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三元之中定主元解答竞赛题
安义人　
初中数学竞赛中，有时会遇到一类与三个未知量有关的应用题.由于题设条件的限制，只能得到两个相关的一次方程构成的三元一次方程组．直接解答，难度较大.此时，应把三元中的任意两个选作主元，剩下的一个当作已知数，将得到的三元一次方程组转化为关于主元的二元一次方程组.这样进行，能取到意想不到的效果.现举例如下：
一、文具问题
例1（五羊杯初二数学竞赛题）已知买20支圆珠笔、3本作业本、2支铅笔共用了32元，买39支圆珠笔、5本作业本、3支铅笔共用了58元，则买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要______元．
（A）20 （B）25 （C）30 （D）35
解析：设圆珠笔、作业本、铅笔的单价分别为元、元、元，那么买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要（5＋5＋5）元．
因为买20支圆珠笔、3本作业本、2支铅笔共用了32元，买39支圆珠笔、5本作业本、3支铅笔共用了58元，
所以
以、为主元、将看成已知数，
所以
解之，＝20－18，＝－14＋17．
这时，5＋5＋5＝5＋5（20－18）＋5（－14＋17）＝30．
所以买5支圆珠笔、5本作业本、5支铅笔需要30元．
二、考题问题
例2（聪明杯初二数学竞赛题）在一次解题比赛中，小聪、小明、小杯三人共解出了100道数学题，每人都解出了其中的60道题．将其中只有一人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多几道题？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析：设难题有道，容易题有道，中档题有道，要确定难题多还是容易题多，关键在于确定与的大小．
因为小聪、小明、小杯三人共解出了100道数学题，每人都解出了其中的60道题，
所以
以、为主元、将看成已知数，
所以
解之，＝60－，＝40－.
这时，－＝＝20.
所以难题多，比容易题多20道.
三、抽水问题
例3（全国初中数学联赛题）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用2台抽水机抽水，40分钟恰可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟恰可抽完．如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机______台．
解析：设开始抽水前管涌出的水量为立方米，每分钟管涌出的水量为立方米，每台抽水机每分钟可抽水立方米，那么要在10分钟抽完水，至少需要抽水机台．
因为用2台抽水机抽水，40分钟恰可抽完；用4台抽水机抽水，16分钟恰可抽完，
所以
以、为主元、将看成已知数，
所以
解之，＝，＝．
这时，＝（＋）÷10＝6．
所以如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机6台．
四、奖品问题
例4（黄冈市初中数学竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品.若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器和《数学竞赛讲座》书，可各买多少？
解析：设1台NS计算器的价钱为元，1本《数学竞赛讲座》书的价钱为元，这笔钱为元，那么这笔钱全部用来购买计算器可买台，全部用来购买《数学竞赛讲座》书可买本.
因为若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品，
所以
以、为主元、将看成已知数，

解之，＝，＝.
这时，＝160，＝800.
所以这笔钱全部用来购买计算器可买160台，全部用来购买《数学竞赛讲座》书可买800本.
五、吃草问题
例5（希望杯初二数学竞赛题）一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完.那么若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛．
（A）16 （B）18 （C）20 （D）22
解析：设这片牧场原有草量为，每天长出的草量为，每头牛平均每天吃的草量为，那么若在120天里将草吃完，需要牛的数量为头．
因为60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，
所以
以、为主元、将看成已知数，
所以
解之，＝1200，＝10．
这时，＝＝20．
所以若在120天里将草吃完，则需要20头牛.
六、电池问题
例6（江苏省初中数学竞赛题）有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可购买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只．如果将这笔钱全部用来购买C型的电池，则能买______只.
解析：设A型电池1只价钱为元，B型电池1只价钱为元，C型电池1只元，那么将这笔钱全部用来购买C型的电池，能买只.
因为这笔钱可购买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只，
所以
以、为主元，将看成已知数，
所以
解之，＝2，＝．
这时，＝＝48．
所以将这笔钱全部用来购买C型的电池，能买48只.

本文2013年5月发表于数理天地（初中版）第5期