第八章复习-圆锥曲线方程综合复习.doc

第八章复习 圆锥曲线方程综合复习

【知识总结】
1．知识网络

2．知识纲要
(1)椭圆的定义、标准方程、几何性质、参数方程．
(2)双曲线的定义、标准方程、几何性质．
(3)抛物线的定义、标准方程、几何性质．
(4)圆锥曲线的应用．

【方法总结】
1．坐标法是解析几何的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
2．待定系数法是求椭圆、双曲线、抛物线方程的一个基本方法．利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题也是常用的方法．
3．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想．数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法．
4．一些最值问题常用函数思想，运用韦达定理求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
5．在求一些没有坐标系的动点的轨迹方程时，应建立适当的坐标系．利用平移公式把非标准位置的圆锥曲线转化成标准位置的圆锥曲线．由标准位置的圆锥曲线的性质，容易求出非标准位置的圆锥曲线的性质．

【典例剖析】
［例1］ 已知α∈［0，π)，试讨论当α的值变化时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示曲线的形状．
解：(1)当α＝0时，方程为y2＝1，即y＝±1，表示两条平行于x轴的直线．
(2)当α∈(0，)时，cosα＞sinα＞0，方程可化为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝时，方程为x2＋y2＝，表示圆心在原点，半径为的圆．
(4)当α∈()时，sinα＞cosα＞0，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
(5)当α＝时，方程化为x2＝1，表示两条平行于y轴的直线．
(6)当α∈(，π)时，sinα＞0，cosα＜0，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在x轴上的双曲线．
点评：方程x2sinα＋y2cosα＝1表示的曲线的类型由sinα和cosα的值确定，sinα和cosα的值又由α的值确定．α在不同范围内取值时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示的曲线的类型不同．因此解答本例的关键之处在于对α的分类讨论．
［例2］ 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s．
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两点相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程．
解：(1)由声速及A、B两点听到爆炸声的时间差，可知A、B两点与爆炸点的距离差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
(2)以线段AB的垂直平分线为y轴、直线AB为x轴建立如图8—12所示的直角坐标系．设爆炸点P的坐标为(x，y)．

则｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680．
∴2a＝｜PA｜－｜PB｜＝680，a＝340．
2c＝｜AB｜＝800．c＝400．
∴b2＝c2－a2＝44400．
∴点P所在的曲线方程为＝1(x＞0)．
点评：由爆炸点到A、B两点的距离差是常数，知爆炸点在以A、B为焦点的双曲线上．因此求爆炸点所在曲线的方程就是求双曲线的方程．
［例3］ 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A点关于直线y＝x对称，求双曲线C的方程．
解：设双曲线C过第Ⅰ、Ⅲ象限的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0．
∵该直线与圆x2＋(y－)2＝1相切，
∴＝1，∴k＝1，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x．
故双曲线C的方程为x2－y2＝a2．
∵C的一个焦点与A点关于直线y＝x对称，
∴双曲线C的一个焦点为(，0)．
∴2a2＝2，a2＝1．
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1．
点评：由双曲线的焦点在x轴两条渐近线过坐标原点知，双曲线的方程是焦点在x轴上的标准方程．求标准方程就是求a2、b2．
［例4］ 过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：｜AB｜＝2｜NF｜．

证明：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．则y12＝2px1，y22＝2px2．
两式相减并整理得．（∵）
∵M是AB的中点，
∴．
∵MN⊥AB，∴kMN＝－．
∴直线MN的方程为y－y0＝－ (x－x0)，
令y＝0得N点的横坐标xN＝x0＋p．
∴．
又｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)．
∴｜AB｜＝2｜NF｜．
点评：当A、B两点都在曲线上时，求直线AB的斜率，可把A、B两点的坐标代入曲线的方程并把得到的两式相减．
［例5］ 已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．
解：∵椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为标准方程．
∵c＝，∴a2＝b2＋50．
∴椭圆的方程可写成＝1．
把直线y＝3x－2代入椭圆的方程并整理得
10(b2＋5)x2－12b2x－b4－46b2＝0，
∴x1＋x2＝，∵弦的中点的横坐标为
∴＝1，b2＝25．
∴a2＝75．
∴所求椭圆的方程为＝1．
点评：解决直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，经常用到韦达定理．
［例6］ 如图8—14，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，｜AM｜＝，｜AN｜＝3，且｜BN｜＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

解法一：以l1为x轴，MN的中点O为原点建立如图的平面坐标系．由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，l2是准线．所以可令抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．过点A作AQ⊥l2，AE⊥l1，垂足分别为Q和E，由于△AMN是锐角三角形，则点E必在线段MN上．所以，｜AQ｜＝｜AN｜＝3，
∵｜AM｜＝，
∴｜QM｜＝，
｜AE｜＝｜QM｜＝2，｜EN｜＝＝1．
∴p＝｜MN｜＝｜ME｜＋｜EN｜＝｜AQ｜＋｜EN｜＝4．
∴抛物线方程为y2＝8x．
由上述可知｜OE｜＝1，点B到准线l2的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在x轴上方，故曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)．
解法二：以l1为x轴，l2为y轴建立如图8—15的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在x轴上，顶点O′应是线段MN的中点．令曲线段C所在的抛物线方程为：
y2＝2p(x－xo′)(p＞0)．

