第八章复习-圆锥曲线方程综合复习.doc

第八章复习 圆锥曲线方程综合复习【知识总结】1知识网络2知识纲要(1)椭圆的定义、标准方程、几何性质、参数方程(2)双曲线的定义、标准方程、几何性质(3)抛物线的定义、标准方程、几何性质(4)圆锥曲线的应用【方法总结】1坐标法是解析几何的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题2待定系数法是求椭圆、双曲线、抛物线方程的一个基本方法利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题也是常用的方法3直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法4一些最值问题常用函数思想，运用韦达定理求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法5在求一些没有坐标系的动点的轨迹方程时，应建立适当的坐标系利用平移公式把非标准位置的圆锥曲线转化成标准位置的圆锥曲线由标准位置的圆锥曲线的性质，容易求出非标准位置的圆锥曲线的性质【典例剖析】例1 已知0，)，试讨论当的值变化时，方程x2siny2cos1表示曲线的形状解：(1)当0时，方程为y21，即y1，表示两条平行于x轴的直线(2)当(0，)时，cossin0，方程可化为1，表示焦点在x轴上的椭圆(3)当时，方程为x2y2，表示圆心在原点，半径为的圆(4)当()时，sincos0，方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆(5)当时，方程化为x21，表示两条平行于y轴的直线(6)当(，)时，sin0，cos0，方程x2siny2cos1表示焦点在x轴上的双曲线点评：方程x2siny2cos1表示的曲线的类型由sin和cos的值确定，sin和cos的值又由的值确定在不同范围内取值时，方程x2siny2cos1表示的曲线的类型不同因此解答本例的关键之处在于对的分类讨论例2 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两点相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程解：(1)由声速及A、B两点听到爆炸声的时间差，可知A、B两点与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上(2)以线段AB的垂直平分线为y轴、直线AB为x轴建立如图812所示的直角坐标系设爆炸点P的坐标为(x，y)则PAPB34026802aPAPB680，a3402cAB800c400b2c2a244400点P所在的曲线方程为1(x0)点评：由爆炸点到A、B两点的距离差是常数，知爆炸点在以A、B为焦点的双曲线上因此求爆炸点所在曲线的方程就是求双曲线的方程例3 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A点关于直线yx对称，求双曲线C的方程解：设双曲线C过第、象限的渐近线方程为ykx，即kxy0该直线与圆x2(y)21相切，1，k1，双曲线C的两条渐近线方程为yx故双曲线C的方程为x2y2a2C的一个焦点与A点关于直线yx对称，双曲线C的一个焦点为(，0)2a22，a21双曲线C的方程为x2y21点评：由双曲线的焦点在x轴两条渐近线过坐标原点知，双曲线的方程是焦点在x轴上的标准方程求标准方程就是求a2、b2例4 过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：AB2NF证明：设抛物线方程为y22px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)则y122px1，y222px2两式相减并整理得（）M是AB的中点，MNAB，kMN直线MN的方程为yy0 (xx0)，令y0得N点的横坐标xNx0p又ABAFBFx1x2p2(x0)AB2NF点评：当A、B两点都在曲线上时，求直线AB的斜率，可把A、B两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减例5 已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程解：椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，椭圆的方程为标准方程c，a2b250椭圆的方程可写成1把直线y3x2代入椭圆的方程并整理得10(b25)x212b2xb446b20，x1x2，弦的中点的横坐标为1，b225a275所求椭圆的方程为1点评：解决直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，经常用到韦达定理例6 如图814，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，AM，AN3，且BN6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程解法一：以l1为x轴，MN的中点O为原点建立如图的平面坐标系由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，l2是准线所以可令抛物线的方程为y22px(p0)过点A作AQl2，AEl1，垂足分别为Q和E，由于AMN是锐角三角形，则点E必在线段MN上所以，AQAN3，AM，QM，AEQM2，EN1pMNMEENAQEN4抛物线方程为y28x由上述可知OE1，点B到准线l2的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在x轴上方，故曲线段C的方程为y28x(1x4，y0)解法二：以l1为x轴，l2为y轴建立如图815的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在x轴上，顶点O应是线段MN的中点令曲线段C所在的抛物线方程为：y22p(xxo)(p0)设A，B，则由得y128，代入得()29，8p26pp3，p4y10，y12，代入得y24曲线段C的方程为y28(x2)(2y4)点评：该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C是一段抛物线弦因此，入手不难关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单此例还应注意方程中x或y的取值范围【综合训练】1是任意实数，则方程x2y2sin4的曲线不可能是( )A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析：当sin1，0)时，方程x2y2sin4的曲线是双曲线；sin0时，方程的曲线是两条平行直线；sin(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sin1时，方程的曲线是圆答案：C2已知椭圆1的一条准线方程为y8，则实数t的值为( )A7或7B4或12C1或15D0解析：由题设yt7，yt78，t1或15答案：C3双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是( )A(，0)B(12，0)C(3，0)D(60，12)解析：a24，b2k，c24ke(1，2)，(1，4)，k(12，0)答案：B4以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A1B1C1D 