《3.2-等比数列的前n项和》导学案1.doc

《3.2 等比数列的前n项和》导学案1

课程学习目标

1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法.
2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题.
3.会求等比数列的部分项之和.
第一层级·知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍，直到把每一小格都摆上麦子为止，并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗？
知识导学

问题1:等比数列的前n项和公式:
当q=1时，Sn=　　　　　； 
当q≠1时，Sn=　　　　　　　=　　　　　　　. 
问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子，把各格所放的麦子数看成是一个数列{an}，它是一个a1=1，q=2，n=64的等比数列，问题转化为求数列{an}的前64项的和，可求得Sn=　　　　　　　=　　　　　　=264-1，而264-1这个数很大，超过了1.84×1019，所以国王根本实现不了这个诺言. 
问题3:用错位相减法来推导等比数列的前 n项和公式:
设等比数列{an}的公比为q，它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.　①
①×q得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn.　②
①-②得(1-q)Sn=　　　　　　　. 
当q=1时，该数列是常数列，Sn=　　　　　； 
当q≠1时，该等比数列的前n项和公式为:
Sn=　　　　　　　　. 
即Sn=
问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前 n项和公式:
由等比数列的定义，有==…==q.
根据等比的性质，有=　　　　　　　=q. 
⇒(1-q)Sn=a1-anq，即Sn=
基础学习交流

1.在等比数列{an}(n∈N+)中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为(　　).
A.2-　　 B.2-　　 C.2-　　 D.2-
2.等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比q等于(　　).
A.2 B.-2 C.2或-2 D.2或1
3.等比数列{an}的公比q>0，已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=　　　　. 
4.求等比数列1，2a，4a2，8a3，…的前n项和Sn.

第二层级·思维探究与创新
重点难点探究
探究一
考查等比数列的前 n项和公式
设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，求此数列的公比q.

探究二

考查分组求和法
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(+)=8(+).
(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

探究三

对变量的分类讨论
Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项.
(1)求S2和S3；
(2)求此数列{an}的前n项和公式.

思维拓展应用
应用一
在等比数列{an}中，已知S3=，S6=，求an.

应用二

求数列1+，2+，3+，…的前n项和Sn.

应用三

等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，，，…，，…成等比数列.
(1)求数列{kn}的通项kn；
(2)求数列{}的前n项和Sn.

第三层级·技能应用与拓展
基础智能检测
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则等于(　　).
A.11　　　　 B.5　　　　 C.-8　　　　 D.-11
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前3项和为21，则a3+a4+a5等于(　　).
A.33 B.72 C.84 D.189
3.已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2=24， S3=38，S4=65，后来该同学发现其中一个和算错了，则算错的是　　　　，该数列的公比是　　　　. 
4.在等比数列{an}中，若a1=，a4=-4，求公比q和|a1|+|a2|+…+|an|.

全新视角拓展

(2013年·全国大纲卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=-，则{an}的前10项和等于(　　).
A.-6(1-3-10) B.(1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
考题变式(我来改编):

第四层级·总结评价与反思
思维导图构建

学习体验分享

第7课时　等比数列的前n项和
知识体系梳理
问题1:na1　 　
问题2:　
问题3:a1-a1qn　na1　
问题4:
基础学习交流
1.B　设数列{an}的公比为q，则q3==，∴q=，∴数列{an}的前10项和为=2-.
2.C　==q4，所以q=±2.
3.　由an+2+an+1=6an，得qn+1+qn=6qn-1，即q2+q-6=0，解得q=2或-3(舍去)，又a2=1，所以a1=，S4==.
4.解:∵公比为q=2a，当q=1，即a=时，Sn=n；
当q≠1，即a≠时，则Sn=.
∴Sn=
重点难点探究
探究一:【解析】当q=1时，S3=3a1=3a3，符合题目条件；
当q≠1时，=3a1q2，
因为a1≠0，所以1-q3=3q2(1-q)，
即1+q+q2=3q2，解得q=-.
综上所述，公比q的值为1或-.
【小结】对于等比数列来讲，必须要考虑q=1和 q≠1两种情况.
探究二:【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn-1，
由已知得a1+a2=2(+)=，∴a1a2=2，
由a1+a2=8(+)==，
∴a3a4=8q2，
又∵a1>0，q>0，∴
解得∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=+log2an=4n-1+(n-1)，
∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=+=+.
【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.
探究三:【解析】(1)根据已知条件
整理得
解得3S2=2S3=6，即
(2)∵q≠1，则
可解得q=-，a1=4，
∴Sn==-(-)n.
【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.
思维拓展应用
应用一:∵S6≠2S3，∴q≠1，
∴
由②÷①得1+q3=9，∴q=2，
代入①得a1=，∴an=a1qn-1=2n-2.
应用二:由题意可知，该数列的通项公式为an=n+，
∴Sn=(1+)+(2+)+…+(n+)=(1+2+3+…+n)+(+++…+)=+1-.
应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d)，
解得a1=d或d=0(舍去)，
所以数列{an}的通项是an=nd.
因为数列a1，a3，，，…，，…成等比数列，
即数列d，3d，k1d，k2d，…，knd，…成等比数列，
所以公比q==3，k1d=32d，即k1=9，
所以数列{kn}是以k1=9为首项，3为公比的等比数列，故kn=9×3n-1=3n+1.
(2)Sn=+++…+，　①
Sn=+++…+，　②
由①-②，并整理得Sn=(1-)-=-.
基础智能检测
1.D　由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0，∴q=-2，则==-11.
2.C　由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3，得q2+q-6=0，∴q=2(负根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.
3.S2　　设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q=2，但此时S3≠38，S4≠65与题设不符，故算错的就是S2，此时，由S3=38可得q=或q=-；当q=时，S4=65也正确；当q=-时，S4不正确，舍去.所以q=.
4.解:由a4=a1q3=q3=-4，可得q=-2，
因此，数列{|an|}是首项为，公比为2的等比数列，
所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.
全新视角拓展
C　由已知得=-，则数列{an}为公比是-的等比数列，∵a2=-，∴a1=4，则数列{an}前10项的和S10==3(1-3-10).
思维导图构建
三个　两个