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第十二章 平稳随机过程

平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程．本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质．

§1 平稳随机过程的概念

在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响．有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化．严格地说，如果对于任意的和任意实数A，当时，n维随机变量

具有相同的分布函数，则称随机过程具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程．
平稳过程的参数集T，一般为
．当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列．以下若无特殊声明，均认为参数集．
在实际问题中，确定过程的分布函敷，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的．但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的．

．376．

恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2、例3都是平稳过程的例子．强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的．
与平稳过程相反的是非平稳过程．一般，随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的．例如，飞机控制在高度为丸的水平面上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H（他）应在A水平面上下随机波动，H（他）可看作是平稳过程，但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段)，因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化着，也就是说在升降阶段内过程II(t)是非平稳的．不过在实际问题中，当仅仅考虑过程的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为一oo<他<+oo．
接着，考察平稳过程数字特征的特点．
设平稳过程X（他）的均值函数E[X(t)]存在．对n=1，在(1．1)式中，令h=-t1，由平稳性定义，一维随机变量X(t1)和X(0)同分布．于是E[X(t)]＝E[X(0)]，即均值函数必为常数，记为比．同样，X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数，分别记为甲l和畦．据此，依照图10—4的意义，可以知道，平稳过程的所有样本曲线都在水平直线J(r)‘／J。上下波动，平均偏离度为dx．
又若平稳过程X(”的自相关函数存在，对n＝2，在(1．1)中，令A＝一九，由平稳性定义，二维随机变量同分布．于是，有

等式右端只与时间差‘。一J1有关，记为，即有

这表明：平稳过程的自相关函数仅是时间差‘：一r1’，的单变量函
．377·

数(换句话说，它不随时间的推移而变化)．
又由第十章(2．7)式，协方差函数可以表示为

特别地，令，＝0，由上式，有

如前所述，要确定…个随机过程的分布函数，并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的．因此，通常只在二阶矩过程范围内，考虑如下一类广义平稳过程．
定义 给定二阶矩过程，如果对任意t，

则称为宽平稳过程或广义平稳过程．相对地，前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程．
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则它必定也是宽平稳的．但反过来，一般是不成立的．不过有一个重要的例外情形，即正态过程．因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度也不随时间的推移而变化．由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的．
今后，我们讲到平稳过程一词时，除特别指明以外，总是指宽平稳过程．
另外，当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数，记为，即

那末我们就称X(‘)和y(‘)是平稳相关的，或称这两个过程是联合(宽)平稳的

。378。

易见，在第十章中，§2例2、例3都是平稳过程，由于例3又是正态过程，所以它也是严平稳的．而§2例1以及§3·中的泊松过程和维纳过程都是非平稳过程．下面再举数例．
例1 设是互不相关的随机变量序列，且，则有

即相关函数只与是一／有关，所以它是宽平稳的随机序列．如果又是独立同分布的，则易证序列也是严平稳的．
口
例2 设s(t)是一周期为T的函数，是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程．试讨论它的平稳性．
解 由假设，的概率密度为

于是，X(t)的均值函数为

利用‘(F)的周期性，可知

而自相关函数

同样，利用的周期性，可知自相关函数仅与，有关，即
． 379．

所以随机相位周期过程是平稳的．特别，随机相位正弦波是平稳的(第十章§2例2)． 口

例3 考虑随机电报信号．信号X(”由只取+I或一I的电流给出(图12—1画出了X(9)
的一条样本曲线)．这里

而正负号在区间内变化的次数N是随机的，且假设N服从泊松分布，亦即事件

的概率为

其中且>o是单位时间内变号次数的数学期望．试讨论X(t)的平稳性．
解 显然，E[X(t)]＝0．现在来计算正[X(OX(‘+，)]，先设，>0，我们注意，如果电流在内变号偶数次，则X(t)和X(t+，)必同号且乘积为／’；如果变号奇数次，则乘积为-I2．
因为事件

的概率为，而事件

的概率为，于是

注意，上述结果与t无关．而若 ，则有

故这一过程的自相关函数为

它只与有关．其图形如图12—2所示．因此随机电报信号X(t)是一平稳过程．

§2 各态历经性

本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法．
首先注意，如果按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的．事实上，即使我们用统计实验方法，例如可以把均值和自相关函数近似地表示为

