第11部分向量.doc

P
B
A
C
第13题图

（2012年兴化）如图，是直线上三点，是直线外一点，
若，,，
则＝ ▲ .（用表示）

答案：
说明：本题有如下几种常见思路：
思路1：以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，则根据可以求出两点坐标（用表示）
思路2：如图，设点C在直线AP上的射影为D，则
为等腰直角三角形，PB为的中位线，
则，再在三角形中用余弦定理即可求出；
或根据，再在用勾股定理求出，进而求出。
本题也可作如下图的辅助线解决（关键是要充分利用好中点条件和特殊角构造直角三角形）：

（苏锡常二模）已知点在所在平面内，若，则与的面积的比值为 .
答案：

（盐城二模）已知向量的模为2, 向量为单位向量, 若, 则向量
与的夹角大小为 ▲ .
答案：

（南通一模）在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 ▲ .
答案：0

法一 由a得，即，所以；
法二 由a = (1，2)，(3，1)得b = (，2)，所以.

（苏州期末）在等边三角形ABC中,点在线段上，满足，若，则实数的值是___________．
答案：

（天一）9.在中，已知，，则＝ ▲ .
答案：4

（南京三模）6.已知正△ABC的边长为1，, 则= ▲ ．
答案: -2

（江苏百校联考）11．在中，边上的中线，若动点P满足，则的最小值是 ▲ ．
【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．
【答案】
解答如下：
因为且，所以点P在线段上，故，设，则，当时取最小值

（南师大信息卷）已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足，则的最小值为 3 .
提示：由已知得，
且，即，且，
所以.

(南通三模)已知单位向量、的夹角为，那么的最小值是 ▲ .
解析：考查向量模的运算。常用这一特性；
，
答案：

（无锡期末）设点是的三边中垂线的交点，且，则的范围是 ．
解析：本题考查向量的运算，二次函数在给定区间上的值域。
取BC的中点D，
则，
又由已知知：，得，且，
∴，即的范围是。
（说明，消元时必须考虑相关参数的取值范围，否则易错为，前功尽弃）

（南京市2012届高三3月第二次模拟考试）在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是______________
【答案】
解法一：问题可转化为已知的面积为1，求的最小值。
设中点所对的边分别为，
由题设知，
∴
从而进一步转化为的最小值。（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）
解法二：建立坐标系，立即得目标函数。
由题设知，的面积为1，以B为原点，BC所在直线为轴，过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，
则
∴，
当且仅当时取等号，∴的最小值是。

（南京二模）设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角
（1）若a·b=,求sinθ+cosθ的值；
（2）若a//b,求sin(2θ+)的值．

解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝． ……………… 2分
所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝．
又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． ……………… 5分
（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2．　　　 ……………… 7分
所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－．……………… 11分
所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ
＝×＋×(－ )＝． ……………… 14分

（江苏最后1卷）已知△中，∠A，∠B，∠C的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
20070316
（2）设向量，，求当取最大值时，的值．
解：（1）由题意，
所以.
因为，所以.
所以.因为，所以.
（2）因为
所以
所以当时，取最大值
此时（），于是 ，所以
（2012年常州期末）已知、,向量。（1）当时，若，求的取值范围；（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围。

18.（2012年兴化

B

）如图，点是单位圆在第一象限上的任意一点，点 ,点,与轴于点,与轴交于点,设,,．
（1）求点、点的坐标，（用表示）；
（2）求的取值范围．
解：（1）因为与轴交与于点，可设
由、、三点共线，设, ①
又，，所以，，代入①，有，
因为点是单位圆在第一象限上的任意一点，所以且，
所以，此时, …………………………4分
同理． …………………………7分
说明:可以用直线方程或比例等其他方法求解
（2）由（1）知，
，
， ………………9分
代入，得：
，整理得 ②
， 整理得 ③
②+③，解得：
，……12分
由，知，
所以，
即，故的取值范围为． ………………15分