高三培优班数学测试题2015-08-05.docx

1．集合，，若“”是“”的充分条件，则b的取值范围是（ ）
A．-2≤b<2 B．-2<b≤2 C．-3＜b＜-1 D．-2＜b＜2
2．设S为复数集C的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
上面命题中真命题共有哪些？（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
3．已知命题，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．用表示非空集合中的元素个数，定义若，设，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是
A． B． C． D．
8．已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．在中， ，，若当时的有两解，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．在中，的对边分别记为，且，都是方程 的根，则（ ）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形
B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形
D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
11．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

13．已知集合，，，现给出下列函数：①；② ；③；④．若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是___________．
14．在中，为边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为___________．
15．在△中，已知，，．如果，则 ；如果，则 ．
16．对于函数有六个不同的单调区间，则的取值范围为 ．

17．（本题满分10分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|（x－a）·（x－8）≤0}．
（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．
18．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，．
（Ⅰ）若，，求和；
（Ⅱ） 若，且的面积为2，求的大小．
19．（本小题满分12分）的三个内角所对的边分别为，向量，，且．
（1）求的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
20．（本小题满分12分）直三棱柱中，，E，F分别是的中点，为棱上的点．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D的位置．
21．已知椭圆（），点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求△的面积；
（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnxax3（a∈R）。
（Ⅰ）求f（x）的单调区间
（Ⅱ）设a=-1，求证：当x∈（1,+∞）时，f（x）+2>0
（Ⅲ）求证：··……<（n∈N+且n≥2）

试卷第3页，总4页
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参考答案
1．D
【解析】
试题分析：，，若“”是“”的充分条件，则，解得-2＜b＜2。
考点：集合的运算及充分条件的判断。
2．B
【解析】
试题分析：①成立，因为集合里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数，并且实部，虚部都是整数；②当时，所以成立；③不成立，举例：就是封闭集，但是有限集，④举例，集合就不是封闭集．所以不成立．
考点：集合与元素的关系
3．B
【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以，，故选B．
考点：全称命题的否定．
4．A
【解析】
试题分析：中，有两个根，中有1个或3个根，
化为，当B中有1个元素时，当B中有3个元素时
考点：1．集合新定义；2．二次方程的根；3．分情况讨论思想
5．D
【解析】
试题分析：在上单调递增，且在上单调递减，且，则其“缓增区间”为．
考点：1．新定义型题目；2．函数的单调性．
6．B
【解析】
试题分析：当时，，，∴函数在上为增函数，
∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴，
∴，即．
考点：函数的单调性、奇偶性、解不等式．
7．C
【解析】
试题分析：，可知函数图像在轴左侧距轴最近的对称轴为，所以要使得图象关于轴对称，即将轴左侧距轴最近的对称轴平移到轴位置即可，故选C．
考点：图像的平移．
8．A
【解析】
试题分析：由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，
，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．
考点：函数图象的平移．
9．D．
【解析】
试题分析：由题意及正弦定理，得, 则,即；则,且,即．
考点：正弦定理．
10．B
【解析】
试题分析：变形为
，
三角形为直角三角形
考点：正余弦定理解三角形
11．B
【解析】
试题分析:在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：

因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，当时，直线与函数的图象有个交点，直线越往上平移，的值越小，直线直线越往下平移，的值越大，因为当时，，当时，
，所以的取值范围是，故选B．
考点：函数的图象．
12．A
【解析】
试题分析：由可得,可知函数图像关于对称,又因为为偶函数,所以函数图像关于轴对称.所以函数是周期为2的周期函数.要使函数有且仅有三个零点,即函数和函数图形有且只有3个交点. 由数形结合分析可知, .故A正确.
考点：1函数的周期性,对称性;2函数图像.
13．①②④.
【解析】
试题分析：依题表示整个平面直角坐标系区域，表示如图所示的平面区域，表示平面直角坐标系上函数的曲线，

若时，恒有，则与无公共点，依题可知①②④函数的曲线与均无公共点，对于③，当时，，又因为，所以曲线上的点必定在表示的平面区域内，即，故应填入①②④.
考点：1.不等式表示的平面区域；2.集合的基本运算；3.基本函数的图象及其应用.
14．．
【解析】
试题分析：设，，由于是等边三角形，，，
，整理得，由基本不等式得
，，．