那也需要对一个平稳过程重复进行大量观察，以便获得数量很多的样本函数．而这正是实际困难所在．
但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据．本节给出的各态历经定理将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，那末

．381．

集平均(均值和自相关函数等)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替．这样，在解决实际问题时就节约了大量的工作量．
在叙述各态历经性之前，我们先简要地介绍一下往后多处要碰到的有关随机过程积分的概念．
给定二阶矩过程，如果它的每一个样本函数在上的积分都存在，我们就说随机过程X(t)在[a,b]上的积分存在，并记为

显然，Y是一随机变量．
但是，在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在[a,b]上的积分未必全都存在．此时，引入所谓均方意义下的积分，即考虑[a,b]内的一组分点：

如果有满足

的随机变量Y存在，我们就称Y为X(t)在[a,b]上的均方积分①，并仍以符号(2．1)记之．可以证明：二阶矩过程X(t)在[a,b]上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分，即

① 设是一随机变量序列，如果存在随机变量，使

则称是Xn的均方极限，记为．本章出现的涉及随机过程的极限和积分都应在均方意义下理解．但我们约定仍以记号‘'lim"替代“1．i．m．”，请读者注意．有关这方面的进一步知识(即随机分析的内容)超出本书的要求．
·382．

存在．而且此时还成立有

就是说，过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分．
现在引入随机过程X(t)沿整个时间轴上的如下两种时间平均：

分别称为随机过程X(t)的时间均值和时间相关函数．我们可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限，其结果一般来说是随机的．
以下就来讨论时间平均与集平均之间的关系．先看一个例子．
例1 计算随机相位正弦波的时间平均．

将例1的结果与第十章§2例2算得的结果比较，可知

这表明：对于随机相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均
．383·

值和自相关函数是相等的．这一特性并不是随机相位正弦波所独有的．下面引入一般概念．
定义 设X(t)是一平稳过程，
1. 如果

以概率1成立，则称过程X(t)的均值具有各态历经性．
2. 如果对任意实数，

以概率1成立，则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性．特别当，称均方值具有各态历经性．
3. 如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)是(宽)各态历经过程，或者说X(t)是各态历经的．
定义中“以概率1成立”是对X(t)的所有样本函数而言的．
各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity)．
按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程．
当然，并不是任意一个平稳过程都是各态历经的．例如平稳过程

其中Y是方差异于零的随机变量，就不是各态历经过程．事实上，，亦即时间均值随Y取不同可能值而不同．因Y的方差异于零，这样就不可能以概率1等于常数E[X(t)]＝E[Y]．见图12—3．

一个平稳过程应该满足怎样的条件才是各态历经的呢?下面两个定理从理论上回答了这一问题．
·384·

定理一 (均值各态历经定理)平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是

证 先计算的均值和方差．由(2.3)式

交换运算顺序，并注意到，即有

而的方差为

由X(t)的平稳性，，上式可改写为

为了简化上式右端的积分，引入变量替代.此变换的雅可比(Jacobi)式是

而积分区域按图12—4转换．于是(2.8)式中的二重积分用新变量可表成

其中为图12—4(2)所示的正方形．注意到被积函数是
．385·

的偶函数(见下节性质)，且与无关，因而积分值为图12—4(2)中阴影区域G上积分值的4倍，即

把这个式子代人(2.8)式就有

由第四章§2方差的性质4‘知道

以概率1成立的充要条件是

但现已算得，故知

以概率1成立的充要条件是

．386·

而由(2．10)式，条件(2．11)即为

由此定理得证． 口
推论 在存在条件下，若，则(2．7)式成立，均值具有各态历经性；若,则(2.7)式不成立，均值不具有各态历经性．(证略)
注意，对例l中的随机相位正弦波而言，不存在，但它的均值是各态历经的．
在定理一的证明中将X(t)换成，就可得
定理二 (自相关函数各态历经定理)平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性的充要条件是

在(2.12)式中令，就可得到均方值具有各态历经性的充要条件．
如若在定理二中以来进行讨论，那末还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理．
在实际应用中通常只考虑定义在上的平稳过程。此时上面的所有时间平均都应以上的时间平均来代替．而相应的各态历经定理可表示为下述形式：
定理三

