北京市海淀区高三数学二模试题-理(含解析)北师大版.doc

2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）（2013•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（　　）

A．
（﹣∞，0]
B．
（﹣∞，1]
C．
[1，2]
D．
[1，+∞）

考点：
并集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．
解答：
解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，
所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．
故选B．
点评：
本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．

2．（5分）（2013•海淀区二模）已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（　　）

A．
3
B．
2
C．
3或﹣2
D．
3或﹣3

考点：
等比数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．
解答：
解：在等比数列{an}中，由a1•a3=4，a4=8，得
，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．
当q=2时，代入②得，a1=1．
当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．
所以a1+q的值为3或﹣3．
故选D．
点评：
本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．

3．（5分）（2013•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
几何概型．
专题：
概率与统计．
分析：
根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．
解答：
解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，
∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n
∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积
=×a2=．
故选C．
点评：
本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．

4．（5分）（2013•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．
180
B．
240
C．
276
D．
300

考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
解答：
解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，
四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；
下部是棱长为6的正方体，
所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，
即：5×6×6+4××4=240．
故选B．

点评：
本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．

5．（5分）（2013•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（　　）

A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件

C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
证明题．
分析：
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．
解答：
解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，
如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．
也就不得到四边形ABCD为平行四边形，
反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，
故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．
故选B．

点评：
本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．

6．（5分）（2013•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（　　）

A．
32
B．
36
C．
42
D．
48

考点：
排列、组合及简单计数问题．
专题：
计算题．
分析：
2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．
解答：
解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．
若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，
因此有2=12种情况，
同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况．
再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，
而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，
最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有2×2×=8种情况．
因此所有的排法总数为12+12+8=32种．
故选A
点评：
本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．

7．（5分）（2013•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

A．

B．
1
C．
1
D．
2

考点：
双曲线的简单性质．
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．
解答：
解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，
因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，
c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．
故选B．
点评：
本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

8．（5分）（2013•海淀区二模）若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（　　）

A．
若a3=4，则m可以取3个不同的值

B．
若，则数列{an}是周期为3的数列

C．
∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列

D．
∃m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列

考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用周期数列的定义，分别进行推理证明．
解答：
解：对于选项A，因为，
所以，
因为a3=4，所以a2=5或，
又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；
对于选项B，＞1，所以；所以，所以，
所以数列{an}是周期为3的数列，所以选项B正确；
对于选项C，当B可知当＞1时，数列{an}是周期为3的周期数列，所以C正确．
故错误的是D．
故选D．
点评：
本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）（2013•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为　2　．

考点：
点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．
专题：
直线与圆．
分析：
先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．
解答：
解：直线ρcosθ=2 即 x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，
故答案为 2．
点评：
本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．

10．（5分）（2013•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为　c＞b＞a　．

考点：
有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．
专题：
计算题．
分析：
利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断．
解答：
解：∵a=ln＜ln1=0，
0＜b=sin≈sin＜sin30°=，
c===＞，
∴c＞b＞a．
故答案为：c＞b＞a．
点评：
本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．

11．（5分）（2013•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为　　．

考点：
两条直线的交点坐标．
专题：
直线与圆．
分析：
用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．
解答：
解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=（x+2），
即 x﹣3y+2=0．
直线l2过的斜率等于 =﹣，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=﹣（x﹣2），
即 x+y﹣2=0．
由 ，解得 ，故直线l1与直线l2的交点坐标为 ，
故答案为 ．
点评：
本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．

12．（5分）（2013•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=　2　；S△ABC=　　．

考点：
正弦定理；三角形的面积公式．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
根据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．
解答：
解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，
∴由正弦定理，得b===2
∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°
∴S△ABC=absinC==
故答案为：2，
点评：
本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题．

13．（5分）（2013•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是　[0，1]　．

考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
平面向量及应用．
分析：
建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由 =1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．
解答：
解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．
∴=（0，1，0）、 （﹣1，﹣1，1）．
∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．
∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），
∴=1﹣λ∈[0，1]，
故答案为[0，1]．
点评：
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．

