《3.2-等比数列的前n项和》导学案1.doc

3.2 等比数列的前n项和导学案1课程学习目标1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法.2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题.3.会求等比数列的部分项之和.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨班达依尔，并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍，直到把每一小格都摆上麦子为止，并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗？ 知识导学问题1:等比数列的前n项和公式:当q=1时，Sn=；当q1时，Sn=.问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子，把各格所放的麦子数看成是一个数列an，它是一个a1=1，q=2，n=64的等比数列，问题转化为求数列an的前64项的和，可求得Sn=264-1，而264-1这个数很大，超过了1.841019，所以国王根本实现不了这个诺言.问题3:用错位相减法来推导等比数列的前 n项和公式:设等比数列an的公比为q，它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1.q得qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn.-得(1-q)Sn=.当q=1时，该数列是常数列，Sn=；当q1时，该等比数列的前n项和公式为:Sn=.即Sn=问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前 n项和公式:由等比数列的定义，有=q.根据等比的性质，有=q.(1-q)Sn=a1-anq，即Sn=基础学习交流1.在等比数列an(nN+)中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为().A.2-B.2-C.2-D.2-2.等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比q等于().A.2B.-2C.2或-2D.2或13.等比数列an的公比q0，已知a2=1，an+2+an+1=6an，则an的前4项和S4=.4.求等比数列1，2a，4a2，8a3，的前n项和Sn.第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一考查等比数列的前 n项和公式设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，求此数列的公比q.探究二考查分组求和法已知an是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(+)=8(+).(1)求an的通项公式；(2)设bn=+log2an，求数列bn的前n项和Tn.探究三对变量的分类讨论Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列an的前n项和公式.思维拓展应用应用一在等比数列an中，已知S3=，S6=，求an.应用二求数列1+，2+，3+，的前n项和Sn.应用三等差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，成等比数列.(1)求数列kn的通项kn；(2)求数列的前n项和Sn.第三层级技能应用与拓展基础智能检测1.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于().A.11B.5C.-8D.-112.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前3项和为21，则a3+a4+a5等于().A.33B.72C.84D.1893.已知等比数列an的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2=24， S3=38，S4=65，后来该同学发现其中一个和算错了，则算错的是，该数列的公比是.4.在等比数列an中，若a1=，a4=-4，求公比q和|a1|+|a2|+|an|.全新视角拓展(2013年全国大纲卷)已知数列an满足3an+1+an=0，a2=-，则an的前10项和等于().A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)考题变式(我来改编):第四层级总结评价与反思思维导图构建学习体验分享第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题1:na1 问题2:问题3:a1-a1qnna1问题4:基础学习交流1.B设数列an的公比为q，则q3=，q=，数列an的前10项和为=2-.2.C=q4，所以q=2.3.由an+2+an+1=6an，得qn+1+qn=6qn-1，即q2+q-6=0，解得q=2或-3(舍去)，又a2=1，所以a1=，S4=.4.解:公比为q=2a，当q=1，即a=时，Sn=n；当q1，即a时，则Sn=.Sn=重点难点探究探究一:【解析】当q=1时，S3=3a1=3a3，符合题目条件；当q1时，=3a1q2，因为a10，所以1-q3=3q2(1-q)，即1+q+q2=3q2，解得q=-.综上所述，公比q的值为1或-.【小结】对于等比数列来讲，必须要考虑q=1和 q1两种情况.探究二:【解析】(1)设等比数列an的公比为q，则an=a1qn-1，由已知得a1+a2=2(+)=，a1a2=2，由a1+a2=8(+)=，a3a4=8q2，又a10，q0，解得an=2n-1.(2)由(1)知bn=+log2an=4n-1+(n-1)，Tn=(1+4+42+4n-1)+(0+1+2+3+n-1)=+=+.【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.探究三:【解析】(1)根据已知条件整理得解得3S2=2S3=6，即(2)q1，则可解得q=-，a1=4，Sn=-(-)n.【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.思维拓展应用应用一:S62S3，q1，由得1+q3=9，q=2，代入得a1=，an=a1qn-1=2n-2.应用二:由题意可知，该数列的通项公式为an=n+，Sn=(1+)+(2+)+(n+)=(1+2+3+n)+(+)=+1-.应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d或d=0(舍去)，所以数列an的通项是an=nd.因为数列a1，a3，成等比数列，即数列d，3d，k1d，k2d，knd，成等比数列，所以公比q=3，k1d=32d，即k1=9，所以数列kn是以k1=9为首项，3为公比的等比数列，故kn=93n-1=3n+1.(2)Sn=+，Sn=+，由-，并整理得Sn=(1-)-=-.基础智能检测1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0，q=-2，则=-11.2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3，得q2+q-6=0，q=2(负根舍去).a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.3.S2设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q=2，但此时S338，S465与题设不符，故算错的就是S2，此时，由S3=38可得q=或q=-；当q=时，S4=65也正确；当q=-时，S4不正确，舍去.所以q=.4.解:由a4=a1q3=q3=-4，可得q=-2， 因此，数列|an|是首项为，公比为2的等比数列，所以|a1|+|a2|+|an|=2n-1-.全新视角拓展C由已知得=-，则数列an为公比是-的等比数列，a2=-，a1=4，则数列an前10项的和S10=3(1-3-10).思维导图构建三个两个