2015南京二模.doc

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1.函数的最小正周期为 ．
【答案】p

考点：1.三角函数的周期；
2.已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第 象限．
【答案】一

考点：1.复数的运算；2.复数的几何表示；

3.右图是一个算法流程图，如果输入的值是，
则输出的的值是 ．
输入x
开始
x > 1
S ← x - 1
S ← log 2 x
输出S
结束
（第3题图）
N
Y

【答案】－2
【解析】
试题分析：x=时，不成立，所以；
考点：1.算法流程图；2.判断结构；

4.某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间上的产品件数是 ．
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
96
（第4题图）
频率/组距
98
100
102
104
106
净重(克)

【答案】55

考点：1.频率分布直方图；

5.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 ．
【答案】

考点：1.古典概型；2.互斥事件与对立事件；
6.如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则 ．
A
D
C
B
E
O
（第6题图）

【答案】

考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；
7.已知平面α，β，直线.给出下列命题：
① 若，，则； ② 若，，则；
③ 若，则； ④ 若，，则.
其中是真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）．
【答案】③④
[来源:Zxxk.Com]
考点：1.线面、面面平行的判定与性质；2.线面、面面平行的判定与性质；
8.如图，在中，D是BC上的一点．已知，，则AB= ．
A
B
C
D
（第8题图）

【答案】
【解析】
试题分析：在中，，
所以，.在中，，
则；
考点：1.余弦定理；2.正弦定理；
9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，定点.若射线FA与抛物线C 相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN的值是 ．
【答案】

考点：1.抛物线的定义；2.抛物线的几何性质；3.直线的方程；
10.记等差数列的前n项和为.已知，且数列也为等差数列，则的值为 ．
【答案】50

考点：1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式、求和公式；
11.已知函数，，则不等式的解集是 ．
【答案】(1，2)
【解析】
试题分析：，在区间上为单调增函数，所以不等式等价于，解得；
考点：1.分段函数；2.函数的单调性；
12.在平面直角坐标系中，已知⊙C：，A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M . 若OA = OM，则直线AB的斜率为 ．
【答案】2
【解析】
试题分析：设，因为,则线段的中点，又OA = OM，所以，且，则，解得，即，所以；
考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线的斜率；
13.已知均为锐角，且，则的最大值是 ．
【答案】

考点：1.三角函数的和、差角公式；2.同角三角函数的关系式；3.基本不等式的应用；
14.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 ．
【答案】10000

考点：1.函数的周期性；2.分段函数；3.等差数列的求和公式；4.归纳推理；

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在中，角A、B、C的对边分别为.已知.
（1）若，求的面积；
（2）设向量，，且，求的值.
【答案】（1）3；（2）；
考点：1.向量的数量积；2.向量共线的坐标表示；3.正弦函数的和、差角公式；
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若M为线段PA的中点，且过三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值.
（第16题图）
P
A
B
C
D
M

【答案】（1）详见解析；（2）；
【解析】
试题分析：（1）要证线面垂直，一般可找线线垂直，已知线面垂直可推线线垂直，只需再证BC^AC；（2）比例关系一般可由平面几何中平行关系得到，挖掘当中隐含的线面平行关系，再推得线线平行；
试题解析：（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．因为ÐADC＝90°，所以AC＝，ÐCAB＝45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．所以BC^AC．
因为PC^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BC^PC．
因为PCÌ平面PAC，ACÌ平面PAC，PC∩AC＝C，[来源:Zxxk.Com]
所以BC^平面PAC．
（2）
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
N

如图，因为AB∥DC，CDÌ平面CDMN，ABË平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．
因为ABÌ平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN．
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，[来源:Zxxk.Com]
即PN：PB的值为．
考点：1.线面垂直的判定与性质；2.线面平行的判定与性质；
17.右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）.过O作，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设，将S表示成的函数；
（ii）设，将S表示成的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第17题图)

【答案】（1）详见解析；（2）4.5；

故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5．
（2）方法一：选择(i)中的函数模型：
令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，
则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．[来源:学科网ZXXK]
由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：选择(ii)中的函数模型：
因为S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，
则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．
因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．
考点：1.将实际问题转化为数学问题；2.利用导数求函数的最值；
18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值.
x
y
A
O
B
C
D
M
N
(第18题图)

