山东省济南市2011届高三一模数学试题（理工类）.doc

济南市高三教学质量调研(2011.02)（原称济南一模考试题）
数学（理工类）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共8页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
参考公式：
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);
如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 复数
A. B. C. D.
2. 若集合，，则A∩B =
A. [0,1] B. [0,+∞） C. [-1,1] D.
3. 下列命题中是假命题的是
A. , B．R,
C．R, D．R,
4. 右图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生
打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数
据的平均数和方差分别为
A. 84,4.84 B. 84,1.6
C. 85,1.6 D. 85,4
5. 已知为等差数列，若，则
A. 24 B. 27
C. 15 D. 54

6. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),
则此几何体的表面积是
A. (80+16) cm2
B. 84 cm2
C. (96+16) cm2
D. 96 cm2
第6题图
7. 由直线上的点向圆(x-4)2+(y+2)2=1引切线，
则切线长的最小值为
A． B．
C． D．
8. 若，则的值为
A． B．－ C． D．
9. 位于直角坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点移动五次后位于点(1,0)的概率是
A． B． C． D．
10. 已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
11. 函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件：对任意R，
都有,则是
A. 奇函数但非偶函数 B. 偶函数但非奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
12. 若实数、满足，则的取值范围是
A． B． C． D．

绝密★启用前
高三教学质量调研(2011.02)
数学（理工类）试题
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中.
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
得分
评卷人

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，
共16分.将答案填在题中横线上.

第14题图
13. 二项式的展开式中的常数项为_______.
14. 给出下面的程序框图，则输出的结果为_________.
15. 已知直线与曲线相切，则a的值为_________.
16. 如图，在△ABC中， =,P是BN上的一点，
第15题图
若=m+，则实数的值为___________.
三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤.
得分
评卷人

17. （本小题满分12分）

已知，其中向量,(R).
（1） 求的最小正周期和最小值；
（2） 在△ ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若，a=2，，求边长的值.

得分
评卷人

18. （本小题满分12分）

三棱锥中，，,
（1） 求证：面面
（2） 求二面角的余弦值．

第18题图

得分
评卷人

19. （本小题满分12分）

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）.

第19题图

（1） 求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2） 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望.

得分
评卷人

20. （本小题满分12分）

已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.
（1） 求和的通项公式；
（2） 设，求.

得分
评卷人

21. （本小题满分12分）

已知椭圆：的右焦点为F，离心率，椭圆C上的点到F的距离的最大值为，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 若，求直线l的方程.

得分
评卷人

22. （本小题满分14分）

已知函数
(1) 当时，求函数的最值；
(2) 求函数的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.

高三数学（理工类）参考答案(2011.02)
一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 11. B 12. C
二、填空题： 13. 14. 15. 2 16.
三、解答题：
17. 解：(1) f(x)=a·b-1=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1
＝sin2 x +2cos2 x -1=sin2x+cos2x=2sin（2x＋）……………………………4分
∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2.……………………………………………………6分
(2) f()=2sin（＋）=
∴sin（＋）＝………………………………………………………………………8分
∴＋＝∴ A＝或 （舍去）………………………………………………10分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
52＝64＋c2-8c即c2-8c+12=0
从而c=2或c=6……………………………………………………………………………12分
18. （1） 证明：取BC中点O，连接AO，PO，由已知△BAC为直角三角形，
所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，
则△POA≌△POB≌△POC………………………………2分
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O
所以PO⊥面BCD，…………………………………………………………………… 4分
面ABC，∴面PBC⊥面ABC………………………5分
（2） 解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，
如图建立坐标系O—xyz
第18题答案图
则，，，，
…………………7分
设面PAB的法向量为n1=(x,y,z)，由n1· =0，n1·=0,可知n1=(1,-,1)
同理可求得面PAC的法向量为n1=(3,,1)………………………………………………10分
cos(n1, n2)==……………………………………………………………………12分
19. 解：（1） (0.032+0.043+0.050)×20=0.25,0.25×60=15,
所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．……………………………………………………4分
（2） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0,1,2；
P(x=0)==,P(X=1)==,P(x=2)==
X的分布列为

0
1
2

…………………………………………………………………………………………………10分
.……………………………………………………12分
20. 解：（1） 设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4
所以an=4n-1.……………………………………………………………………………………4分
设{ bn }的公差为d，由5S5=2 S8得5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，
,
所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.…………………………………………………………………………8分
（2） Tn=1·2+4·5+42·8+…+4n-1(3n-1),①
4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),②
②-①得：3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1)…………………………………………………10分
= -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)
=2+(3n-2)·4n……………………………………………………………………………………12分
∴Tn=（n-）4n+
21. （1） 由题意知，,所以，从而，
故椭圆C的方程为………………………………………………………………5分
（2） 容易验证直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为,代入中，
得…………………………………………………………………7分
设
则由根与系数的关系，得
………………………………………………………………9分

,
解得m=±2 …………………………………………………………………11分
所以，直线l的方程为，即或………12分
22. 解：（1） 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)……………………1分
当a=1时，，所以f (x)在为减函数 ………………3分
在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.………………………5分
(2) ………………………………………………6分
若a≤0时，则f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,
+∞).…………………………………………………………………………8分
若a＞0，则故当，，……………… 9分
当时，f(x) ,
所以a＞0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.…………………10分

(3) a≥1时，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值为，…………………
…………………………………………………………………………………………………………11分
令在 [1,+∞)上单调递减，
所以则>0，…………………………12分
因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.……………………………14分
12