1解析：双曲线1的焦点坐标为(0，4)，顶点坐标为(0，)椭圆的顶点坐标为(0，4)，焦点坐标为(0，)在椭圆中a4，c，b24椭圆的方程为1答案：D5过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于( )A2aBC4aD解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP，xQ，4a答案：C6过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于( )A4B4Cp2D以上都有可能解析：由已知ABx1x2，(x1x2)2(y1y2)2(x1x2p)2，整理得4x1x22y1y2p20，又2px1y12，2px2y22，4x1x2，2y1y2p20，y1y2p2，x1x2，4答案：B7抛物线yx2到直线 2xy4距离最近的点的坐标是( )AB(1，1)CD(2，4)解析：设P(x，y)为抛物线yx2上任一点，则P到直线的距离d，x1时，d取最小值，此时P(1，1)答案：B8与1(ab0)的渐近线( )A重合B不重合，但关于x轴对称C不重合，但关于y轴对称D不重合，但关于直线yx对称解析：双曲线的渐近线方程为y1的渐近线方程yx、yx与yx关于直线yx对称，yx与yx关于直线yx对称答案：D9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点( )A(4，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)解析：直线x20为抛物线y28x的准线，由于动圆恒与直线x20相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0)答案：B10设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是( )AB1CD解析：设P(x0，y0)，则3x03cosF1PF2当x00时，cosF1PF2最小，最小值为答案：A11已知点A(0，1)是椭圆x24y24上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_解析：点P在椭圆上，设点P的坐标为(2cos，sin)，则AP当sin时，AP最大，此时P的坐标为()答案：()12已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90，则双曲线的离心率是_解析：由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2即，e22e10，e1或e1(舍)答案：113已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则抛物线的方程为_解析：圆的方程可化为(x3)2y216，抛物线的准线为x，由题设可知34，p2抛物线的方程为y24x答案：y24x14点P(8，1)平分双曲线x24y24的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x124y124，x224y224，两式相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0AB的中点为P(8，1)，x1x216，y1y22，2直线AB的方程为y12(x8)，即2xy150答案：2xy15015P为椭圆1(ab0)上一点，F1为它的一个焦点，求证：以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切证明：设PF1的中点为M，则两圆圆心之间的距离为OMPF2 (2aPF1)aPF1即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，两圆内切即以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切16已知双曲线的一个焦点为(1，1)，相应准线是xy10，且双曲线过点(，0)求双曲线的方程解：设P(x，y)为双曲线上的任意一点，则，化简整理，得2xy4x4y10即所求双曲线方程为2xy4x4y1017人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R求卫星运行轨道的短轴长解：由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a，2a(pR)(qR)，短轴长为218抛物线y22px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N求证：(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；(2)FNAB(F为抛物线的焦点)证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、中点M(x0，y0)，焦点F的坐标是(，0)由得ky22pykp20（k0）A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，C(，y1)、D(，y2)、N(，y0)，由ky22pykp20得y1y2p2，当k不存在，即AB所在直线垂直于x轴时，仍然成立kOAkOD，A、O、D三点共线同理可证B、O、C三点共线(2)kFN，当x1x2时，显然FNAB；当x1x2时，kAB，kFNkAB1FNAB综上所述知FNAB成立19已知双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为yx，问是否存在点P，使d、PF1、PF2成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由解：假设存在点P(x0，y0)满足题中条件双曲线的一条渐近线为yx，b23a2，c2a23a2， 2即e2由2得，PF22PF1 双曲线的两准线方程为x，PF12x022x0a，PF22x022x0a点P在双曲线的左支上，PF1(aex0)，PF2aex0，代入得：aex02(aex0)，x0a，代入1，得y0a存在点P使d、PF1、PF2成等比数列，点P的坐标是(a，a)