带电粒子在磁场中的运动专题.doc

19.如图所示，直角三角形OAC（α = 30˚）区域内有B = 0.5T的匀强磁场，方向如图所示。两平行极板M、N接在电压为U的直流电源上，左板为高电势。一带正电的粒子从靠近M板由静止开始加速，从N板的小孔射出电场后，垂直OA的方向从P点进入磁场中。带电粒子的荷质比为 ，OP间距离为l＝o.3m。全过程不计粒子所受的重力，求：

（1）要使粒子从OA边离开磁场，加速电压U需满足什么条件?
（2）粒子分别从OA、OC边离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间。
19.（1）如图所示，

当带电粒子的轨迹与OC边相切时为临界状态，则有：

解得：R=0.1m
当时，粒子从OA边射出。
电加速
磁场中
解得：U≤125V
（2）带电粒子在磁场做圆周运动的周期为

当粒子从OA边射出时，粒子在磁场中恰好运动了半个周期

当粒子从OC边射出时，粒子在磁场中运动的时间小于周期

20.如图所示，水平放置的两块长直平行金属板a、b相距d=0.10m，a、b间的电场强度为E=5.0×105N/C，b板下方整个空间存在着磁感应强度大小为B=6.0T、方向垂直纸面向里的匀强磁场.今有一质量为m=4.8×10-25kg、电荷量为q=1.6×10-18C的带正电的粒子(不计重力)，从贴近a板的左端以v0 =1.0×106m/s的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝P处穿过b板而垂直进入匀强磁场，最后粒子回到b板的Q处(图中未画出).求：
θ
B
v0
v
P
a
b
d

（1）粒子从狭缝P处穿过b板进入匀强磁场的速度大小和方向θ．
（2）P、Q之间的距离L．

20.（1）粒子从a板左端运动到P处，由动能定理得
--------------------(2分)
代入有关数据，解得---------------(1分)
，代入数据得θ=300 --------------------- (2分)
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为r，如图，由几何关系得
--------------------- (1分)，又-------------------(1分)
联立求得--------------(1分) 代入数据解得L=5.8cm。--------------(2分)
θ
B
v0
v
P
a
b
d
v
O
Q

【例2】如图3所示，abcd为绝缘挡板围成的正方形区域，其边长为L，在这个区域内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．正、负电子分别从ab挡板中点K，沿垂直挡板ab方向射入场中，其质量为m，电量为e．若从d、P两点都有粒子射出，则正、负电子的入射速度分别为多少？（其中bP=L/4）

（1）分析：若为正电子，则初态洛伦兹力方向为竖直向上，该正电子将向上偏转且由d点射出．Kd线段为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛伦兹力方向延长线交点必为圆心，设该点为O1．其轨迹为小于1/4的圆弧．
解：如图4所示，设圆运动半径为R1，则O1K=O1d=R1
由几何知识可知：

 （2）解：若为负电子，初态洛伦兹力方向竖直向下，该电子将向下偏转由P点射出，KP为圆轨迹上的一条弦，其中垂线与洛伦兹力方向的交点必为圆心，设该点为O2，其轨迹为大于1/4圆弧．（如图4所示）
由几何知识可知：

图9
9．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成30°角
的速度v0从y轴上的a点射入图9中第一象限所在区域．为了使该带
电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的
地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场
分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．
9.π()2

10．如图10甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：

图10
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
10．(1)　(2)(n＝1,2,3…)

图11
11．如图11所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子．已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够
长，粒子重力不计，求：
(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；
(2)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．
11．(1)<v0≤　(2)

如图11-2-13所示，真空中有直角坐标系，P是坐标系中的一个点，坐标为(a,-b).有一质量为m电荷量为+q的质点A从原点O沿y轴正方向以速度v0射出，不计重力的影响.

1)若在x≥0和y≥0的区域内加一个垂直于坐标系平面的匀强磁场，使质点A能通过P点.试求出磁感应强度B的大小和方向以及质点A从坐标系原点O运动到P点的时间t.
(2)若在x轴上固定一个带负电的点电荷C，使质点A能通过P点，求点电荷C与坐标系原点O的距离和点电荷C所带电荷量的大小，已知静电力常量为k.
此题主要考查静电力及洛伦兹力.
(1)磁场方向垂直纸面向外.A在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力
得
A在磁场中做匀速圆
周运动的周期
A从O运动到P的时间
得

(2)如图(b)所示，画出质点A的运动轨迹.设点电荷C到坐标系原点O的距离为R，带电荷量为Q.由几何关系可得
(a-R)2+b2=R2

库仑力提供向心力

一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图11-2-14所示.磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里.

