第四章 动能和势能.doc

第四章 动能和势能能量是物理学中最为重要的概念之一.“那是一个最为抽象的概念”.人类认识这个概念经历了长期曲折的过程.本章第一节将概念述，人们是怎样逐步认识能量和能量守恒定理，能量可从一种形式转变为另一种形式，但总量不变做功恰好是使能能量发生转换的一种手段.4.1 能量另一个守恒量（学生自己看）4.2 力的元功，用线积分表示功能量反映物体的运动状态，它可以从一个物体转移到另一个物体或从一种形式转变为另一种 形式，但总是不变，最好从能量的变化 和转移中认识能量，力做功是改变能量的手段.我们即从力做功入手.一、力的元功和功率 我们简单讨论过功的概念.一个物体在力的作用下移动叫做力对物体作工；李对物体的所作的功等于力和物体沿力的方向移动距离的乘积.最简单的情况是；物体在大小和方向都不变的恒力作用下作直线运动，而且力的方向与物体的移动方向一致.这是力对物体所作的功A可用下式表示 A=FS ;其中F为力的大小，S为物体移动的距离.“功”的概念与平常所说的“工作”虽联系，但有区别，“工作”比较广泛，体力劳动或脑力劳动完成某一项任务都叫做“工作”物理学中的“功”比较狭义的，只有当物体在力的作用下，沿着力的方向移动一段距离后，才能说力对物体作了功，设有移动，力对物体仍然没有做工. 图4-2.1S二、力和物体运动方向不一致时的功上面讨论的功，力和物体运动方向一致的情况.在实际问题中，力的方向与物体的运动方向往往并不一致.社原来静止的某一物体在力的作用下在光滑木平面上移动.作用力的方向与物体运动方向的夹角，此时我们可以把力分解为物体运动方向分力和物体运动方向垂直运动方向的力F2.显然在力F2的方向上物体没移动，所以力F2部做功.如图（4-2.1）所示。 因而在物体移动距离S的过程中力所作的功A就等于共分力F1所作的功. .这就是恒力的一般表示式.它将功的概念以及功的计算方法推广到力和物体运动方向不一致的情况. 下面讨论几种情况.若 时，所以A0为正功. 时，所以.时，所以.为负功.当一个力对物体作负功时， 在力学中往往说“物体”克服该力做功（正功）.图4-2.2一个物体变力的作用下，沿一直线运动，在此直线与取S轴，用表示作用在物体上的力沿S轴的投影，假设是一个随物体的位置变化的变力也是物体的位置而变，是坐标S的函数. 当物体以位置S1移动到位置S2时，力作了多少功呢？这可以下面的方法来求得.如图（4-2.2）所示，将物体走过的路径S= S1+ S2 ；分成n个相等的小段.，每段可视为不变的位移.在这小位移上力也可以以为是不变的，那小位移为无穷小量称为元位移，力在元位移上的功称元功.力的元功等于，是点出的力.图4-2.3O如图（4-2.3）所示,在物体从S1移动至S2的过程中，力所作的功近似值等于各段距离上的功的近似值之和.即，；n越大即分的段数越多，每段路程就越短，则在每一段上力的变化就越小.将变力看作恒力就越近.实际情况，若n趋向无限大（），则的极限就是力在此过程中所作的功.即： ；图4-2.4O在积分学上，这种类型的极限叫做函数灾区间上对自变是S的积分，用下列符号表示 ； 所以，图(4-2.4)所示，力在物体从移动到时过程中所作的功可表示为列积分：；若质点沿任意曲线运动怎样计算力所作的功？ 图4-2.5F图（4-2.5）所示，如果，将受力质点的路径分成许多小段，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上力也可以认为是不变的位移，在这小位移上力也可以认为是不变的.那少位移无穷小量，可以为与轨迹重合，称元位移.力在元位移上的功称为元功.元功等于力与受力质点无穷小位移的乘积. ；表示力与位移的夹角；时，力做正功.时，力不做功.时，力做负功.