第一讲 证明二之三角形.doc

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第一讲 证明二之三角形
1．你能证明它们吗
【知识提要】
1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。
2、 等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
3、 等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

【典型例题】
例1 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.

例2： 如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,
求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。

例3 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，
（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？（8分）

例4 如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例5 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2．直角三角形
【知识提要】
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

【典型例题】
例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
例2：如图，中，，求的长。

例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．

【课堂训练】
1. 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，则∠BAC的度数是_____________。
ZM—03
ZM—04
2. 已知：如图Z—03所示，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F。求证：AD=AF。

3. 已知：如图Z—04，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，求证：AB=2BC。
变形题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
已知：
求证：

4. 如图Z—05所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C。求证：AB+BD=AC。
ZM—05

ZM—06
ZM—07
5. 如图Z—06，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=30°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证：△AEF是等边三角形。

6. 折叠矩形纸ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图Z—07，若AB=2，BC=1，求AG的长。

【课后作业】
1. △ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
2. 三角形三边长分别为6，8，10，那么它的最短边上的高为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3. 两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（ ）
①若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等；
② 若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
③ 若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
④ 两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等。其中正确的命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知直角三角形一锐角是30，斜边长是1，那么这个三角形的周长是（ ）
A. B. 3 C. D.
5. 已知直角三角形两直角边之和是，斜边长为2，则这个三角形的面积等于（ ）
A. B. 1 C. D.
6. 一个等腰三角形的顶角是150°，面积是4cm，则它的腰长是_____________cm。
7. 等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm，那么这个三角形的周长是________cm。
8. 等腰△ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角B的大小是____________。
9. “正方形是矩形”，它的逆命题是________________________。
10. 等腰三角形底边长6cm，腰为5，则它的面积为______________。
11. 命题“一个三角形中至少有一个角大于60°”，用反证法证时，应假设“_______________________________”。
12. 已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为________。

ZM—08
ZM—10
ZM—09
13. 如图ZM—08，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。(1) 求证：AD=CE；(2) 求∠DFC的度数。

14. 如图ZM—09，∠AOB是一钢梁，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？

15. 已知如图 ZM—10，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论。

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