高三数学联考汇编：第十六章2.doc

2009年联考题
一、选择题
1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cosθ化为直角坐
标方程为 ( )
A.（x+）2 +y2 = B.x2 +（y+）2 =
C.x2 +（y-）2 = D.（x-）2 + y2 =
答案 D.
2、（2009上海普陀区）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的
一个法向量的是 （ ）
A.； B.； C.; D..
答案 A
3、（2009上海青浦区）线性方程组的增广矩阵是 （ ）
A． B． C． D．
答案 A
二、填空题
4、（2009广州一模） (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆
ρ=4截得的弦长为 ．
答案
5、（2009广州一模）(几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，
PO交圆O于B，C两点，AC =，∠PAB=300，则线段PB的长为 .
答案 1
6、（2009广州一模）(不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，
则a的取值范围为_____________
答案
7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为和
的两个圆的圆心距为____________；
答案
T
P
B
O
C
A
D
8、（2009广东三校一模） (不等式选讲选做题)若不等式对一切非零实
数均成立,则实数的最大值是__________________；
答案
9、（2009广东三校一模）(几何证明选讲选做题)如图,切圆于点,
交圆于、两点，且与直径交于点，
，则______.
答案 .
10、（2009东莞一模）（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙的切线，AC是
⊙的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙相交于点E，AE平分，且，
则 ， ， .
答案 ；
11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
O
A
B
C
D
E
答案

12、（2009东莞一模）（不等式选讲选做题）函数
的最大值为 .
答案 3
13、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）是曲线
（是参数）上一点，到点距离的最小值是 ．
答案
14、（2009江门一模）（不等式选讲选做题）已知关于的不等式
（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是 ．
答案
15、（2009江门一模）（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形中，

图4
，⊙经过点，与相切于，
与相交于，若，则⊙的
半径 ．
答案
16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程化为直角
坐标方程是 ．
答案
17、（2009茂名一模）（不等式选讲选做题）函数的最大值为
_________。
答案
18、（2009茂名一模）（几何证明选讲选做题）如图，梯形，，
是对角线和的交点，，
则 ．
答案 1：6

19、（2009汕头一模）（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行或斜交)
答案 垂直
20、（2009汕头一模）（不等式选讲选做题）不等式对于一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
答案 4＜a＜6
21、（2009汕头一模）（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB
与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切
线，N为切点，若AP＝8, PB＝6, PD＝4, MC＝6，则MN的长为
＿＿＿
答案2

22、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程
为_ .
答案
23、（2009韶关一模）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，
过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD为　　　　 .
答案
24、（2009韶关一模）如果关于的不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .
答案
25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为
，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
答案
26、（2009深圳一模）（几何证明选讲选做题）如图，
切⊙于点，交⊙于、两点，且与直径
交于点，，，，则
．
答案
27.（2009深圳一模）（不等式选讲选做题）若不等式
，对满足的一切
实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．
答案
28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴
垂直的直线交曲线于A、B两点，则_________ _．
答案
29、（2009湛江一模）（不等式选讲选做题）设，则的最
小值为________．
B
P
C
A
O
答案
30、（2009湛江一模）（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是
圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与
A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB
= ．
答案
三、解答题
31、（2009厦门北师大海沧附属实验中学） （不等式选讲）设求的最大值.
解

当且仅当 且
F有最小值
32、（2009厦门一中）（不等式选讲）设 (nÎN*）,比较、、的大小，并证明你的结论.
解 ∵
又∵

∴<<
33、（2009厦门二中）（不等式选讲）解不等式：．
解 原不等式等价于：
或 或
解得 或 或
所以 原不等式的解集为
34、（2009厦门乐安中学）（不等式选讲）在设为正数且，
求证:.
证明

35、（2009厦门十中）（不等式选讲）已知实数满足， 试求的最值
解 由柯西不等式得，有
即 由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时， 时