设A，
B，则

由①－②得y12＝8，
代入①得()2＝9，
∴8＋p2＝6p．
∵p＞3，∴p＝4．
∵y1＞0，∴y1＝2，
代入③得y2＝4．
∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(2≤y≤4)．
点评：该例题给出的条件比较简明、直接，由抛物线的概念，可知曲线段C是一段抛物线弦．因此，入手不难．关键的问题是怎样建立适当的坐标系，使得解答过程简单．此例还应注意方程中x或y的取值范围．

【综合训练】
1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：当sinθ∈［－1，0)时，方程x2＋y2sinθ＝4的曲线是双曲线；sinθ＝0时，方程的曲线是两条平行直线；sinθ∈(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sinθ＝1时，方程的曲线是圆．
答案：C
2．已知椭圆＝1的一条准线方程为y＝8，则实数t的值为( )
A．7或－7
B．4或12
C．1或15
D．0
解析：由题设y－t＝±7，∴y＝t±7＝8，∴t＝1或15．
答案：C
3．双曲线＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－12，0)
C．(－3，0)
D．(－60，－12)
解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k．
∵e∈(1，2)，∴∈(1，4)，∴k∈(－12，0)．
答案：B
4．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1
D． ＝1
解析：双曲线＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±)．∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±)．∴在椭圆中a＝4，c＝，∴b2＝4．∴椭圆的方程为＝1．
答案：D
5．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于( )
A．2a
B．
C．4a
D．
解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP＝－，xQ＝，
∴＝4a．
答案：C
6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于( )
A．4
B．－4
C．－p2
D．以上都有可能
解析：由已知｜AB｜＝x1＋＋x2＋，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1＋x2＋p)2，
整理得4x1x2＋2y1y2＋p2＝0，
又2px1＝y12，2px2＝y22，∴4x1x2＝，
∴＋2y1y2＋p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝，∴＝－4．
答案：B
7．抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )
A．
B．(1，1)
C．
D．(2，4)
解析：设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离
d＝，
∴x＝1时，d取最小值，此时P(1，1)．
答案：B
8．与＝1(a＞b＞0)的渐近线( )
A．重合
B．不重合，但关于x轴对称
C．不重合，但关于y轴对称
D．不重合，但关于直线y＝x对称
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±＝1的渐近线方程y＝±x、y＝x与y＝x关于直线y＝x对称，y＝－x与y＝－x关于直线y＝x对称．
答案：D
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4，0)
B．(2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
解析：直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由于动圆恒与直线x＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0)．
答案：B
10．设P是椭圆＝1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是( )
A．－
B．－1
C．
D．
解析：设P(x0，y0)，则－3≤x0≤3．
cosF1PF2＝

∴当x0＝0时，cosF1PF2最小，最小值为－．
答案：A
11．已知点A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________．
解析：∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，
则｜AP｜＝．∴当sinθ＝－时，
｜AP｜最大，此时P的坐标为(±)．
答案：(±)
12．已知F1、F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率是_________．
解析：由｜PF2｜＝｜QF2｜，∠PF2Q＝90°，知｜PF1｜＝｜F1F2｜即
，
∴e2－2e－1＝0，e＝1＋或e＝1－(舍)．
答案：1＋
13．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的方程为_________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝16，抛物线的准线为x＝－，由题设可知3＋＝4，∴p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4x．
答案：y2＝4x
14．点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x12－4y12＝4，x22－4y22＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．∵AB的中点为P(8，1)，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝2．
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0．
答案：2x－y－15＝0
15．P为椭圆＝1(a＞b＞0)上一点，F1为它的一个焦点，求证：以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．
证明：设PF1的中点为M，则两圆圆心之间的距离为
｜OM｜＝｜PF2｜＝ (2a－｜PF1｜)＝a－｜PF1｜．
即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，∴两圆内切．即以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

16．已知双曲线的一个焦点为(－1，－1)，相应准线是x＋y－1＝0，且双曲线过点(－，0)．求双曲线的方程．
解：设P(x，y)为双曲线上的任意一点，则
，化简整理，
得2xy－4x－4y－1＝0．即所求双曲线方程为2xy－4x－4y－1＝0．
17．人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R．求卫星运行轨道的短轴长．
解：由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a，∴2a＝(p＋R)＋(q＋R)，
∴．
∴．
∴短轴长为2．
18．抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．求证：
(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点)．
证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、中点M(x0，y0)，焦点F的坐标是(，0)．
由得ky2－2py－kp2＝0．（k≠0）
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C(－，y1)、D(－，y2)、N(－，y0)．
∵，
由ky2－2py－kp2＝0
得y1y2＝＝－p2，
当k不存在，即AB所在直线垂直于x轴时，仍然成立
∴kOA＝kOD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．
(2)kFN＝，当x1＝x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，kAB＝
，∴kFN·kAB＝－1．∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．
19．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝x，问是否存在点P，使d、
｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由．
解：假设存在点P(x0，y0)满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴，∴b2＝3a2，c2－a2＝3a2， ＝2．即e＝2．
由＝2得，
｜PF2｜＝2｜PF1｜ ①
∵双曲线的两准线方程为x＝±，
∴｜PF1｜＝｜2x0＋2·｜＝｜2x0＋a｜，｜PF2｜＝｜2x0－2·｜＝｜2x0－a｜．
∵点P在双曲线的左支上，∴｜PF1｜＝－(a＋ex0)，｜PF2｜＝a－ex0，代入①得：a－ex0＝－2(a＋ex0)，∴x0＝－a，代入＝1，得y0＝±a．
∴存在点P使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列，点P的坐标是(－a，±a)．