以概率1成立的充要条件是
．387．

定理四

以概率1成立的充要条件是

各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若，只要它满足条件(2．7)’和(2．12)，，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数小x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数，即

这就是本节开头所预告的论断．
如果试验记录x(t)只在时间区间[0,T]上给出，则相应于(2．13)和(2．14)式有以下无偏估计式：

不过在实际中一般不可能给出x(t)的表达式，因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式(2．15)和(2．16)．现介绍如下：
1. 模拟自相关分析仪．这种仪器的功能是当输入样本函数
．388·

x(t)时，X—y记录仪自动描绘出自相关函数的曲线．它的方框图如图12—5所示．另有一种求自相关函数的近代方法——遍历转换技术，本书不作介绍．
2. 数字方法．如图12—6，把[0,T]等分为N个长为的小区间，然后在时刻，对x(t)取样，得N个函数值．把积分(2.15)近似表示为基本区间上的和，就有无偏估计

相应于(2．16)式，我们可以写出在时，自相关函数的无偏估计

① 设函数；的傅里叶(Fouier)变换只在频率域上存在(为正常数)，而在其他频率上为零．依照抽样定理，应选取取样间隔不超过奈奎斯特(Nyquist)区间才能保证包含函数x(t)在上的全部信息．注意，这里所指的“频率”是角频率，它与实际的频率f之间有关系式：.
.389。

由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自相关函数的近似图形，见图12—7．

最后指出，各态历经定理的条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都能够满 足．不过，要去验证它们是否成立却是十分困难的．因此在实践中，通常事先假定所研究的+平稳过程具有各态历经性，并从这个假定出发，对由此而产生的各种资料进行分析、处理， 看所得的结论是否与实际相符．如果不符，则要修改假设，另作处理．

§3 相关函数的性质

在第十章§2中指出，用数字特征来描绘随机过程，比用分布函数(或概率密度)来得简便．上一节中又指出，对于具有各态历经性的平稳过程，可以根据各态历经定理，对随机过程的一个样本函数使用数学分析的计算手续去求它的均值和相关函数．在这种
。390．

场合下，利用均值和相关函数去研究随机过程更是方便．特别是对于正态平稳过程，它的均值以和相关函数完全刻画了该过程的统计特性．因此，这两个数字特征的重要性更突出地显现出来．为了成功地使用数字特征去研究随机过程，下面着重研究一下相关函数的性质．以下假设X(t),Y(t)是平稳相关过程，，分别是它们的自相关函数和互相关函数．
1.
这由(1.2)式即可得到．在下一节将看到，量表示平稳过程X(t)的“平均功率”．
2. ，即的偶函数．而互相关函数既不是奇函数，也不是偶函数，但满足．
这分别可由(1．2)和(1．3)式得到．依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量的值．
3. 关于自相关函数和自协方差函数有不等式：

这可根据自相关函数、自协方差函数的定义以及柯西一施瓦兹不等式直接推出．
此不等式表明：自相关(自协方差)函数都在处取到最大值①．
类似地，可以推得以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式：

应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数：

① 但并不排除在处也可取到最大值．例如，随机相位正弦波的自相关函数时均取到最大值．
·391·

由上述不等式性质知：．且当时，X(t)和Y(t)不相关．
4是非负定的，即对任意数组和任意实值函数g(t)都有

事实上，根据自相关函数的定义和均值运算性质，即有

对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的．这是因为理论上可以证明：任一连续函数，只要具有非负定性，那末该函数必是某平稳过程的自相关函数．
5’如果平稳过程X(2)满足条件，则称它为周期是的平稳过程．周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且其周期也是
事实上，由平稳性，．又根据第四章§2方差的性质，条件与等价．于是，由柯西一施瓦兹不等式

右端为零，推知

。392。

展开即得只．
另外，在实际中各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般当值适当增大时，和X(t)即呈现独立或不相关，于是有

下面讲一个应用的例子．
设某接收机输出电压Y(t)是周期信号S(t)和噪声电压N(t)之和，即

又设S(t)和N(t)是两个互不相关(实际问题中一般都是如此)的各态历经过程，且．根据第十章(2.12)式，Y(t)的自相关函数应为

由性质是周期函数，又因为一般噪声电压当值适当增大时，呈现独立或不相关，即有

于是，对于充分大的值，我们有

如果现在将y(”作为自相关分析仪(图12—5)的输入，则对于充分大的值，分析仪记录到的是周期函数的曲线，如果只有噪声而无信号，则对充分大的值，记录到的．所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号．这种探查信号的方法称为相关接收法．例如，特别假设接收机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为

