第四章、动能和势能.doc

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第四章 动能和势能
思 考 题
4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下
合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否
一样多？
答 : 在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：
正、 0、负、正、0、负。
在加速上升和匀速上升了距离 h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上
升 ；匀速上升 。
  4.2 弹簧A和B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？
答 :
(1) 拉长同样距离
｝ , .
(2)
,
,

｝ ,

4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。
答 : 与零势能的选取有关。
4.4 一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？
答 :
设两物体（质点）相距无限远处为零势能。

4.5 人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？
答 : （ 1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。
（2）人体的动能是内力做功的结果。
（3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。
4.6 一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？
答 : 不一定。
4.7 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？
答 :
（ 1）有关。
如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。

 （2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）
  4.8 取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。
答 :
（ 1）弹簧原长为势能零点

设 处势能为零。

（ 2）重力势能： 处势能为零
处势能为零

处势能为零

万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零

习题及解答

4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？
解 :
人作用到传送带上水平方向的力，大小为 50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。
N=F =mg× =50kg×9.8N/kg×2m/s=980w

4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为 ， 表示弹簧的伸长量， 为正。（1）研究当 和 时弹簧的劲度 有何不同；（2）求出将弹簧由 拉伸至 时弹簧对外做的功。
解 :
（ 1）根据题意
所以弹簧劲度为
当 时，由于 ，所以 ，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而增加。
当 时，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而减小。
当 时， 弹簧的劲度不变。

以上三种情况的弹簧 劲度 系数如右图所示：

（ 2）将弹簧由 拉伸至 时，弹簧对外界所做的功是：

当 时， 拉伸，外界做功，弹性力做负功。
当 时， 缩短，弹性力做正功。
4.2.4 一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力 向下拉绳。证明力 对线做的功等于线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。
解 :
设 为绳作用在小球上的力。力 对小球所做的功为
将 分解为沿 方向和与 垂直方向的两个分位移 ( 为对 点的位矢)
如图：

又 ∵绳子不可伸长
∴ （ 是力 的作用点的位移）
∵

4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以 的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切 ，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？
解 :
取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力 mg、牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示：

上坡受力分析

下坡受力分析
上坡时：
∵卡车作匀速直线运动
∴

卡车的功率

下坡时：
∵卡车作匀速直线运动
∴

卡车的功率

由题意
：

4.3.1 质量为 m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率 。求力T将木块自A拉至B点的速度。
解:

做功为零
由动能定理：

式中

利用积分公式：
则上式

注： 关于 T做功还有一种解法:

其中 T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。
4.3.2 质量为 1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度 ，求木块被拉至B时的速度。

解 :
重力做功

方向向上

4.3.3 质量为 m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度 向右运动。弹簧的劲度系数为 ，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为 。求证物体能达到的最远距离 为 。
解 :

由：

所以：
解一元二次方程：
由

舍去负号：

4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为 m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为 和 ，膨胀前的压强为 。活塞初速度为 。（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强与体积满足 恒量。（2）若气体压强与体积的关系为 恒量， 为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）
解 :
（ 1）

（ 2）

4.3.5 坐标系与 坐标系各对应轴平行。 相对于 沿x轴以 作匀速直线运动。对于 系，质点动能定理为 ， , 沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于 系，动能定理也取这种形式。
解 :
∵

∴

∵

∴
由动能定理得：

∴
最后可得：
说明相对于 系，动能定理的形式不变。
4.3.6 带电量为 e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为V的电场加速。设偏转磁感应强度为 B ，偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为
.
解 :
正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压 V的电场加速。
正离子获得的动能为 (电势能)

正离子的速度
由于正离子在磁场受到洛仑兹力 的作用而发生偏转

∴
即：
4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为 500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。
解 :

以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力 ，框架重力 ，轻绳拉力 和作用在框架上的水平力 。其中轻绳的拉力 和 不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力 、 ，由于光滑，所以 、 做功之和为零。质点组所力情况如图：
根据质点组动能定理：
（1）
为圆柱体的绝对速度
为框架的绝对速度。
由于 （见下图）
将此式投影到图中所示的沿水平方向的 ox轴上，得：

带入（ 1）式中

解得：

4.4.1 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为 和 。它们自由伸长的长度相差 。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在 和 时弹性势能的表示式。 解 :
弹性力

外力为

当 时， 无势能，只有 有势能。外界压缩弹簧 做功使 势能增加。设原点处为势能零点，则：

时：原点为势能零点
对于 ：外力做功
对于 ：外力做功

4.5.1 滑雪运动员自 A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成30 0 角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为 ，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（3）运动员到达平台时的速率 。
解 :

（ 1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力 和地面支持力 作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力 不做功，所以机械能守恒。
以 B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：

（ 2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知： 沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度

（ 3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：

（ 4）d的高度:水平射程的一半

4.5.2 装置如图所示：球的质量为 5kg ，杆 AB 长 1cm ， AC 长 0.1m ， A 点距 O 点 0.5m ，弹簧的劲度系数为 800N/m ，杆 AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

解 :
包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：
不做功。
重力和弹性力为保守力（不计摩擦）
系统机械能守恒
设杆水平时势能为零

（ 1 ）
∵ （水平位置）
（ 2 ）
将（ 2 ）式代入（ 1 ）式

4.5.3 物体 Q 与一劲度系数为 24N/m 的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体 Q 在 A 处的速度为 1.0m/s ，已知圆环的半径为 0.24m ，物体 Q 的质量为 5kg ，由橡皮筋固定端至 B 为 0.16m ，恰等于橡皮筋的自由长度。求（ 1 ）物体 Q 的最大速度；（ 2 ）物体 Q 能否达到 D 点，并求出在此点的速度。

