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第一模块 开普勒三定律 万有引力定律及应用
基础知识回顾
一．开普勒三定律
1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动。
理解：
1．开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上.
由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道，而k值只与太阳有关，与行星无关。
2．开普勒定律的应用
（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为；
（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为，这时由行星决定，与卫星无关。 当天体绕不同的中心星球运行时，式中的值是不同的。
（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。

二．万有引力定律
1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟他们之间的距离的二次方成反比。
2）公式： F= ，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，叫引力常量。
3）适用条件：仅仅适用于质点或可以看作质点的物体。相距较远（相对于物体自身的尺寸）的物体和质量均匀分布的球体可以看作质点，此时，式中的r指两质点间的距离或球心间的距离。
4）万有引力的特点
　　（1）普适性：不但存在于行星和太阳之间，也适合于宇宙中的任何天体，但地球上一般物体之间，由于质量很小，所以人们很难感受或观察到。
　　（2）相互性：两物体间相互作用的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反。
（3）宏观性：通常情况下，万有引力很小，只有在质量巨大的天体间，其存在才有宏观物理意义。
理解：
1．重力和万有引力
　　重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。
2．万有引力定律是牛顿分析行星的运动学和动力学规律
　　应用开普勒第三定律和科学推理得出的，并且进行了月地检验。

三．万有引力定律的应用
基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．公式为：解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
1）由得，所以R越大，υ越小；
2）由得，所以R越大，ω越小；
3）由得，所以R越大，T越大；
4）模型总结：
（1）当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。
（2）同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度均相等。
（3）这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用。
5）黄金代换式的运用
在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。即用地球半径的平方与重力加速度的乘积代替地球质量与万有引力常量的乘积，这是一个常用的变换式。

6）天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例）
　　（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
　　　　 由得。
　　（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r。
　　　　 由得。
　　（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T。
　　　　 由及 得。
　　（4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。
　　　　 由得。

重点难点例析
一、万有引力与重力
1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）．
图4-5-1

2．天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
同样可以推得在天体表面h重力加速度

重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．

【例1】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）
【解析】根据单摆周期公式有：
由万有引力公式得：
联立解得：
【答案】
【点拨】重力加速度与物体所处高度、纬度有关，同时注意单摆的振动周期与重力加速度有关。
l 拓展
火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为
A． 0.2g B． 0.4g C． 2.5g D． 5g
【解析】考查万有引力定律。星球表面重力等于万有引力，G = mg，故火星表面的重力加速度 = = 0.4，故B正确。 【答案】B

二、估算天体的质量和密度
把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据
可得：
因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
又由ρ= 可以求出中心星体的密度ρ.
【例3】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）
【解析】根据牛顿第二定律有：
从上式中消去飞行器质量m后可解得：=7.2×1022kg.
根据密度公式有：
【答案】3.26×103kg/m3.
【点拨】要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．
l 拓展
继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为.试计算土星的质量和平均密度。
【解析】设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.

由题意 所以：．
又 得：
【答案】

三、万有引力定律及其应用
² 易错门诊
【例3】从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为：

设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB，则：

‚
由‚得，所以。
又，所以
【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
ƒ
④
由 ƒ④得，， 所以
可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。
【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
A： 
B： ‚
‚得：，∴
根据，可知：
【点悟】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。

课堂自主训练

4-5-2
1．如图4-5-2所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：
2．地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是一种性质的力—万有引力。地球表面物体的重力加速度为，月球受到地球的吸引力产生的绕地球运动的向心加速度有为多大？月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度是多大？(已知月球中心到地球中心的距离为地球半径的60倍，地球的质量约为月球质量的81倍，月球的半径约为地球半径的0.27倍)
【解析】根据万有引力定律，宇宙间任何两个物体间都存在万有引力，地球表面的物体受到地球的引力产生的加速度为g，设地球质量为M，月球的质量为，地球的半径为R，月球的半径为r。

4-5-3
以地球表面的物体为研究对象， ①，
加速度： ②
研究月球受到地球的引力产生的加速度： ③
④
设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速度为，则：
⑤ 解得：。
【答案】1.63m/s2.
3．天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。已知双星的质量分别为和，相距为r，它们分别绕连线上的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。
【解析】首先建立双星系统的运动模型如图4-5-3所示。由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到。
设到O的距离为x，到O的距离为r-x，则： ①
②
联立二式解得：
③
因此速度分别为： ④， ⑤
【答案】；。
课后创新演练
1．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是（ BC ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的
2.对于万有引力定律公式中的r，下列说法正确的是（AC）
A．对卫星而言，是指轨道半径
B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个质量分布均匀的球体而言，是两球心之间的距离
D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
3．A、B是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星，若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径，则卫星A和B的（ＡＣ）
A．加速度大小之比是4∶1
B．周期之比是
C．线速度大小之比是
D．向心力之比是1∶1
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（AD）
Ａ．T＝2π B．T＝2π
C．T＝ Ｄ．T＝
5．（南京市调研性测试）银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ D ）　　　
A． 　 B．
C．　　　 D．
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时（AC）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大
D．探测器飞行的速率将变小
7．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g．则飞船在上述圆轨道上运行的动能（B）
A．等于 B．小于
C．大于 D．等于
8．在某个星球表面以初速度v竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为H，已知该星球的直径为D，那么环绕这个星球做匀速圆周运动的最大速度是。
9．如图4-5-4所示。地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R，运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当 行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
【解析】由题意可得行星的轨道半径r为：

设行星绕太阳的运转周期为，由开普勒第三定律有： ‚
4-5-4
设行星最初处于最佳观察期时，其位置超前与地球，且设经时间t地球转过角后该行星再次处于最佳观察期。则行星转过的角度为： ƒ
于是有： ➃
⑤
解①②③④⑤可得： ⑥
若行星最初处于最佳观察期时，其位置滞后与地球，同理可得：
⑦
【答案】

10．空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已知万有引力恒量是，求此行星的密度。

【解析】要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图4-5-5所示，由题意知行星自转的周期为6h。

4-5-5
设行星的质量为M，半径为R，平均密度为，则，两极的重力为物体受到的万有引力，m是一个假定的物体的质量。

物体在赤道随行星自转的向心力为：
①
弹簧测力计的读数为由题意得到：
②
③
而 ④
⑤
代入数据得到：。
【答案】