国际单位制中 ，；若干力作用于一质点，质点位移为，根据矢量标积的分配律有即合力所做的功等于分力所做功的代数和；在时间内力所做的功为 称作力在趋于时力的平均功率的极限叫做瞬时功率. ， ；即力的功率等于力与受力点速度的标积，功率的单位， ，.图4-2.6二、利用不同坐标系表示无功1.平面直角坐标系叁考图(4-2.6)所示，在平面直角坐标系中力和元位移表示为 ；， 图4-2.7若力沿直线位移做功令轴与位移重合，则有.2.平面自然坐标质点沿平面曲线运动沿曲线上取平面.如图（4-2.7）所示，自然坐标，设在力作用下质点元位移为，越短，其大小越近于它所对应的自然坐标增量ds得值,其方向越靠近元位移起点处曲线的切线.故元位移近似表示作：.将力沿切向与法向分解，因 ；力的元功为 ;即功等于力在切向单位矢量上的投影和张坐标增量的乘积.3.在极坐标系表示功如图（4-2.8）所示，质点在力作用下发生元位移，在极坐标系重点的坐标为（），每点出均可引入径向单位矢量和法向单位矢量，将力和元位移分别向和投影，得A图4-2.8力的元功为 ，此即极坐标系中功的表示式.三、力在有限路径上的功图4-2.9上文研究力在长路经某无穷小元位移，现在研究用积分描述受力质点在有限路径上的功,如图（4-2.9）所示，元位移 组成力的元功为 总功近似等于 ；元位移数目无限增多面每一元位移增均趋于0，则该和式的极限给出功的精确值. 该和式的极限即称作力沿曲线自至线积分，记作.它意味着变力的功等于元功之和.我们可采用不同方法计算这一积分，在直角坐标系有 （4-2.9）该式右方表示两级分，是沿轴做功的代数和. 是沿轴做功的代数和；若质点轴运动 . （4-2.10）图4-2.10设力方向大小不变，且与位移成角，又上式得这正是大家的恒力做功的表示.例1.叁靠图（4-2.10）簧一端固定，另一端与一质点相连，弹簧颈度系数为k。求质点由运动至时弹簧弹性力所做的功。坐标系原点位于自由伸展时质点所在位置。解：弹簧弹性力为，弹力的功 ；若质点的沿曲线运动至，受力做的功等于；和表示受力点运动始未的然坐标，此式表明力的功等于切向力对自然坐标的定积分，由上式可见只有切向力做功，法向力总与元位移垂直而不做功.4.3 质点和质点系动能定理一、质点的动能定理我们知道，力做功改变物体的运动状态，质点的运动学方程反映质点运动状态的变化与合力的关系，以此为线素，可能找到所求的物理量及其与功的定量关系.设质量为m的质点在合力的作用下沿某一曲线运动，沿质点轨迹取自然坐标质点加速度可写作 ；质点运动学方程可写作 ；设质点发生元位移，以标积上式两端得；等式端是合力做的元功，而.，；由于，所以上式化简成，； M为恒量，可移到微分符号后，上式变换为；我们看到这理出现了一个新的物理量 ，它决定质点和速率，因此是质点运动状态的函数，而且，它的微分决定于合力的功，正是我们所寻的物理量.我们把叫做质点的动能，用来表示；既然动能变化是用功来变量的，所以动能和功具有相同的量纳和单位表明.质点动能的微分等于作用于质点的合力所作的元功，叫做质点动能定理.是为质点动能定理的微分形式.将它积分即得质点动能定理积分形式. 或 （4-3.2）这样就得到非无穷小过程的质点的动能定理质点动能的增量等于作用于质点的合力所作的功.动能与动能概念不能混淆，质点的运动状态一且确定，动能就唯一的确定.动能是运动状态的函数，是反映质点运动状态的物理量，而功是过程的函数，可以说处于一定运动状态的质点有多少动能，但说某质点具有多少功就有任何意义.二、质点系内力的功图4-3.1在研究质点动量守恒定律时，众所用知，内力的矢量和为零.现在研究质点系内力之功的和这就需要研究两质点间作用力与反作用力的功，如图所示两质点沿虚线轨迹运动，它们相对于叁考点o的位置矢量各为和，和-分别表示质点1对2，2对1的作用力，这时相互作用力元功之和为；为质点2相对于1的元位移，表示质点2相对于1的位移矢量，则 ， ； （4-3.4）即二质点相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积.