带电粒子在磁场中的运动.doc

1．(2013·烟台模拟)如图1所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距为d，其右侧有一边长为2a的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板M、N之间加上电压U后，M板电势高于N板电势。现有一带正电的粒子，质量为m，电荷量为q，其重力和初速度均忽略不计，粒子从极板M的中央小孔s1处射入电容器，穿过小孔s2后从距三角形A点a的P处垂直AB方向进入磁场，试求：

图1
(1)粒子到达小孔s2时的速度和从小孔s1运动到s2所用的时间；
(2)若粒子从P点进入磁场后经时间t从AP间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强度的大小；
(3)若粒子能从AC间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件。
解析：(1)粒子在电场中运动时：qU＝mv2
d＝vt
解得：v＝
t＝d
(2)粒子从进入磁场到从AP间离开：qvB＝
t＝ 甲
由以上两式解得：R＝
B＝
(3)粒子从进入磁场到从BC边离开，如图甲所示，做圆周运动的半径为
乙
R1＝a
qvB1＝
联立解得B1＝
粒子进入磁场从AC边离开，由图乙可知
R2＝(a－R2)sin 60°
qvB2＝
联立解得B2＝
所以≤B≤
答案：(1)　d　(2)　
(3)≤B≤
2．(2013·济南模拟)如图2甲所示，带有小孔的平行极板A、B间存在匀强电场，电场强度为E0，极板间距离为L。其右侧有与A、B垂直的平行极板C、D，极板长度为L，C、D板加不变的电压。C、D板的右侧存在宽度为2L的有界匀强磁场，磁场边界与A、B板平行。现有一质量为m，带电量为e的电子(重力不计)，从A板处由静止释放，经电场加速后通过B板的小孔飞出；经C、D板间的电场偏转后恰能从磁场的左侧边界M点进入磁场区域，速度方向与边界夹角为60°，此时磁场开始周期性变化，如图乙所示(磁场从t＝0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为正方向)，电子运动一段不少于的时间后从右侧边界上的N点飞出，飞出时速度方向与边界夹角为60°，M、N连线与磁场边界垂直。求：
(1)电子在A、B间的运动时间；
(2)C、D间匀强电场的电场强度；
(3)写出磁感应强度B0、变化周期T的大小各应满足的表达式。

图2
解析：(1)电子在A、B间直线加速，加速度a＝
电子在A、B间的运动时间为t则L＝at2
所以t＝
(2)设电子从B板的小孔飞出时的速度为v0，则电子从平行极板C、D间射出时沿电场方向的速度为vy＝v0tan 30°
又vy＝
所以C、D间匀强电场的电场强度E＝E0
(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°(如图所示)，在磁场变化的半个周期内，粒子在MN方向上的位移等于R，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
＝n·R＝2L
电子在磁场做圆周运动的轨道半径R＝
电子进入磁场时的速度v＝＝v0
得B0＝n (n＝1,2,3……)
电子在磁场中做圆周运动的周期T0＝
磁场变化周期T与T0间应满足的关系是＝
得T＝ (n＝1,2,3……)
答案：(1) 　(2)E0　(3)B0＝n (n＝1,2,3……)　T＝ (n＝1,2,3……)
3．(2013·保定模拟)如图3所示，在x≥0的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进入匀强磁场区域。有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图所示，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为(d,2d)，N点的坐标为(d，d)。不计正离子的重力。
(1)加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上；
(2)求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图3
解析：(1)设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：
qU＝mv2
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB＝m
R＝
当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为Rmin，如图甲所示。
根据几何知识可以判断：Rmin＝d
故Umin＝
当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图乙所示。
根据几何知识可以判断：Rmax2＝d2＋(2d－Rmax)2
解得：Rmax＝d
故Umax＝
故离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：≤U≤

(2)设离子在磁场中做匀速圆周运动周期为T，根据圆周运动规律得：
T＝与qvB＝m联立得：T＝
即离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关。
离子在图甲所示的轨迹中运动时间最短：
tmin＝T
离子在图乙所示的轨迹中运动时间最长：
tmax＝ T
根据几何知识：cos θ＝＝
则：θ＝37°
所以＝
答案：(1)≤U≤　(2)
4．(2013·惠州模拟)如图4甲所示，建立Oxy坐标系。两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l。在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)。已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压U0的大小。
(2)求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场做圆周运动的半径。
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

图4
解析：(1)t＝0时刻进入两板间的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l，则有
E＝ ①
qE＝ma ②
l＝at02 ③
联立①②③式，解得两板间偏转电压为
U0＝ ④
(2)t0时刻进入两板间的带电粒子，前t0时间在电场中偏转，后t0时间两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为
v0＝ ⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为
vy＝a·t0 ⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为
v＝ ⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有qvB＝m⑧
联立③⑤⑥⑦⑧式解得
R＝ ⑨
(3)2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为
vy′＝at0 ⑩
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则
tan α＝ ⑪
联立③⑤⑩⑪式解得
α＝
带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，圆弧所对的圆心角2α＝，所求最短时间为tmin＝T ⑬
带电粒子在磁场中运动的周期为
T＝ ⑭
联立⑬⑭式得
tmin＝ ⑮
答案：(1)　(2)　(3)2t0　

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