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课时知能训练
一、选择题
1．(2011·重庆高考)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
2．若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞) D．[－4,4]
3．(2011·上海高考)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
4．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
二、填空题
6．(2011·湖南高考)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．
7．若正数a，b满足＋＝2，则ab的最小值为________．
8．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3.
三、解答题
9．已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
10．求函数y＝(x＞－1)的值域．
11．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
答案及解析
1．【解析】 ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时等号成立，
∴a＝3.
【答案】 C
2．【解析】 M＝＝a＋，
当a＞0时，M≥4，当且仅当a＝2时等号成立，
当a＜0时，M≤－4，当且仅当a＝－2时等号成立，
故M的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
【答案】 A
3．【解析】 当a＝b时，a2＋b2＝2ab，排除A；当a＜b，b＜0时，a＋b＜0＜2，＋＜0＜，排除B、C，选D.
【答案】 D
4．【解析】 α＋β＝(a＋b)＋＋＝(a＋b)＋
＝5(a＋b)≥10＝10，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
【答案】 C
5．【解析】 ∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，
∴－1<x<8，∴x＋2y＝x＋2·
＝(x＋1)＋－2≥2 －2＝4，
当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.
【答案】 B
6．【解析】 (x2＋)(＋4y2)＝5＋4x2y2＋
≥5＋2＝9，
当且仅当4x2y2＝，即|xy|＝时等号成立．
【答案】 9
7．【解析】 ∵a>0，b>0，
∴＋≥2 ＝4 ，
∴4 ≤2，∴ab≥4，
当且仅当＝且＋＝2时等号成立．
【答案】 4
8．【解析】 ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，①对；
(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2 ≤4，
当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误．
由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确．
a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，
∵ab≤1，又a2＋b2≥2，
∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误．
【答案】 ①③
9．【证明】 ∵a，b，c是正实数
∴＋≥2 ＝2c(当且仅当a＝b时取等号)
＋≥2 ＝2a(当且仅当b＝c时取等号)
＋≥2 ＝2b(当且仅当a＝c时取等号)
∴2·(＋＋)≥2a＋2b＋2c，
故＋＋≥a＋b＋c.
10．【解】 y＝＝
＝x＋1＋－1，
由x>－1，知x＋1>0.
∴(x＋1)＋≥2＝2，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时等号成立，
∴y≥2－1，
故函数的值域为[2－1，＋∞)．
11．【解】 (1)由题意可设3－x＝，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%[32(3－)＋3]＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－(＋)
≤50－2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费定在7万元时，年利润最大．
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