剪力图和弯矩图1(基础).docx

剪力图和弯矩图

一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
由以上分析可知，一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为轴，以坐标表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为的函数，即
，
上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线表示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。
例8-3 图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的
计算简图，试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力 (a)
图和弯矩图。
解 （1）计算梁的支反力 取整个梁为研究对
象。由平衡条件：和，得
， (b)
（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁的左端A为坐标
原点，选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力作用于 (c)
点，梁在和两段内的剪力和弯矩不能用同一方程
来表示，应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以 图8-12
截面之左的外力表示，则得
段 ＜＜ （1）
≤≤ （2）
段 ＜＜ （3）
≤≤ (4)
（3）按方程分段作图 由式（1）与式（3）可知，段和段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于轴的直线。段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b)所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点
，
，
，
由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c)。
例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。

图8-13
解 （1）求支反力 由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即

（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为
＜＜ (1)
0≤≤ (2)
（3）作剪力图和弯矩图 由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如

0

0

0

通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。
由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值：。在梁跨度中点横截面上弯矩最大，而在此截面上剪力。
例8-5 图8-14所示简支梁，跨度为，在截面受一集中力偶作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。
(a)

(b)

(c)

图8-14
解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得

（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程
段 0＜≤ (1)
0≤＜ (2)
段 ≤＜ (3)
≤≤ (4)
（3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。
二、 弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。若再将的表达式对取导数，则得到载荷集度。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。

图8-15
设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为的分布载荷。是的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。若用坐标为和的两个相邻横截面，从梁中取出长为的一段来研究，由于是微量，微段上的载荷集度可视为均布载荷，见图8-15(b) 。
设坐标为的横截面上的内力为和，在坐标为的横截面上的内力为和。假设这些内力均为正值，且在微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件，得

由此导出 （8-1）
设坐标为截面与梁轴线交点为C，由，得

略去二阶微量，可得
（8-2）
将式（8-2）对求一阶导数，并利用式（8-1），得
（8-3）
公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。它表示：
（1）横截面的剪力对的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。
（2）横截面的弯矩对的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。
（3）横截面的弯矩对的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度。由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下（负值），即＜0，弯矩图为向上凸曲线；反之，方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。
根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：
（1） 梁的某一段内无载荷作用，即，由可知，常量。
若，剪力图为沿轴的直线，并由可知，常量，弯矩图为平行于轴的直线。
若等于常数，剪力图为平行于轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。
（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即等于常数，则剪力是的一次函数，弯矩是的二次函数。剪力图为斜直线；若为正值，斜线向上倾斜；若负值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当为正值，即＞0时，弯矩图为下凸曲线；当为负值，即＜0时，弯矩图为上凸曲线。
（3）在集中力偶作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。
（4）在集中力偶作用处，剪力图不受影响，而弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的数值。
上述结论可用表8-1表示。
表8-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图
载荷情况
剪力图
弯矩图

利用剪力图和弯矩图的特点，可以定性
地描绘剪力图和弯矩图，或校验剪力图和弯
矩图。
　　例8-6 图8-16(a)所示简支梁，受均布 (a)
载荷和集中力共同作用，试绘梁的内力图。
解 （1）计算支反力 由，得
(b)
所以
由，得 (c)

得
（2）根据载荷作用位置把梁分成三段，并 图8-16
对各段的内力图形状作出分析判断，求出各段内力图的起点、终点和极值点的内力值，然后将其列表如下：

梁段

－３
０
０
剪力图形状
左高右低斜直线
水平线
水平线
弯矩图形状
开口向下抛物线
斜直线
斜直线
横截面值

１

值

值

　　 注：表中△→0。
（3）根据上表，由左至右逐段画出剪力图，如图8-16(b) 所示；画出弯矩图，如图8-17(c) 所示，可见，。
例8-7 外伸梁及其所受载荷如图8-17(a)所示，试作梁的剪力图和弯矩图。

图8-17
解 按照前述使用的方法作剪力图和弯矩图时，应分段列出剪力方程及弯矩方程，然后按方程作图。现利用本节所得结论，可以不列方程而直接作图。
（1）求支反力 由和可求得
，
（2）分段 沿集中力作用线、均布载荷的始末端以及集中力偶所在位置进行分段。现将梁分为、、、四段。
（3） 作剪力图
段 在支反力的右侧梁截面上，剪力为。截面到截面之间的载荷为均布载荷，即常数。剪力图为斜直线。算出集中力左侧梁截面上剪力