14．（5分）（2013•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．
（Ⅰ）给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
其中，所有正确结论的序号是　②③　；
（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为　　．

考点：
轨迹方程；命题的真假判断与应用．
分析：
根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
解答：
解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=
∴|xy|+x+y﹣1=0
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0
函数的图象如图所示
∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=
故答案为：②③；

点评：
本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

考点：
二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．
解答：
解：（I）∵sin（x﹣）≠0，
∴x﹣≠kπ，k∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；
（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），
又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，
令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，
解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，
又注意到x≠kπ+，
则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．
点评：
此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．

16．（13分）（2013•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．

考点：
离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．
专题：
概率与统计．
分析：
（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．
解答：
解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1﹣0.52=0.75…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）
故ξ的分布列为
ξ
5
0
﹣45
﹣145
P
50%
50%﹣2%﹣p
2%
p
…（8分）
所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p…（11分）
所以当1.6﹣145p＞0时，即…（12分）
所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）
点评：
本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．（14分）（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．

考点：
用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
专题：
综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：
（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，﹣3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，
所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
∴AC=4，∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分
∴HE∥PC…3分
同理可证EF∥PB，
又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
∴平面EFH∥平面PBC；…5分
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分
因为E（0，﹣1，），=（0，﹣1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），
∵=（，1，0），=（0，0，2），
∴，即，
令x=，则y=﹣3，
∴=（，﹣3，0）…8分
cos＜，＞===…10分
∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分
（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分
因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分
在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，
所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分

点评：
本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．

18．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数f（x）=ex，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
导数的综合应用．
分析：
（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；
解答：
解：（I） 因为，其中t≠a…（2分）
当a=0，，其中t≠0
当t＞0时，，，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）
当t＜0时，，，
令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增
令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减 …（7分）
综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）
（II）因为，其中t≠a
当a＞2，t∈[0，2]时，
因为∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）
当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，
所以当t=2时，S（t）取得最大值
令，解得 ，
所以a≥3…（10分）
当a﹣1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a﹣1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a﹣1，2）成立，S（t）单调递减，
所以当t=a﹣1时，S（t）取得最大值，
令，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
综上所述，ln2+2≤a…（13分）
点评：
本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．

19．（14分）（2013•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．
解答：
解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，
所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，
∵≤=，
∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，
所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，
当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；
又x1+x2=，=…8分
所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原点到直线的距离为d=，
|AB|=|x1﹣x2|=•，
所以S△AOB=|AB||d|=••，
化简得：S△AOB=…12分
∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．
综上，S△AOB取得最大值为…14分
点评：
本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．

20．（13分）（2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

1
2
3
﹣7
﹣2
1
0
1
表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
a
a2﹣1
﹣a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
a﹣2
a2
表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

考点：
切变变换．
专题：
计算题；图表型．
分析：
解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）
（II） 每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．
解答：
解：（I）
法1：
1
2
3
﹣7
﹣2
1
0
1
改变第4列得：
1
2
3
7
﹣2
1
0
﹣1
改变第2行得：
1
2
3
7
2
﹣1
0
1
法2：
1
2
3
﹣7
﹣2
1
0
1
改变第2行得：
1
2
3
7
2
﹣1
0
﹣1
改变第4列得：
1
2
3
7
2
﹣1
0
1
法3：
1
2
3
﹣7
﹣2
1
0
1
改变第1列得：
﹣1
2
3
7
2
1
0
﹣1
改变第4列得：
﹣1
2
3
7
2
1
0
﹣1
（写出一种即可） …（3分）（II） 每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；
①如果操作第三列，则

a
a2﹣1
a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
﹣a+2
a2
则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，
，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行
﹣a
﹣a2+1
a
a2
2﹣a
1﹣a2
a﹣2
a2
则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2
解得a=1 …（9分）
综上a=1 …（10分）
（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）
点评：
本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．

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