36、（2009厦门同安一中）（不等式选讲）已知、，且，求
的最小值
解 因为，所以，所以，，所以。式中等号当且仅当时成立，此时。所以当时，取最小值．
37、（2009厦门英才学校）（不等式选讲）已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；
（Ⅱ）解不等式
解（Ⅰ）依题意可知 ，
则函数的图像如图所示：
（Ⅱ）由函数的图像容易求得原不等式的
解集为…………7分
38、（2009厦门乐安中学）（矩阵）已知矩阵，，矩阵对应的变换把曲线变为曲线C，求Ｃ的方程．
解 ，设是所求曲线C上的任意一点，它是曲线
上点在矩阵变换下的对应点，则有，即所以又点在曲线上，故，从而，所求曲线C的方程为．
39、（2009厦门十中）（矩阵）已知矩阵A=，B=.
①计算AB；
②若矩阵B把直线变为直线，求直线的方程.
解 ①AB=
②任取直线上一点P（x,y）,设P经矩阵B变换后为，则
，
代入，得，∴直线的方程为.
40、（2009厦门同安一中）（矩阵）在直角坐标系中，的顶点坐标，，，求在矩阵的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，
解，…2分……4分.
……5分
可知三点在矩阵作用下变换所得的点分别为.
可得的面积为1.……7分.

41、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线经过点,倾斜角，设与曲线（为参数）交于两点，求点到两点的距离之积。
解 直线的参数方程为，即
曲线的直角坐标方程为，把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
42、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线的参数方程：（为参
数），圆C的极坐标方程：，试判断直线与圆C的位置关系．
解 将直线的参数方程化为普通方程为：
将圆C的极坐标方程化为普通方程为：
从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径 ，
所以，圆心C到直线的距离
所以直线与圆C相交．　　　　　　　　　　　　
43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线过点的切线方程.
，消去参数得.
设切线为，代入得
令，得，故即为所求.
或，设切点为，则斜率为，解得，
即得切线方程.
44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.
解 将极坐标方程转化为普通方程：
可化为
在上任取一点A,则点A到直线的距离为
,它的最大值为4
45、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为 ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．
解 由题设知,圆心
∠CPO=60°,故过P点的切线飞倾斜角为30°
设,是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，
∠MOP=
由正弦定理得
，即为所求切线的极坐标方程。

46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值．
解 由 即则易得，由易得 圆心到直线的距离为
· 又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为.
47、（2009南京一模）已知矩阵，。在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，求曲线的方程
解 由题设得,设是直线上任意一点,
点在矩阵对应的变换作用下变为,
则有, 即 ,所以
因为点在直线上,从而,即：
所以曲线的方程为
48、（2009金陵中学三模）(1)设是正数，求证：；
（2）若，不等式是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值．
简证：（1）∵，∴， ，，三个
同向正值不等式相乘得． ---------5分
简解：（2）时原不等式仍然成立．
思路1：分类讨论、、、证；
思路2：左边=．---------------10分
49、（2009南京一模）选修4-5：不等式选讲，已知为正数，求证：.
证明：，所以

50、（2009通州第四次调研）（矩阵与变换）已知矩阵 ，向量.
（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；
（2）求的值.
解 (1)矩阵的特征多项式为 ，
令，得,
当时，得,当时，得. …………………5分
(2)由得，得.
∴
.……………………10分
51、（2009通州第四次调研）（不等式选讲）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围．
解 由题知，恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值
∵当且仅当（a＋b）(a－b) ≥0时取等号
∴的最小值等于2. 5分
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解
解不等式得 10分
52、（2009扬州大学附中3月月考）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐
标伸长到倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
解（Ⅰ）由条件得矩阵，
它的特征值为和，对应的特征向量为及；
（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．
53、（2009通州第四次调研）求经过极点三点的圆的极坐标方程.
解 将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，
故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，
圆的直角坐标方程为，即，
将代入上述方程，得，
即.
54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长．
解 由得，
又
，
由得,
．
55、（2009南通一模）如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引
P
A
D
B
C
O
·
割线交⊙O于、两点．求证: ．
证明 因为与圆相切于，
所以，
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB·DC，即 ．
因为，
所以∽，
所以．
用心 爱心 专心