高考数学复习第二章函数2.7对数与对数函数.doc

2.7 对数与对数函数基础自测1.（2008全国理，4）若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 （ ）A.abc B.cab C.bac D.bca答案C2.已知3a=5b=A,且=2，则A的值是 （ ）A.15 B. C. D.225答案B3.已知log7log3(log2x)=0，那么x等于 （ ）A. B. C. D.答案C4.（2009新郑调研）若f(x)=logax在2，+）上恒有f(x)1,则实数a的取值范围是 （ ）A.() B.(0,)（1，2）C.（1，2） D. (0,)（2，+）答案C5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与时间t(月）的关系：y=at,有以下叙述：这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2;浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.其中正确的是 （ ）A. B.C. D.答案D例1 计算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解 （1）方法一 利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)= lg10=.例2 比较下列各组数的大小.（1）log3与log5;（2）log1.10.7与log1.20.7;（3）已知logblogalogc,比较2b,2a,2c的大小关系.解 （1）log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=为减函数，且,bac,而y=2x是增函数，2b2a2c.例3 （12分）已知函数f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.解 当a1时，对于任意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上为增函数，对于任意x3，+），有f(x)loga3. 4分因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 6分当0a1时，对于x3，+），有f(x)0,|f(x)|=-f(x). 8分f（x）=logax在3，+）上为减函数，-f（x）在3，+）上为增函数.对于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 10分因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga,即3,a1.综上，使|f(x)|1对任意x3，+）都成立的a的取值范围是：(1，3，1）. 12分例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故x31=3x1,又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).1.化简求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解 (1)原式=log2+log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(2.已知0a1,b1,ab1，则loga的大小关系是 （ ）A.loga B.C. D.答案 C3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-,1-上是单调递减函数.求实数a的取值范围.解 令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间（-,1-上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间（-,1-上也是单调减函数，且g(x)0.解得2-2a2.故a的取值范围是a|2-2a2.4.已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解 （1）f(x)有意义时，有由、得x1,由得xp,因为函数的定义域为非空数集，故p1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2-（x-）2+ (1xp),当1p，即p3时，0-(x-,log22log2(p+1)-2.当1，即1p3时，0-(x-log21+log2(p-1).综合可知：当p3时，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2;当1p3时，函数f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).一、选择题1.若函数y=loga(x+b) (a0,且a1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则 （ ）A.a=2,b=2 B.a=,b=2C.a=2,b=1 D.a=,b=答案A2.设a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a等于 （ ）A. B.2 C.2 D.4答案D3.已知点（m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则下列哪个点一定在函数g(x)=-logax (a0,a1)的图象上 （ ）A.(n,m) B.(n,-m)C.(m,-n) D.(-m,n)答案B4.（2009宜昌调研）函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是 （ ）A.（-,1） B.(2,+)C.（-,） D.（,+）答案A5.f(x)=kax-a-x(a0且a1)既是奇函数，又是增函数，那么g(x)=loga(x+k)的图象是 （ ）答案D6.函数f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ ）A. B. C.2 D.4答案B二、填空题7.（2008青岛质检）计算(log33)2 +log0.25+9log5-log1= .答案 8.（2009广西河池市模拟）已知lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 .答案 2三、解答题9.已知函数f(x)=loga(x+1)(a1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x0，1）时总有f(x)+g(x)m成立，求m的取值范围.解 （1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，Q（-x，-y）在f(x)的图象上，-y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x).（2）f(x)+g(x)m,即logam.设F（x）=loga,x0，1），由题意知，只要F（x）minm即可.F（x）在0，1）上是增函数，F（x）min=F（0）=0.故m0即为所求.10.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求a的取值范围.解 因为 (x)=x2-2ax-3在(-,a上是减函数，在a,+)上是增函数，要使y=log(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，首先必有0a21,即0a1或-1a0,且有得a-.综上，得-a0或0a1.11.已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当x0，1时，f(x)=2x-1.（1）求f(x)在-1，0）上的解析式；（2）求f().解 （1）令x-1，0），则-x（0，1，f（-x）=2-x-1.又f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x），-f（x）=f（-x）=2-x-1，f（x）=-(x+1.（2）f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数,log24=-log224(-5,-4),log24+4(-1,0),f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24+1=-.12.已知函数f(x)=loga (a0,且a1，b0).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x）的单调性.解 （1）由0(x+b)(x-b)0.解得f(x)的定义域为（-,-b）(b,+).（2）f（-x）=loga(f（x）为奇函数.（3）令u（x）=，则u(x)=1+它在（-,-b）和(b,+)上是减函数.当0a1时，f(x)在（-,-b）和(b,+)上是增函数；当a1时，f(x)在（-,-b）和(b,+)上是减函数.