即这一力的功仅决定于力和质点间的相对位移，将分解为与垂直和平行的二分位移和.力F只在分位移，上做功，是方向的单位矢量，可表示，是的方向投影，且，；此式进一步表明二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变.元功的正负应由和的正负决定，仅当二质点沿力的方向无相对运动时，作用力和反作用力之功的代数和等于0.二、质点系的动能定理现在将某质点系视为一研究对象，沿质点系由n个质点组成，在运动过程中，作用于各质点合力的功等于结果使各质点动能从变成对每个质点使用动能定理，得将上式对一切质点取和： ；把质点系内各质点动能之和叫做点系的动能.式中质点系的初动能，是质点系的末动能.为作用于质点系一切力所做功的和，这可以分两部分，一、一切外力的所做功和.二、一切内力的所做功和.由于作用力与反作用力之功的代数和不一定为0.故不容忽视，于是上式写作 （4-3.7）即质点系动能的增量在数值上等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和，称作质点系的动能定理. 例1.如图（4-3.2），质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对卡车滑行了距离。卡车滑行了L距离。求L和。已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车论与地面的滑动摩擦系数为。解：注意三力之受力质点位移各为和，根据质点动能定理为受力卡车的功图4-3.2 ， 或 受力的功为 ； ；2.用质点动能定理求解：卡车和木箱为一质点系，外力有只有外力做功.，内力之功；又视木箱为质点，得上面两式联立得与上法相同结果.4.4 保守力与非保守力、势能质点系除可能具有动能外，还可能具有具有势能，势能与一定的保守力对应，本节讲述力场，保守力，非保守力以及势能概念.一、力场如前所述，质点受力通常与质点的位置，速度和时间有关.若一确定的质点所受之力仅与质点位置有关，即 （4-4.1）则称作力场，存在场力的空间称为力场. 图4-4.1二、保守力与非保守力首先讨论重力的功.如图(4-4.1)所示，质量为的质点在重力作用下自点经平面曲线运动到点.建立直角坐标系，轴铅直向上.根据(4-2.4),考虑到，重力的功为 (4-4.2) 或1路上运动时、，质点重力的作用下移动 ； ； ； ；这个结果表明，重力所做的功仅决定于质点的始末高度，一质点经过的路径无关.不难想到，凡均匀力场做功均有此种性质.重力在整个路径上所做的功，等于各小段上的元功的之和，即，；图4-4.2重力做功的这个特点，还可以用另一个方式来表达.令重量为的物体，沿任一闭合路径绕行一周再回到点重力所做的功为0.图（4-4.2）所示。；作负共，。所以重力做功的特点也可以表达为，如果物体沿任一闭合路径绕行一周后再回到出发点，则重力在整个过程中所做的功为0. 弹性力的功业具有上述特迪纳.将图(4-4.3)中的物体用各种不同的方式从A点移动到B点或者从A点先向左移动一段路程，再向右移动到B点，不难证明不论物体是如何从A点移动到B点的弹性力。AB图4-4.3在此过程中所做的功为 .该式说明，对于一个给定的弹性系统，在物体由A移动到B的过程中，弹性力所做的功只与弹簧的形变。亦即只与物体的始末位置有关，而与物体所经过的路径无关，这个特点也可表达为。当物体从一点出发沿任一闭合路绕行一周回到原点时，弹性力在整个过程中所做的功为0.还有，万有引力所做的功为:；再看静电场力的功为 ；上面几种力所做的功特点，力所做的功.受力质点（物体）的始末位置和质点经过的路径无关.即力沿闭合路经所做的功等于0. ；摩擦力所做的功不仅与物体的始末位置有关，而且与物体所过程的路程也有关.