求和与积分1.doc

第三章 求和与积分
3.1 有限和与无限和
3.1.1 有关概念
微积分的两大部分是微分与积分，微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。
定积分是求函数 F(x) 在区间 (a,b) 中图线下包围的面积，即由 y=0, x=a，x=b, y=f(x) 所围成的图形面积。
定积分的定义：
设函数 f(x) 在区间 (a,b) 上连续，将区间 (a,b) 分成 n 个子区间 (a,x)(x,x)(x,x)(x,x)(x,b), 可知各区间长度依次是，在每一个子区间（-1，），任取一点，作和式 设，则当时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间（a,b）的定积分。
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间(a,b)叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫积分变量，f(x)dx叫被积式，“”叫做积分号，之所以叫定积分，是因为它积分后得出植是确定的，是一个数，而不是一个函数。
一 和与级数
设给定一个数列U，U，… ，U，…. ，则称多个有序数列的形式和：
U+U+… +U+….
为无穷数列（简称数列），记做，即= U+U+… +U+….。当n取不同的正整数时，可由U得到相应的项，故称U为级数的一般项或通项。
二 收敛级数的基本性质
性质1 如果常数K0，则级数与有相同收敛性。
性质2 若级数与均收敛，则级也收敛，且
=
亦是说，两个收敛级数逐项相加或逐项相减所组成的新级数任然收敛。
性质3 增加、减少或改变级数的有限项，不改变级数的收敛性，但改变收敛级数的和。
性质4 （级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则0.
例：
估计定积分的值。
解：
先求在上的最大值和最小值，，令，得到驻点x=0，比较在驻点及区间端点处的函数值。
，，
得到最大值M=1,最小值M=
估值性质得，
3.2.3 简单积分的计算
一 不定积分与不定积分计算
牛顿—莱布尼茨公式说明，求定积分的关键在于（3，1）式中的函数。为此，我们给出如下定义。
定义2 若，则称的原函数，称为的不定积分常记做，即
=
附 基本积分表

，从而有逐项积分公式

若在区间上连续且单值，则
例1：
求不定积分.
解：
利用三角恒等式把被积函数变形后，再逐项积分。

被积函数为三角函数时，常需要进行降次处理或凑成相应公式的形式，例1就是先降次再进行积分的一个例子。
例2：
计算
解：
由积分公式（3）可知，的原函数是，所以：

例3：
计算反常积分
解：

即反常积分收敛且为。
3.3 定积分应用
由于有了牛顿—布莱尼茨公式，计算定积分的值已不是多么复杂的事，因此利用定积分来解决各个领域的应用问题也就更加具有实际意义。
例1：
求由直线 x-y=0 及抛物线 y=x-2x 所围成的面积。
解：
由方程可自行作图，可得直线与抛物线的交点坐标为（0,0），（3,3）。
选 x 为积分变量， ，面积元素，从而所求面积为

例2：
航通公司一次投资100万元建造一条生产流水线，并于一年后建成投产，开始取得经济效益，设流水线的收益是均匀货币流，年流量为30万，已知银行年利率为10%，问多少年后该公司可以收回投资？
解：
设 x+1 年后可以收回投资，此时流水线共运行了 x 年，依公式（3.3）可计算出 x 年中流水线的总收益为
（万元）
这A（x）万元在x+1 年之前（即开始投资时）的价值为
（万元）
因此，当 B(x) =100万元时恰好收回投资，即，解方程得
（年）
所以，5.6年后该公司可以收回全部投资。

小组成员：李智，方捷，涂辉，罗霞，王雪