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§2.7 对数与对数函数
基础自测
1.（2008·全国Ⅱ理，4）若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 （ ）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
答案C
2.已知3a=5b=A,且=2，则A的值是 （ ）
A.15 B. C.± D.225
答案B
3.已知log7［log3(log2x)］=0，那么x等于 （ ）
A. B. C. D.
答案C
4.（2009·新郑调研）若f(x)=logax在［2，+∞）上恒有f(x)＞1,则实数a的取值范围是 （ ）
A.() B.(0,)∪（1，2）
C.（1，2） D. (0,)∪（2，+∞）
答案C
5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与时间t(月）的关系：y=at,有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2;③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是 （ ）
A.①② B.①②③④
C.②③④⑤ D.①②⑤
答案D
例1 计算：（1）
（2）2(lg)2+lg·lg5+;
（3）lg-lg+lg.
解 （1）方法一 利用对数定义求值
设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
= =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|
=lg+(1-lg)=1.
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245
= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5
=lg(2×5)= lg10=.
例2 比较下列各组数的大小.
（1）log3与log5;
（2）log1.10.7与log1.20.7;
（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
解 （1）∵log3＜log31=0,
而log5＞log51=0,∴log3＜log5.
(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,
∴0＞,
∴,
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.
如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
(3)∵y=为减函数，且,
∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
例3 （12分）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
解 当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 4分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 6分
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|=-f(x). 8分
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有
|f(x)|=-f(x)≥-loga3. 10分
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，
∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）. 12分
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,
OC的斜率为k1=,
OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,
代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,
又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).
1.化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
（3）(log32+log92)·(log43+log83).
解 (1)原式=log2+log212-log2-log22
=log2
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
（3）原式=(
2.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是 （ ）
A.loga B.
C. D.
答案 C
3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
解 令g(x)=x2-ax-a,
则g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,
在区间（-∞,1-］上是减函数，
所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.
∴
解得2-2≤a＜2.
故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
4.已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).
（1）求f(x)的定义域；
（2）求f(x)的值域.
解 （1）f(x)有意义时，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］
=log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，
0＜-(x-,
∴log2≤2log2(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，
∵0＜-(x-
∴log2＜1+log2(p-1).
综合①②可知：
当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).
一、选择题
1.若函数y=loga(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则 （ ）
A.a=2,b=2 B.a=,b=2
C.a=2,b=1 D.a=,b=
答案A
2.设a＞1,函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a等于 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
答案D
3.已知点（m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则下列哪个点一定在函数g(x)=-logax (a＞0,a≠1)的图象上 （ ）
A.(n,m) B.(n,-m)
C.(m,-n) D.(-m,n)
答案B
4.（2009·宜昌调研）函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是 （ ）
A.（-∞,1） B.(2,+∞)
C.（-∞,） D.（,+∞）
答案A
5.f(x)=kax-a-x(a＞0且a≠1)既是奇函数，又是增函数，那么g(x)=loga(x+k)的图象是 （ ）
答案D
6.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ ）A. B. C.2 D.4
答案B
二、填空题
7.（2008·青岛质检）计算(log33)2 +log0.25+9log5-log1= .
答案
8.（2009·广西河池市模拟）已知lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 .
答案 2
三、解答题
9.已知函数f(x)=loga(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
（1）写出函数g(x)的解析式；
（2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.
解 （1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，
则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，
∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上，
∴-y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x).
（2）f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
设F（x）=loga,x∈［0，1），
由题意知，只要F（x）min≥m即可.
∵F（x）在［0，1）上是增函数，
∴F（x）min=F（0）=0.故m≤0即为所求.
10.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.
解 因为 (x)=x2-2ax-3在(-∞,a］上是减函数，
在［a,+∞)上是增函数，
要使y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，
首先必有0＜a2＜1,
即0＜a＜1或-1＜a＜0,且有
得a≥-.综上，得-≤a＜0或0＜a＜1.
11.已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)=2x-1.
（1）求f(x)在［-1，0）上的解析式；
（2）求f().
解 （1）令x∈［-1，0），则-x∈（0，1］，∴f（-x）=2-x-1.
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2-x-1，
∴f（x）=-(x+1.
（2）∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,
∵log24=-log224∈(-5,-4),∴log24+4∈(-1,0),
∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.
12.已知函数f(x)=loga (a＞0,且a≠1，b＞0).
（1）求f(x)的定义域；
（2）讨论f(x)的奇偶性；
（3）讨论f(x）的单调性.
解 （1）由＞0(x+b)(x-b)＞0.
解得f(x)的定义域为（-∞,-b）∪(b,+∞).
（2）∵f（-x）=loga(
∴f（x）为奇函数.
（3）令u（x）=，则u(x)=1+
它在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数.
∴当0＜a＜1时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是增函数；
当a＞1时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数.
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