且噪声平均功率(见下一节(4．10)式远大于信号平均
·393．

功率．此时，依关系式

来看，自相关分析仪记录到的的图形当，充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号．如图12—8．

§4 平稳随机过程的功率谱密度

在很多理论和应用问题中，常常利用傅里叶(Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构．本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构——功率谱密度．
(一)平稳过程的功率谱密度 设有时间函数，我们知道，假如x(t)满足狄利克雷(Dirichlet)条件，且绝对可积，即

那末x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱

且同时有傅里叶逆变换

① 为了便于理解诸物理术语，可把x(t)设想为加于1欧姆电阻上的电压，
．394．

F。(oJ)一般是复数量，其共轭函数9三(oJ)＝F。(一oJ)．在J(‘)和芦‘(～)之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)等式

等式左边表示x(t)在上的总能量，而右边的被积函数相应地称为x(t)的能谱密度．这样，帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式．
但是，在工程技术中，有很多重要的时间函数总能量是无限的，而且条件(4．1)也不满足．正弦函数就是一例，平稳过程的样本函数一般来说也是如此．这时，我们通常转而去研究x(t)在上的平均功率，即

在以下的讨论中，我们都假定这个平均功率是存在的．
为了能利用傅里叶变换给出“平均功率的谱表示式”，我们首先由给定的x(t)构造一个截尾函数

易知，是满足条件(4．1)的．现记的傅里叶变换为

并写出它的帕塞瓦尔等式

将上式两边除以2T，并注意到(4．2)式，得

令上的平均功率即可表示为
。395。

相应于能谱密度，我们把(4.5)式右端的被积式称作函数x(t)的平均功率谱密度，简称功率谱密度，并记为

而式(4．5)右端就是平均功率的谱表示式．
现在我们把平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程．为此，相应于(4．3)和(4．4)式写出

和

显然，(4．7)和(4．8)式中诸积分都是随机的．这时，我们将(4．8)式左端的均值的极限，即量

定义为平稳过程X(‘)的平均功率．
交换(4．9)式中积分与均值的运算顺序，并注意到平稳过程的均方值是常数，于是

即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或．
接着，把式(4．8)的右端代入(4．10)式的左端，交换运算顺序后可得
．396·

相应于(4．5)一(4．6)式，我们把(4．11)式中的被积式称为平稳过程X(‘)的功率谱密度，并记为，即

利用记号，(4．11)式可简写为

此式称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式．
功率谱密度通常也简称为自谱密度或谱密度，它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征．由(4．13)式知，它的物理意义表示X(t)的平均功率关于频率的分布．
如果我们已知平稳过程X(t)的谱密度，那么在任何特定频率范围内的谱密度对平均功率的贡献为

以上定义的谱密度又称为“双边谱密度”，意思是对的正负值都是有定义的．为了适应实际测量，考虑定义在上的平稳过程X(t)，并按前面的思想和步骤，定义“单边谱密度”：

此处由(4．?)式确定，只是积分范围应为．

① 可以指出，平稳过程的总能量为无限，而且能谱密度也不存在．故在乎稳过程 理论中“谱密度”一词总是指功率谱密度．
．397·

可以证明，单边谱密度与双边谱密度的关系是：

见图12—9所示．这相当于利用S。(～)的偶函数性质①，把负频率范围内的谱密度折算到正频率范围内．

实用上，从定义单边谱密度的(4．14)式出发，设计有专门的仪器和计算方法用以模拟平稳过程的谱密度或进行数值计算．
(二)谱密度的性质 谱密度有以下重要性质：
1. 是的实的、非负的偶函数．
事实上，在(4．12)式中，量

是的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限也必是实的、非负的偶函数．
2. 和自相关函数Rx(，)是一傅里叶变换对，即