根据上面的分析可知，系统内部各物体之间的相互作用力分为两类.具有“做功与路程无关”这一种力称为保守力。例如：重力、弹性力、万有引力、是保守力.不具有这种特点的力称为非保守力或称耗散力.如：摩擦力；三、势能势能概念是在保守力概念的基础上提出的。对保守力，受力质点（物体）始末位置一定，力的功方便确定了.因此，可以找到一个位置函数，并使这个函数在始末位置的增量恰好决定于受力质点自初始位置过任何路径达到终止位置保守力做的功.该函数即下面提出的势能。用和分别表示质点在始末位置的势能.用表示自始位置到末位置保守力的功.即 ；这表明与一定保守力相对应的势能的增量等于保守力所做功的负值。如果保守力做正功，则势能减小.如果保守力做负功则势能增加.例如：将质点举高，重力和质点的运动方向相反，重力做负功则重力势能增加.如果质点自高处落下，重力做正功，则重力势能减小。图4-4.4上述定义只规定了质点系在两个位置的势能差.如果我们选定一个叁考位置，令质点系处于改位置时的势能为0，那未质点在任一位置的势能，在；数值上就等于从该位置移动到叁考位置时报受力所做的功. ； 见图（4-4.4）以为势能为点，点势能用，若果以为势能点，则点的势能为.因此保守力之功与路径无关，故可以选择一自至而通过点的特殊路径计算力的功，且自点到达点保守力的功为有，两者相差.在势能点和已确定的条件下为一常数，用表示 ，可见选择不同的势能为点，势能函数值不同，但只相差一常数，我们经常需要讨论不同形式能量的转化。它往往涉及势能的改变，对上式取增量，得，足见势能的改变量与势能点的选择无关。对经点势能，常数选择二带电质点相距无穷运为势能零点 ， .（4.49）若与 同号势能为正（），若与 时（）对于弹簧，通常选择弹簧自由伸展状态为势能为 点，取又用表示弹簧的伸长和压缩，则自势能点始，弹性力的功为 。四、势能是物体相对立位置的函数若果质点系中几个质点都在运动，如何讨论势能问题 ？对于更一般的情况，如果质点系包含若干质点，它们间作用以保守力，则质点系内一切保守力所作功的代数和仅与诸质点始末相对位置有关，与各质点运动路径无关，故可引入属于该质点系的势能其能其增量，等于系统内一切内保守力所做功的代数和，的负值。 4.5 功能原理和机械能守恒定律质点系的动能与势能之和称为质点系的 机械能。功能原理和机械能守恒定律都是说明质点系机械能的变化规律的。一、质点系的功能原理根据（4-3.7）质点系动能定理可以表示如下。因为，内力包括保守力和非保守力，故一切内力所做功之和包括一切内保守力所做的共和一切内非保守力所做功的和。即代入前式 （4-5.1）根据一切内保守力所做功之和的负值等于该质点系势能的增量，即；式中和分别表示一定过程中质点系的始末势能，代入前式并移项则得 （4-5.2）；式中和分别表示质点系的始末机械能。上式表明，质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的代数和，这称作质点系的功能原理。首先应当看到，只有外力河内非保守力做功才会引起机械能的改变。看到内保守力做功所起的作用，根据（4-5.1）内保守力做功会引起质点系动能的改变。根据（4-5.2）内保守力做功不会引起质点系机械能的改变。如果时不用（），若果用（）当然保守力不用保守力做的功。因为保守力做功和相应势能的改变之间是一种等价关系。二、质点系的机械能守恒定律在一定过程中，若果质点系机械能力始终保持恒定，且只有该质点系内部发生动能和势能的相互转换，就说该质点系机械能守恒，机械能守恒的系统称保守系统。根据机械能守恒的含义和功能原理，可以写出机械能守恒定律，在一过程中，若果外力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系机械能守恒。即：=恒量。先是要求：外力不做功；每一对内非保守力做功代数何谓0，如果，内保守力所做功反竟咪差东能与势能的相互转化，不影响总机械能。