即可确定这条斜直线，见图8-17(b)。
段 截面处有一集中力，剪力图发生突变，变化的数值等于。故

从到剪力图又为斜直线，知

段 截面与截面之间梁上无载荷，剪力图为水平线。
段 截面与截面之间剪力图也为水平线，算出截面右侧截面上的
，即可画出这一水平线。
（4） 作弯矩图
段 截面上弯矩为零。从到梁上为均布载荷，且均布载荷向下，则弯矩图为上凸的抛物线。算出截面的弯矩为

已知点、点弯矩以及抛物线为上凸，即可大致画出段的弯矩图。
段 由受力特性可知，从到弯矩图为上凸的另一抛物线。截面的剪力突变，故弯矩图在点斜率也突变。在截面上的剪力等于零，故点为弯矩的极值点。由段的剪力方程可计算出至梁左端距离为，故可求出截面上弯矩的极值为

在集中力偶左侧截面上弯矩为
已知、及等三个截面上的弯矩，即可连成到之间的抛物线。
段和段 截面上有一集中力偶，弯矩图突变，而且变化的数值等于。所以在右侧截面上为

截面上的弯矩为

由于段的剪力图为水平直线，于是由和就确定了这条直线。到之间弯矩图也是斜直线，由于，故可画出图示斜直线。
从所得的剪力图（图8-17b）和弯矩图（图8-17c）上，不难确定最大剪力，最大弯矩。
要注意的是：不但可能发生在的截面上，也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。所以求弯矩的最大值时，应综合考虑上述几种可能性。

先假设M求为某一方向，（一般我是假设为逆时针，书上好像是把逆时针方向规定为正方向），然后对该分离体（或研究对象）列弯矩平衡方程（当然必须是在分离体弯矩平衡情况下）：M总=0。
即MA+MB+MC+M求=0。（注意对于MA、MB、MC，如果是逆时针的取正值，顺时针取负值。），此时如果球出的M求为正值，则它就是逆时针的，如果是负值，那它的方向与假设方向是相反的，是顺时针。
也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加，把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加（其实跟上面是一样的，也是得假设M求为某一方向）列平衡方程。

那还不简单，不同X对应不同的弯矩了，要看X等于多少了。
不知道你的是不是结构构件上的弯矩，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。
我不知道你的原题是什么样的，X表示的是什么。
如果X表示的是位置坐标，那么M求=AX²+BX+C表示的是构件上的弯矩分布函数，不同位置对应不同的弯矩，也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负，凡是求出是正值的就与假设方向或默认方向相同，反之相反。
如果X表示的是某个构件的长度，也是一样判方法。
还有一个可能是你所算的是一种动态情况，就是某个东西在动，导致弯矩是个变量，也是一样的。
总之一句话，要看X值的情况。
最好把原题放上来，这样更有针对性。

你的应该是结构力学方面的，结构力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正，反之为负。所以假设时应假设成如图方向。
弯矩图都是画在受拉一侧的，所以凡是出现正值的区域就把弯矩图画在上面，出现负值的就画在下面，过度地带就是为0的地方。
强调一下，假设没有什么对或错的，M求>0对应的X处弯矩跟假设的方向就是相同的，正的，M求<0对应的X范围处弯矩方向就是跟假设相反，无论假设方向怎么样求出的弯矩都是一样的。 、

一般规定 梁的哪侧纤维受拉就画在哪侧的
一般规定下侧受拉为正弯矩。

建筑力学中弯矩剪力图方向
悬赏分：30 - 解决时间：2010-2-2 11:27
我不知道画上边还是下边左边还是右边，希望举个简支梁的例子详细说明说的明了给加分

你把梁想象成柔性的，梁的变形和图像要一致！即往哪儿变形画那边！！！比如，简支梁上面作用一集中力，画下面。如果作用一力偶，1，力偶顺时针时，左边上，右边下；2力偶逆时针时，相反。如果作用均布力，也画下面。（如图）

1.　剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度。
2.　弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。
3.　弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。
根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如：　　　　1.　若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于
轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.　若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中，当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。
3.　若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。
　　利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：
　　1.　求支座反力；
　　2.　分段确定剪力图和弯矩图的形状；
　　3.　求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；
　　4.　确定和