考点：1、余弦定理的应用；2、基本不等式的应用．
15．，
【解析】
试题分析：由正弦定理得或

考点：正弦定理解三角形
16．
【解析】
试题分析：根据偶函数关于轴对称，两侧单调性相反，所以当时又3个不同的单调区间，此时，因为有三个不同的单调区间，所以含有两个极值点，所以有两个不同的实数根，，，解得
考点：1．导数求函数的单调区间；2．偶函数的性质．
17．（1）－3≤a≤5； （2）a＝0
【解析】
试题分析：（1）由数轴可知实数a的取值范围，注意数形结合在集合运算中应用 （2）一个充分但不必要条件，从集合角度理解就是取充要条件的一个真子集，本题答案有无数个，例如a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
试题解析：（1）由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是
－3≤a≤5；
（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
考点：集合运算，充要关系
18．（Ⅰ），，
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：第一问根据题中所给的条件，将式子化简，可以得出角的正切值，结合三角形内角的取值范围，可以确定出角的值，再根据诱导公式，结合正弦定理，得出边的关系，结合余弦定理，求得边的值，第二问结合正弦定理，根据三角形的面积，建立三角形边的关系式，从而求得结果．
试题解析：（Ⅰ）∵， 化简可得，结合三角形内角的取值范围，可知，结合题意有
∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴
或：∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴∴
∵ ∴
∵ ∴ 在直角中，，
（Ⅱ）由正弦定理：
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴ =×8=12 ∴ =2
考点：和角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积．
19．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先两个向量垂直，代入数量积的坐标表示，然后根据两角差的余弦公式进行化简，最后利用内角和等于，，求；（2）可以选①②做为条件，因为，根据余弦定理，解得，确定面积；或是选①③作为条件，根据角，求角，然后根据正弦定理求边，最后根据求面积．
试题解析：（I）因为，所以
即：，所以
因为，所以所以
（Ⅱ）方案一:选择①②，可确定，因为
由余弦定理，得：
整理得：
所以
方案二:选择①③，可确定，因为
又
由正弦定理
所以（选择②③不能确定三角形）
考点：1．向量数量积的坐标表示；2．正弦定理；3．余弦定理．
20．（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）点为中点．
【解析】
试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、向量法、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，用空间向量法证明，要证，需证，先通过，，通过传递性证明，再由线面垂直的判定得，再通过线面垂直的性质得，所以找到两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用坐标证明；第二问，利用向量法，先求出平面DEF和平面ABC的法向量，再通过夹角公式解出的值，从而得到点D的位置．
试题解析：（Ⅰ）证明： ，，
， 又， ，
面， 又面，
，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，

则，，，，，
设 ， ，
且，即：， ，
， ，
， ． 6分
（Ⅱ）设面的法向量为 ，
则 ， ， ，
， 即： ， 令，
．
由题可知面的法向量 ， 9分
平面与平面 所成锐二面的余弦值为 ．
， 即： ，
或．又，舍去．
点为中点． 12分．
考点：1．线线垂直、线面垂直；2．利用空间向量求二面角．
21．（1）（2）（3）不存在
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件，利用待定系数法解决（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为，也可利用点到直线距离作为高（3）存在性问题，一般从计算出发，即利用为直径的圆与椭圆交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样的B点不存在．
试题解析：（1）由、得：．
所以椭圆的标准方程为；
（2）因为，，所以过的直线的方程为：，
即，
解方程组，得，
；
（2）设，则．因为，
所以
，
解得：或，
又因为，所以点不在以为直径的圆上，
即不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
考点：直线与椭圆位置关系
22．（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用函数的单调性与导数的关系，因为是字母系数，注意分类讨论的思想；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的函数的单调性，即可证明结果；（Ⅲ）利用函数的单调性证明不等式．
试题解析：（1）
1°若，则无单调区间；
2°若，则当时
当时
∴在递增，递减
3°若，在递减；在递增
（2）∵ ∴
由（1）知在递增∴

（3）由（2）知当时，
∴
∵ ∴
∴··……<··……=
考点：1．导数在函数单调性中的应用；2．不等式证明．
答案第11页，总11页