它们统称为维纳一辛钦(Wiener—Khintchine)公式．

①见本节(二)中性质
．398·

为了推导公式(4．15)，我们将(4．7)式代人(4．12)式，得

把括号内的积分乘积改写成重积分形式，交换积分与均值的运算顺序，并注意到，即有

接着，依照§2定理一的证明，作变量替代，可以得到

式中

当时，注意到对每一个都成立，于是由(4．17)式就可得到公式

最后一步在理论上要求
如此，可以得出如下结论：平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下，谱密度就是自相关函数的傅里叶变换，即维纳一辛钦公式(4．15)成立．而公式(4．16)则是的傅里叶逆变换．
在(4．16)式中令＝0，再次得到表示式(4．13)．
此外，由于都是偶函数，所以利用欧拉(Euler)公式，维纳一辛钦公式还可以写成如下的形式：
．399．

维纳一辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式，它揭示了从时间角度描述平稳过程X(”的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的联系．据此，在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题．
表12．1列出了若干个自相关函数以及对应的谱密度．
例1 已知平稳过程X(t)的自相关函数为

求X(t)的谱密度．
解 由公式(4．15)和欧拉公式，有

这两个积分分别是的傅里叶变换在处的值(见表12．1第一栏)，所以

它的图形见表12．1第三栏． 口
·400．

例2 已知谱密度
‘：。(d／)—养祛七， (4．20)
求平稳过程X(‘)的自相关函数和均方值．
解 先由公式(4．16)得出自相关函数
及。‘r)—去丁二六樯七·elwd～
—去／二面禹洼而e：~doj．
然后利用留数定理，可以算得
Rx(”＝去·2m{矿禹洼而el”‘在z＝i，3i处的留数之
． 和}＝盂(9e—，r，+5e—‘lfl)，
均方值为
少支—Rx(0)—云· 口
形如(4．20)的谱密度属于有理谱密度．根据谱密度性质1’，有理谱密度的一般形式应为
‘。‘oJ，—；。尖怒专斗÷款，
式中S。>0；又由于要求均方值有限，所以还要求，n>n，且分母应 无实数根．有理谱密度是实用上最常见的一类谱密度．
另外，当我们已经算得平稳过程的自相关函数的估计庚。(rD，r：o，1，2，…，阴时，那么经由维纳一辛钦公式可以得到谱密度的估计．这种估计式很多，例如，利用积分的梯形近似公式，相应于(4．18)式可以写出如下谱密度的原始估计：
Sx(～)＝厶‘[犬x(0)+2∑丘x(rDcos～7／+庚x(f。)cosoJ，。]，
0≤oJ≤O((式中量T／，厶f和O(参见第387页的2‘及附注)，在实际 ．
．402·

应用时，还需利用有关随机数据分析方法对原始估计作进一步的加工．
最后需要指出的是，在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程，它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅里叶变换或逆变换是不存在的(例如随机相位正弦波的自相关函数)，但与通常频谱分析中遇到的情况一样，如果允许谱密度和自相关函数含有a函数，则在新的意义下利用占函数的傅里叶变换性质，有关实际问题仍能得到圆满解决．
上面所说的方函数是单位冲激函数8(t)的简称，它是一种广义函数．狄拉克(Dirac)最早给出了方(‘)的如下定义：
／J(‘)二o，J乒o ，
通常用图12—10中的单位有向线段来表示．J函数的基本性质是：对任一在r＝0连续的函数／(，)，有——
[’三a(，)／(r)dr—／(o)．
一般，若函数／(，)在r＝，。连续，就有 图lz—l。
1 8(r—ro)／(r)dr＝／(ro)(筛选性)
据此，可以写出以下傅里叶变换对：
丁三8(r)e””d，：l<，d‘，，—去丁二l·elwdo／，‘4．21，
丁三去·e”“dr＝方‘o)一去＝去丁：三方‘oJ)e*d～．
(4．22)
(4．22)式表明：当自相关函数尺。(，)＝1时，谱密度5。(oJ)二2xS(m)．其次，还可求得正弦型自相关函数Rx(r)＝acos～。，的谱
·403．