(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.
(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是

(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为r，则根据牛顿第二定律可得：

如图所示，回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r
所以
(2)当离子到位置P时，
圆心角：
因为α=2θ，所以

例2、匀强磁场B垂直纸面向里分布在宽为a、长为3a的长方形BCC′B′区域内。从CC′的中点O处不断地以V0沿y轴正向打入正电粒子。试确定当V0从零逐渐变大时，粒子出场的区域。
B
C
O
C´
B´
y
x
V0
·
A

B
C
O
C´
B´
y
x
V0
·
A
a
1.5a
√3a/2

a
a/
b/
b
S·
P
·
1-3、宽度d=8cm的匀强磁场，长度aaˊ、bbˊ足够长，强度B=0.332T，方向垂直纸面向里。在边界aaˊ上有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率相同的α粒子。其质量m=6.64×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，速率v0=3.2×106m/s。
①画出从S向各个方向射出的α粒子
通过磁场空间做圆周运动时圆心的轨迹
②画出α粒子从靠近b/端出射时离bb/
中心P最远点M的位置
③画出α粒子从靠近b端出射时离bb/
中心最远点N的位置
④求算MN的长度
⑤如果磁场宽度d是可以变化的，求
MN长度的最大值
a
a/
b/
b
S·
P
·
M
O1
N
O2
N远
M远
.
.
3、（1）以S为圆心，半径R=20cm的圆
（2）PM=16cm （3）PN=16cm
（4）MN=32cm （5）MN最大=40cm

ａ　　　　　　　　ｂ
·
Ｓ
1--2、如图所示的匀强磁场垂直纸面向里，强度B=0.60T，场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab的距离L=16cm处有一点状的α粒子放射源S，它可向各个方向发射速率v=3.0×106m/s的α粒子,又知α粒子的q/m=5.0×107C/kg。若只考虑在纸面中运动的α粒
子，试求ab上被α粒
子打中的区域的长度。

ａ ｂ
·
Ｓ
2、8+12 = 20cm

《磁场区域的确定及位置变化》---
a
b
y
x
o
v
2--1、一带电质点，质量为m、电量为q，以垂直于y轴的速度v从y轴上的a点射入第一象限的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面的匀强磁场B。若该磁场分布在一个
圆形区域内，试确定这圆形区域
的最小半径。（重力不计）
a
b
y
x
o
v
r=√2R/2
R=mv/qB
r=√2 mv /2 qB

答案2--1、

（三）带电粒子在交变磁场中的运动
8π
×10-4S
3
在某一真空空间内建立XOY坐标系，从原点O处向第一象限发射一比荷q/m=1×104c/kg的正电粒子，速度大小V0=1×103m/s、方向与X轴成300角，如图甲所示。若在Y轴右侧加有图乙所示的匀强磁场，磁场方向垂直XOY平面，粒子始终在XOY平面内运动.若在
时刻撤去磁场，试讨论粒子能否经过
X轴？若不能，说明理由；若能，求出坐标值。
B/T
t/×10-4S
向里
向外
O
-1
1
2π
3
4π
3
Y
O
X
V0
300

Y
O
X
V0
.

♥一带电粒子m、+q，以V0从坐标原点O沿Y轴向+Y方向进入一个边界为圆形、强度为B、方向向外的匀强磁场中，磁场边界半径为r。粒子运行的轨道半径比r大。
1）改变磁场位置，可以改变粒子在磁场中的偏转角度。则粒子的最大偏转角多大？
O
·
V0
X
Y
2）要使粒子出场后能达到X轴上，r的取值为多少？

2arcsinqBr/mV0
mV0/√2qB＜r＜mV0/qB

O
X
Y
♥在XOY平面内有许多电子（m、e）从坐标原点不断地以相同大小的速率V0沿不同的方向射入第一象限。现加上一个垂直于XOY平面的磁感应强度为B的匀强磁场，使这些电子穿过磁场后都能平行于X轴且向X轴正方向运动。试求出符合该条件的磁场的最小面积。

（π-2）R2/2
（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
x
y
B2
B1
O
v
解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有
r1＝……① r2＝……②
分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离
d＝2（r2－r1）……③
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。
设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足 nd＝2r1 ④
则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为回旋次数。 由③④式解得　⑤由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件
　　　n＝1，2，3，……⑥

3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字。

（07全国1）、两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y轴，交点 O 为原点，如图所示。在 y > 0，0 < x < a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y > 0，x > a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电量为 q（q >0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0 < x < a 的区域中运动的时间与在 x > a 的区域中运动的时间之比为 2:5，在磁场中运动的总时间为 7T/12，其中 T为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
解：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为 ： ①
速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。
轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。
设t1为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t2为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知
由此解得：……② …… ③
由②③式和对称性可得 ⑤
…… ⑥ 所以 …… ⑦
即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得 ⑧
由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
⑨
4、带电粒子在有界磁场中的极值问题
寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。
解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向
第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。

6、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。
在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？
带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知
其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出
。
粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为： ，将前面B代入T后与共同代入前式得。

一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，大小为v0的带正电粒子，如图9-3-8所示，已知粒子电荷量为q，质量为m(重力不计).

1)若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件?
(2)若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一条边界处射出，出射点位于该边界上何处?最长时间是多少?
(1)若粒子速度为v0，
则 ，
所以有R= ，如下图所示.

设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1＋R1sinθ= 　，
将R1=　　 代入上式可得，v01=

类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2-R2sinθ=　，

将R2=　　　 代入上式可得，v02=　

所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足
　 　＜v0≤　　　

(2)由 　　　　及　　　　　可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长.由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对圆心角为(2π-2θ)，所以最长时间为
t