解 :
（ 1 ）取物体 Q 为隔离体
在竖直方向上 Q 所受的力的矢量和为零。
而在水平方向只受到弹力 和光滑圆弧的水平方向的作用力 作用， 为保守力，不做功。所以机械能守恒。
设弹簧势能零点为弹簧原点处：
（ B 点速度最大）

（ 2 ）在 D 点弹性势能为：

因为
所以

4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当 粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达 粒子碰撞前速度的 1.6 倍，即占入射粒子能量的 64% 。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且 粒子质量接近氢原子质量的四倍）。
解 :
设 粒子的质量为 4 ，氢原子的质量为 ； 粒子的初速度为 ，氢原子的初速度为 ；
正碰后， 粒子的速度为 ，氢原子的速度为 。
由公式 :
将以上数据代入：

入射 粒子的能量：
氢原子碰后的能量：
则：

4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为 M 的机车在水平轨道上自右方以速率 滑行并与 m 碰撞挂钩。挂钩后前进了距离 s 然后静止。求轨道作用于车的阻力。
解 :
选取机车和车厢为质点组
挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。

撞后：由动能定理

4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为 e 。若球 A 自高度 释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。
解 :
（ 1 ） A 球碰前的速度，由机械能守恒：

（ 1 ）
A 与 B 发生非弹性碰撞

（ 2 ）
又知： （ 3 ）
由（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）式得：
（ 4 ）
A 球上升高度：机械能守恒

（ 2 ）若两球发生完全弹性碰撞
由（ 4 ）式
再由（ 2 ）式
即 A 球静止， B 球以 A 球碰前的速度开始运动。当 B 球上升后（ 高度）又落下与 A 球再次发生完全弹性碰撞。 ， A 球以速度 开始向上运动。如此往复。
  4.6.4 质量为 2g 的子弹以 500m/s 的速度射向质量为 1kg 、用 1m 长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有 100m/s 的速度。问摆沿铅直方向升起若干。
解 :
第一阶段，动量守恒

第二阶段，机械能守恒

4.6.5 一质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长 10cm 。今有一质量为 200g 的铅块在高 30cm 处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。
解 :
铅块下落到框底速度为
（ 1 ）
接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。

（ 2 ）
（由于碰撞时间短，下降距离为零）
以后以共同速度下降：机械能守恒

设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为 ，碰撞后质点移动的最大距离为 。 （ 3 ）
依题意 （ 4 ）
（ 2 ）（ 4 ）式代入（ 3 ）式：

舍去负号项，

4.6.6 质量为 =0.790kg 和 =0.800kg 的物体以劲度系数为 10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为 0.01kg 的子弹以速率 =100m/s 沿水平方向射于 内，问弹簧最多压缩了多少？
解 :
第一阶段：完全非弹性碰撞
（ 1 ）
第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。
（ 2 ）
（ 为共同速度）

再由机械能守恒：
（ 3 ）
有（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）式解出：

4.6.7 一 10g 的子弹沿水平方向以速率 110m/s 击中并嵌入质量为 100g 小鸟体内。小鸟原来站在离地面 4.9m 高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。
解 :
第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞
水平方向动量守恒：
（ 为子弹、小鸟共同速度）

第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动
小鸟落地时间：
水平距离：
4.6.8 在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有 A 、 B 两个质点， B 在水平轨道上静止， A 在曲线部分高 h 处由静止滑下，与 B 发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知 A 、 B 两质点的质量分别为 和 。求至少发生两次碰撞的条件。
解 :
分三个阶段：
第一阶段， A 第一次与 B 完全弹性碰撞。
设， A 撞前速度为 ，撞后速度为 ；
B 撞前速度为零，撞后速度为 。

由公式：
得：

要使质点返回，必须 ，即
第二阶段， A 返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。
由机械能守恒：
（ 是再度下滑到平面轨道的速度）
得
第三阶段， A ， B 再次碰撞。
要求 ，即 将上面的 ， 代入此式

即
这是 A ， B 至少发生两次碰撞的条件。
4.6.9 一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。 CD 长 。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至 时开始做匀速直线运动。后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与 BD 壁相碰？
解 :
选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系 。
第一阶段，钢球与 AC 发生完全弹性碰撞。
设 为铁箱碰撞前后速度，
为小球碰撞前后速度。

由完全弹性碰撞：

即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为 。
第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与 BD 相碰。
取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为
4.6.10 两车厢质量均为 M 。左边车厢与其地板上质量为 M 的货箱共同向右以 运动。另一车厢以 2 从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为 。求：
（ 1 ）货箱与地板间的摩擦系数 ；
（ 2 ）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。
解 :
（ 1 ）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，

第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系 ;

（ 2 ）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。
系统的动量： 系统总动量为零，质心不动。
( 常量 ) （ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
解（ 2 ）（ 3 ）式得：

4.7.1 质量为 m 的氘核的速率 u 与静止的质量为 2m 的 粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成 角散射。（ 1 ）求 粒子的运动方向，（ 2 ）用 u 表示 粒子的末速度，（ 3 ）百分之几的能量由氘核传给 粒子？
解 :
（ 1 ）由动量守恒：

即：
由 （完全弹性碰撞）
在 方向上有关系式：

（ 3 ）
（ 1 ）（ 2 ）式代入（ 3 ）式得：
•  由（ 1 ）式
•  动能比：
4.7.2 参考 3.8.7 题图。桑塔娜空车质量为 ，载质量为 70kg 一人，向北行驶。另一质量为 的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北 滑出 d=16m 而停止。路面摩擦系数为 。该地段规定车速不得超过 80km/ 。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？
解 :
碰后的共同速度

（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）

解得：

切诺基超速。
碰撞损失的动能：