密度为
Sx(o／)＝d丌[a(o／一～o)十8(oJ+o／。)]． (4．23)
事实上，
s。‘9)—丁二aCOSmore…“d，—言／二‘eloo’+e’oo’)e…*d，
＝专[丁：二‘…”一o)u，十丁二‘…”+o)rd，仆
利用变换式(4．22)即得(4．23)式．
由上可见，自相关函数为常数或正弦型函数的平稳过程，其谱密度都是离散的(见表12．1第5、?栏)．
例3 求自相关函数
尺1／(，)＝÷COS 030／'十bZe—r，
[见(3．1)式]所对应的谱密度S1／(oJ)．
解 利用傅里叶变换的线性性质，并参照(4．23)式和表12．1第1栏，即可知道所要求的谱密度为
51／(出)＝言d’LJ((u—COo)+a(o／+oo))+；罕乙．
相应的谱密度图如图12—11所示．此图说明了谱密度是如何表明噪声以外的周期信号的．
口
白噪声 均值为零而谱密度为正常数，即
·404·

Sx(oJ)＝5。，一co<o／<+oo(‘：。>0)
的平稳过程X(”称为自噪声过程，简称白噪声．其名出于白光具有均匀光谱的缘故．
利用变换式(4．22)，可算得白噪声的自相关函数为
尺。‘¨—去丁二s。‘oJ)e…rdo／—蛊／二eiO~dw—soJ‘，)．
见表12．1第6栏．由上式可知，白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为J函数的随机过程，且这个过程在九尹‘：时，X(t1)和X(；：)·是不相关的．
白噪声是一种理想化的数学模型，它的平均功率Rx(o)是无限的．实用上，如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内具有比较“平坦”的谱密度，那就可把它近似地当作白噪声来处理．白噪声在数学处理上具有简单、方便的优点．
与白噪声相关联的另一类所谓带限白噪声，其谱密度的特点是仅在某些有限频率范围内取异于零的常数．例如低通白噪声，它就是由下面的谱密度所定义的：
s。‘o)＝略之’：：：：
相应的自相关函数为
尺。‘，，—去丁二Jz(w)ei~d60—去丁二o)Soei~dco
—蛊·：ir：I二、—尝sin(ulr—半(等)，
当，＝竺，是＝土1，土2，…时，R。(，)＝0．这表明低通白噪声X(J)在‘：一J1＝兰时，X(J1)和X(t：)是不相关的．表12．1第4栏给出了S。＝1的图形．
(三)互谱密度及其性质 设X(‘)和Y(t)是两个平稳相关
。405。

的随机过程．我们定义
Sxr(oJ)＝lim石1严正{Fx(一～，T)Fy(w，了)} (4．24)
为平稳过程X(‘)和y(”的互谱密度，式中Fx(～，了)依(4．7)式确定．
由(4．24)式可知互谱密度不再是～的实的、正的偶函数，但它具有以下特性：
1‘Sxy(oJ)；Sfx(oJ)．即Sxy(o／)和Syx(o／)互为共轭函数．
2*在互相关函数Rxy(r)绝对可积的条件下，还有如下维纳一辛钦公式：
Sxy(～)＝1 Rxr(，)e—i“d，， (4．25)
Rxy(r)‘剂—Sxy(O)e“dO● (4．26)
证明方法与公式(4．15)和(4．16)相同．
3’Re[Sxy(～)]和Re[SYx(oJ)]是～的偶函数，Im[SxY(oJ)] ImLJYx(oJ)]是～的奇函数．这里Re[ ]表示取实部，Im[ ]表示取虚部．
事实上，把(4．25)式改写成
Sxy(OJ)＝I Rxr(r)costot'dr一¨ Rxr(r)sinwrdr
即可推知．
4‘互谱密度与白谱密度之间成立有不等式
[Sxy(oJ)I’≤Sx(oJ)5y(oJ)．
证明略．
应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时，要运用互谱密度．例如，设Z(‘)＝X(”+y(c)，其中X(‘)和y(‘)是平稳相关的．这时，Z(‘)的自相关函数是Rzz(，)＝Rxx(，)+Rxr(r)+ Ryx(，)+Ryr(，)，根据维纳一辛钦公式，Z(‘)的自谱密度为
·406．

Sz~(OJ)＝Sxx(～)+Sxv(o／)+Srx(oJ)+Srr(～)
＝Sxx(～)十Sty(aO+2ReE5x)／(oJ))．
互谱密度并不像自谱密度那样具有物理意义，引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性(例如，对具有零均值的平稳过程X(‘)和r(‘)而言，根据性质2‘，Sxy(oJ)三0与X(”和y(‘)不相关是等价的)．
相关函数和谱密度的一个重要应用是分析线性系统对随机输入的响应，它的具体内容由有关专业课程加以介绍．

