(1，2)=(3-x，4-y).顶点D的坐标为(2，2).全新视角拓展(2013年陕西卷)已知向量a=(1，m)，b=(m，2)， 若ab，则实数m等于().A.- B. C.-或 D.0【解析】因为a=(1，m)，b=(m，2)，且ab，所以12=mmm=，所以选C.【答案】C第四层级：总结评价与反思思维导图构建学习体验分享固学案基础达标检测1.若向量=(1，2)，=(3，4)，则=().A.(4，6)B.(-4，-6)C.(-2，-2)D.(2，2)【解析】=+=(4，6).【答案】A2.已知平面向量a=(x，1)，b=(-x，x2)，则向量a+b().A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】由题意得a+b=(x-x，1+x2)=(0，1+x2)，易知a+b平行于y轴.【答案】C3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1， 3)，则=.【解析】由题意得=-=-=(-)-=-2=(1，3)-2(2，4)=(-3，-5).【答案】(-3，-5)4.平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1)，若(a+kc)(2b-a)，求实数k.【解析】(a+kc)(2b-a)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，2(3+4k)-(-5)(2+k)=0，解得k=-.基础技能检测5.在ABC中，D是BC的中点，若=(1，)，=(，)，则=().A.(1，)B.(2，)C.(，-)D.(-，)【解析】由题可知=-=(，0)，所以=+=+2=(2，).【答案】B6.在梯形ABCD中，ABDC，且|AB|=|DC|，若=a，=b，则等于().A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】ABDC，|AB|=|DC|，=a，=a.选C.【答案】C7.已知A、B、C三点的坐标分别为(-2，1)、(2，-1)、(0，1)，且=3，=2，则向量的坐标为.【解析】A、B、C三点的坐标分别为(-2，1)、(2，-1)、(0，1)，=(-2，0)，=(2，-2)，=3=(-6，0)，=2=(4，-4).=-=(4，-4)-(-6，0)=(10，-4).【答案】(10，-4)8.如图，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标.【解析】A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，=(3，5)-(7，8)=(-4，-3)，=(4，3)-(7，8)=(4-7，3-8)=(-3，-5).又D是BC的中点，=(+)=(-4-3，-3-5)=(-，-4).M，N分别是AB，AC的中点，F为AD的中点，=-=-=-(-，-4)=(，2).技能拓展训练9.已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)，C(3，4)，要找一点D，使这四点构成平行四边形的四个顶点，则点D的坐标可能是.【解析】(1)当平行四边形为ABCD时，得D=(2，2).(2)当平行四边形为ACDB时，得D=(4，6).(3)当平行四边形为DACB时，得D=(-6，0).【答案】(2，2)或(4，6)或(-6，0)10.(选做)已知O(0，0)、A(2，-1)、B(1，3)、=+t.求:(1)当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由.【解析】(1)=+t=(t+2，3t-1).若点P在x轴上，则3t-1=0，t=；若点P在y轴上，则t+2=0，t=-2；若点P在第四象限，则-2t.(2)=(2，-1)，=(-t-1，-3t+4).若四边形OABP为平行四边形，则=.无解.四边形OABP不可能为平行四边形.同理可知，当t=1时，四边形OAPB为平行四边形；当t=-1时，四边形OPAB为平行四边形.