2023版高考数学总复习第八章解析几何50直线与圆锥曲线课时作业文.doc

课时作业 50　直线与圆锥曲线
1．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解析：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，因为0<b<1.
所以b＝.
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解析：(1)由题意得
解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d
＝，
由＝，解得k＝±1.
3．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．
解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
由于A、B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
4．(2018·郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点．
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．
解析：(1)由题可得：，解得m＝4，n＝1.
∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.
(2)设直线MN的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程y2＋4x2＝1得：
(k2＋4)x2＋kx－＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，
∴＋＋＋＝0，
即k2－2＝0，k＝±.
5．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．
解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·>2，即x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得<k2<3.②
由①②得<k2<1，
故k的取值范围为∪.
[能力挑战]
6．(2018·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1, )为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解析：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，
由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，
故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)联立方程，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2<m<2.
且所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·.又P到直线AB的距离为d＝，所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝ ＝≤·＝.
当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，所以(S△PAB)max＝.
4