高阶导数和高阶微分泰勒公式.doc

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§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式
§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式
1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数的阶导数就是

而阶微分就是

(是自变量；被看成与无关的有限量)
因此，按照莱布尼茨的记法，函数的阶导数也可记成
或简记成 (注意的位置)
这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.
例33 因为指数函数的导数，所以. 依次类推，则有

例34 对于函数，则

一般地，
； .
同理，对于函数，有
； .
例35 对于函数，则

一般地，
（阶导数）
（阶微分）
例36 设函数.证明：.
证 一方面，函数在点0是连续的，因为

另一方面，

[点0的导数等于点0近旁导数的极限]
因此，一阶导数在点0是连续的.
一般地，当时，

容易看出，对于任何正整数，
[其中为关于的多项式]
且根据洛必达法则，
(※)
于是，因为一阶导数在点0是连续的，根据式(※)，所以且在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得

2.泰勒公式 一个次多项式

中，它的系数与有什么关系呢？显然，；又因为

所以，
， ， ，，
因此，

⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数，若它在某点有一阶导数(即可微分)，根据定义，则有

即

若函数在点有二阶导数，令

则有

即. 因此，

一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).
泰勒定理1 若函数在点有阶导数，则函数在点有展开式

与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的阶泰勒公式.
需要指出，习惯上把函数在点的泰勒公式

称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。
.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有
，
，
，
.
⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数在含点的某区间内有一阶导数，根据微分中值定理，当足够小时，则有
（拉格朗日公式）
或

一般情形下，有下面的结论.
泰勒定理2 若函数在点及其近旁有阶导数，则在点及其近旁有

其中余项

称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的阶泰勒公式.
特别，当时，泰勒公式

就是拉格朗日公式.
证 为书写简单起见，以下记，并考虑等式
（※）
其中为待定数(当确定后，它是常数).作辅助函数

它在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使；而

所以.因此，在区间上满足罗尔定理的条件，所以又有使.依次类推，就会有使，而

且.最后，函数在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使，即.因此，

把它代入式(※)，则得

因为其中，所以它就是泰勒公式

其中余项

需要指出，习惯上也把函数在点的泰勒公式

称为麦克劳林公式.其中余项
(拉格朗日余项)
总结：令，则

和

都称为泰勒公式，但有下面的不同处：
第一，前者只假设在点有阶导数，并且推广了；后者要假设在含点的某个区间内有阶导数，并且推广了拉格朗日公式

第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式
（泰勒多项式）
的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即

譬如，近似计算函数在点近旁的函数值时，可由给出的精确度和的变化范围，根据上面的估计式，确定多项式的次数；或者根据次数和的变化范围，确定一个近似公式的精确度.
例37 设. 因为，所以.因此，函数的麦克劳林公式为

由此得近似公式

问：当时，取多么大的，才能使这个近似公式的精确度.
解 当时，

经过试算，只要取，近似公式
()
的误差不超过，因为

例38 函数的n阶导数为
，
所以，函数的麦克劳林公式为

其中余项的拉格朗日形式为

取，则有近似公式

而误差

习 题
1.求：其中
⑴；
⑵(为常数)； ⑶；
⑷； ⑸(提示：)；
⑹(提示：)； ⑺；
⑻(提示：)； ⑼.
答案：⑴；⑵；⑶；
⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻；
⑼.
2.将多项式表示成的正整指数幂的多项式.
提示：选取. 答案：.
3.设为次多项式.证明：是的重根的充分必要条件为

4.求极限

提示：. 答案：.
5.求极限 . 答案：.
提示：首先作恒等变换

然后注意
，
.
6.若函数在点有直到阶的导数，且

证明：
⑴当为偶数且时，是极大值；
⑵当为偶数且时，是极小值；
⑶当为奇数时，不是函数的极值点，而是函数的拐点.
【注】函数在点取到极小值(也是最小值)，而
.
这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！
7.设函数在区间上有二阶导数，且.证明：至少存在一点，使

提示：取区间的中点，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则
①
②
8.设函数在区间内有二阶导数.若

证明：.
提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数，

从而对任意正数，有

9.设函数在区间上有二阶导数.证明：若

则.
【注】结论是最好的估计式，因为有例子

说明不能再改进了.
10.设函数在点近旁有阶连续导数，且，而泰勒公式中的拉格朗日余项为

其中.证明：.
提示：因为函数在点近旁有阶连续导数，所以

其中

11.证明莱布尼茨公式：若函数和都有阶导数，则它们的乘积也有阶导数，而且阶导数为
(其中)
而阶微分为
(其中)
提示：根据

我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式

中各项的系数。通过对比，并注意两者的相似处和不同处，请你用数学归纳法证明上面的阶导数公式.
12.设方程(为正整数).证明：

提示：先证明，然后在两端同时关于求阶导数.

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