小 结

本章讨论的平稳过程{X(”，‘仨r}是指宽平稳过程，它的特点是均值为常数，自相关函数是时间差的单变量函数，即对于任意
2，2十r仨了．
丑[X(‘)]＝卢x(常数)， 丑[X(t)X(‘+，)]＝只x(r)
与‘无关；否则称过程不具有平稳性或为非平稳过程，参数集了取(一oo，+oo)、L0，+oo)．
如果两个平稳过程X(‘)和y(‘)的互相关函数只是时间差的单变量函数，即
丑[X(t)Y(t+r)]＝Rxy(，)，
就称X(‘)与y(，)是平稳相关的；否则称两过程不平稳相关．
容易看出，判定平稳性、平稳相关性仅仅涉及到随机过程的均值函数、自相关函数和互相关函数的计算．
随机过程的时间均值
1 广r
<x(2)>—，些主捌—I、X(t)dt
和时间相关函数
<X(f)x(J十r))＝之m。别—TX(t)X(t+r)dt
·407．

一般来说具有随机性、它们的计算涉及到随机过程的极限运算与积分运算，读者不必去追究它们的理论根据，完全可以按高等数学中的方法来计算，但在计算过程中出现的随机变量应视作常数(见§2例1)．
利用集平均来计算数字特征是十分困难的．为了考察是否可以从平稳过程{X(‘)，‘正丁}的一个样本函数中获取该过程的统计信息，我们引入了各态历经性．例如
尸{(X(”)＝卢x}＝1
成立时，称均值具有各态历经性；还有白相关函数的各态历经性、均方值的各态历经性以及各态历经过程等．
判断一个平稳过程(或其数字特征)是否具有各态历经性有两种方法：一种是根据各态历经性的定义，直接计算、作出比较、进行判断．一般来说若(·)带有随机性，则相应的数字特征一定没有各态历经性。一种是根据各态历经性定理及其推论来作判断．
对于各态历经过程，按定义可从一个样本函数J(，)获得数字特征(若参数集为[o，了])：
卢。—，些rn。士／》(t)dt，Rx‘，，—上m。爿：I‘‘，I‘‘+r)dt．
相关函数是平稳过程在时间域上的主要数字特征，常用的性质有：Rx(0)；丑[X’(”]≥0，Rx(一，)二Rx(，)，Rxv(一，)＝Rvx(r)以及l昃x(，)1≤Rx(0)等．
中支＝R。(o)表示平稳过程X(¨的平均功率，而由平均功率的谱表示式
少k—÷／。‘”Sx(oJ)dto
我们引入了平稳过程X(‘)在频率域上的数字特征——功率谱(谱密度)Sx(oJ)．
谱密度S。((u)是oJ的实的、非负的偶函数，它与自相关函数
．408·

Sx(o／)＝I Rx(r)e lo~rd7 (＝2 0 Rx(2-)COS～Tdr)，
Rx(，)—去丁二s。(oJ)elwdoJ‘二÷丁；“s。‘o／，COSojTd～)．
它们统称为维纳一辛钦公式．理论书上，常以第一式，即只。(r)的FT直接定义谱密度．除了Sx(oJ)≥o外，读者可从维纳一辛钦公式自行导出Sx(oJ)的性质及平均功率谱表示式，由此认识该公式的重要性．维纳一辛钦公式揭示了时间域上相关函数与频率域上谱密度之间的转换关系．
互谱密度没有物理意义，它仅仅是作为频率域上的数字特征’而引进的．我们主要掌握互谱密度的维纳一辛钦公式，并了解互谱密度的性质．
为了计算平稳过程的谱密度(或互谱密度)，一般总是先求出相关函数，再进行FT(维纳一辛钦公式)得到谱密度．

重要术语及主题

(宽)平稳过程 平稳相关 时间均值和时间相关函数 各态历经性 各态历经过程 相关函数及其性质 功率谱(谱密度) 维纳一辛钦公式 白噪声 互谱密度

习 题

1．设有随机过程X(‘)＝Acos(cot+@)，一m<／<十oo，其中A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为
／(d)—／争号，d>。，
[o， d≤o；
@是在(o，27r)上服从均匀分布且与A相互独立的随机变量，oJ是一常数．问X(r)是不是平