(a)(c)(b)图4-5.1例1. 一轻弹与质量为，的两个物体相联结，如图（4-5.1）所示。至少用多大的力向下压才能在此力揄除后弹簧把下面的物体带离地面？（弹簧质量不计）解：受力，为弹簧拉力，N桌面支撑力，当与桌面脱离接触而被提起时。向轴投影得： 向轴投影得： 机械能守恒。 代入 ； ；图4-5.2例2. 我们以前提到，从地球表面发射射物体，如果要它飞地离地球。永不返回，其初速度至少等于11.2km/s，这速度称为第二宇宙速度。图（4-5.2）所示。解：取地球和发射出去物体为系统，若忽略物体在豫东过程中所受到的摩擦阻力，该系统的机械能守恒。物体以初速度离开地球表面向上运动时，由于万有引力的作用， 物体在地球中心r初速度为0时的机械能 ； ，； ；当时。故物体永不返回地球。所需的最小处速度 ，代入上式 ；4.6 对心碰撞碰撞是物理学研究的重要对象。碰撞有两种特点： 碰撞的短暂时间内相互作用很强，可以不考虑外界影响。 碰撞前后状态变化突然目明显，适合用守恒定律研究运动状态的变化。现在研究碰撞的理想模型。如果两球碰撞前的速度矢量都沿着两球的连心线，则在碰撞后它们的速度矢量也心然沿着两球拉莲心线的方向。这样的碰撞叫做“球的对心碰撞”或正碰。一、 关于对心碰撞的基本公式图4-6.1如图（4-6.1）将两球视作一质点系，因外力矢量和为0，故动量也守恒。用和分别表示两球的质量，碰撞前速度分别为和，和； 有：；轴： 二、完全弹性碰撞如果两个球碰撞前总动量的变化小，可以进似看作完全弹性碰撞，所以上面讨论两个小球的动能守恒。 式和可以求出， ； ；式和相减- 该式说明，在弹性碰撞中两个小球碰撞后，相互分离的速度等于碰撞前相互接近的相对速度下面根据式研究几个特殊情况。设两个小球的质量相等 时代入，；既两个小球通过碰撞交换彼此得速度。如果小球2原来处于静止状态，时，。碰撞后1静止，2运动。时，时，代入， ； 由上式可以看出，小球2在碰撞后心沿小球1碰撞前运动方向运动，而小球1在碰撞后的运动方向决定于和大小；如果时，则在碰撞前后的运动方向相同；如果时，则小球1在碰撞前后的运动方向相反。如果时（设1是铅球2是乒乓球）。，即小球1碰撞后的速度基本上与碰撞前相同，而小球2从而位于小球1碰撞前的速度运动起来。三、完全非弹性碰撞有时量物体碰撞后不再分离，以同一速度运动这种碰撞称为完全弹性碰撞，这是近余动量守恒方程。设碰撞后共同速度为则有 （4-6.8）现在就的特殊情况，讨论碰撞前后动量是否损失，根据上式有 （4-6.9）碰撞前后的动能损失为（）时上式代入：； 或； 代入，；最后讨论一下一般非弹性碰撞，对于非弹性碰撞，碰撞前后的总动能不守恒。牛顿总结过实验结果提出了碰撞定律 。碰撞后两个小球的分离速度与碰撞前的接近速度成正比。比值e叫做恢复系数 （4-6.2）如果时这是完全非弹性的碰撞。如果时这是完全弹性的碰撞。一般碰撞。E的实验方法测定。（由式和可求得）。，；如果时，时 ，。例1. 用表示中子质量表示某原子核质量，求；求中子与静止的原子核发生对心的完全弹性碰撞后，中子动能损失的比率；=？ 铅，碳和氢的原子核质量分别为中子质量的206倍，12倍和1倍，求中子与它们发生对心的完全弹性碰撞后动能损失的比率。=？解：把中子及铅，碳和氢的原子核都视作质点间和表示碰撞前后的速度则动能损失的比率为，；代入上式：；（2）求：中子和铅，碳，氢原子核碰撞能量损失的比率。1. 对于铅：，；2. 对于谈：，；3. 对于氢：， ；即中子与氢碰撞时能量损失最多。图4-6.2(c)(b)(a)例2. 冲击摆可用测子碳速率，长度为的线绳悬挂质量为M的木块，子弹质量为m，沿水平方向射入木块，子弹最后放在木块内一定位置，且测得木块摆过角度，求子弹射入的速率。图（4-6.2）所示。解：1）根据动量守恒定律 ： ； 2）机械能守恒定律， 所得 ；