【答案】（1）a＝，b＝；（2）详见解析；

同理kDB＝－．
于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．
由解得
从而点N的坐标为(，)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．
所以kMN＝ ＝＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1．
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．
显然k1≠k2．
直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．
由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．
所以C(，)．
又B(－2，－1)，
所以kBC＝＝－．
所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．
又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．
由解得
从而点N的坐标为(，)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．
所以kMN＝ ＝＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1．
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．
考点：1.椭圆的离心率；2.曲线的交点；3.直线的方程；
19.已知函数，其中为常数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：有且仅有两个零点；
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
【答案】（1）x－y＝0；（2）详见解析；（3）4；
【解析】
试题分析：（1）求出f ¢(1)，即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，学科网再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；
试题解析：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．
因为f ¢(x)＝，从而f ¢(1)＝1．
又f (1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，
即x－y＝0．
（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋－4．
因为f ¢(x)＝，从而
当x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝10时，f(x)有极小值．
因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．
因为f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．
从而f(x)有两个不同的零点．
（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
即k＜对x∈(2，＋∞)恒成立．
令h(x)＝，则h¢(x)＝．
设v(x)＝x－2lnx－4，则v¢(x)＝．
当x∈(2，＋∞)时，v¢(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．
因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，

考点：1.导数的几何意义；2.函数与方程；3.用导数研究函数的性质；
20.给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列.
已知数列的通项公式为，等差数列，，是数列的一个3阶子数列.
（1）求的值；
（2）等差数列是的一个阶子数列，且
，求证：；
（3）等比数列是的一个阶子数列，
求证：.
【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）详见解析；
【解析】
试题分析：（1）直接列式求解；（2）先由得到公差的范围，再用公差表示出，从而由得到的不等关系；（3）类比（2）设，先由得到公比的范围，每一项都用公比表示出，再由公比的范围放缩后进行求和，构造函数证明和与目标式的关系；
试题解析：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．
又因为a2＝，a3＝， a6＝，
代入得－＝－，解得a＝0．
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
因为b1＝，所以b2≤，
从而d＝b2－b1≤ －＝－．
所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．
又因为bm＞0，所以－＞0．
即m－1＜k＋1．
所以m＜k＋2．
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1．
（3）设c1＝ (t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．
因为c2≤，所以q＝≤．
从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）．
所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋
＝[1－]
＝－．
设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．
因为当t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－．
即 c1＋c2＋…＋cm≤2－．
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项、求和公式；3.推理与证明；

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学附加题
21.选做题
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，
求证：EF∥BC.
B
A
D
E
C
F
（第21A题图）

【答案】详见解析

所以∠BAD＝∠DAC．
又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF．
所以EF∥BC．
考点：1.弦切角；2.圆周角；
B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，A的逆矩阵.
（1）求a，b的值；（2）求A的特征值.
【答案】（1）a＝1，b＝－；（2）λ1＝1，λ2＝3；

考点：1.逆矩阵；2.矩阵的特征值；
C.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，直线l：.设曲线C 与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度.
【答案】[来源:Zxxk.Com]
【解析】将参数方程都转化出普通方程，联立方程组求交点，进而求出距离；
试题分析：

考点：1.参数方程与普通方程的转化；2.曲线交点；3.两点间距离公式；
D.选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z都是正数，且xyz = 1，求证：(1+x)(1+y)(1+z) ≥ 8.
【答案】详见解析

考点：1.基本不等式；2.综合法证明不等式；
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望.
【答案】（1），，；（2）详见解析；
【解析】
试题分析：（1）3：0即甲连胜三局；3：1即四局中甲恰好胜三局；3：2即前四局甲恰好胜两局，第五局甲胜；（2）先分析随机变量可能的取值，再分析每个取值所含有的情况，计算每个取值的概率，从而得出分布列和数学期望；
试题解析：（1）记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P(A)＝＝，P(B)＝··＝，
P(C)＝ ··＝．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝3)＝P(A)＋P(B)＝； P(X＝2)＝P(C)＝，
P(X＝1)＝··＝， P(X＝0)＝1－P(1≤X≤3)＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

从而E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为，，．甲队得分X的数学期望为．
考点：1.独立事件的概率；2.随机变量的概率分布；3.随机变量的数学期望；
23.已知，定义.
（1）记，求的值；
（2）记，求所有可能值的集合.
【答案】（1）63；（2）{－1，0}；

考点：1.组合数公式；2.二项式系数的性质；

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