第十三节平行四边形的性质.doc

平行四边形的性质
[知识要点]
1.你知道平行四边形的定义和表示符号吗？

2.依次从边、角、对角线三个方面，列出平行四边形的性质吧！
（1）边：
（2）角：
（3）对角线：
3.两条平行线间的距离是指什么呢？平行四边形的面积公式是什么呢？
你知道二者有什么关系吗？对于平行四边形的面积，你能找出其中一条规律来吗？

4．平行四边形的知识运用包括三个方面：
(1)直接运用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；
（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；
（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。
[典型例题]
#利用平行四边形的性质求解边和角
例1—1 在平行四边形ABCD中
（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。
（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。
（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。
（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。
A
B
C
D
O
例1—2 如图，□ABCD中，AD⊥BD，垂足为D，OA=10，OB=6，求BC、AB的长。

#灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算
A
B
C
D
例2—1 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各边长和各内角的度数。

例2—2 已知□ABCD的周长为80cm，AC⊥AB，△ABC的周长为60cm，求AB与BC的长。

A
B
C
D
O
例2—3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

B
C
D
A
F
E
例2—4 如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DF，求△DEC的面积。

#利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围
A
B
C
D
O
例3—1 如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为（ ）
A．1﹤AB﹤7 B．2﹤AB﹤14
C．6﹤AB﹤8 D．3﹤AB14

例3—2 平行四边形的一边长为10，那么它的对角线长度可以是（ ）
A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6

#灵活运用平行四边形的面积公式计算
A
B
C
D
F
E
例4—1 小强家承包了一块苗圃用来养花。如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m，从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m，求这个平行四边形苗圃的面积。

D
C
B
A
h
例4—2 已知□ABCD中周长是36cm，且AB=10cm，AD与BC间的距离为6cm，求：AB与CD之间的距离。

A
B
C
D
E
例4—3 如图，在□ABCD中，对角线AC=21厘米，BE⊥AC，垂足为E，且BE=5厘米，AD=7厘米，试求AD与BC之间的距离。

#利用平行线之间的垂线段处处相等求解
例5—1 如图所示，点A（乡镇）、B（村）、C（村）同处一片平坦的地区，计划经过点A修建一条水泥路L，使点B、C到L的距离相等，在图中画出直线L。
C
A
B

A
B
C
D
E
F
*例6 如图所示，□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E。若DE=2AB，求∠AED的度数。

A
B
C
D
E
M
*例7 如图所示，□ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少？

A
D
B
C
E
F
*例8 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，求证：S△ABE=S△ADF。

*例9 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF,求证：∠AOB=∠COB
A
B
C
D
E
F
O

[大展身手]
#一、判断题
1．一组对边平行的四边形叫做平行四边形。 ( )
2．一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形。 ( )
3．两条平行线间的距离是指从一边上的任意一点到另一边的距离。 ( )
4．相邻两边相等的平行四边形的四条边都相等。 ( )
5．相邻的两个角都互补的四边形为平行四边形。 ( )
6．平行四边形的对角线相等。 ( )
7．平行四边形的一组邻角的平分线互相垂直。 ( )
8．两组对边平行的四边形是平行四边形。 ( )
9．对角线相等的四边形是平行四边形。 ( )
10．对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形。 ( )
11．有两组邻角互补的四边形是平行四边形。 ( )
12．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形。 ( )
13．有三个角为直角的四边形是平行四边形。 ( )
二、选择题
1.在□ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（ ）
A、105° B、115° C、125° D、65°
2.在□ABCD中，∠B-∠A=20°，则∠D的度数是（ ）
A、80° B、90° C、100° D、110°
3.已知□ABCD的周长为40cm，边AB-BC=4cm，则边AD、CD的长为（ ）
A、10cm、14cm B、8cm、12cm C、14cm、10cm D、12cm、8cm
4.如图4-1-1，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF与GH相交于O，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A、4个 B、5个 C、7个 D、9个
5.如图4-1-2，在□ABCD中，E、F分别是边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
图4-1-2
B
C
F
D
A
E
图4-1-1
B
C
F
G
D
E
A
H

6.在以下平行四边形性质中，错误的说法是（ ）
A、对边平行 B、对角相等 C、对边相等 D、对角线相等
7. □ABCD的对角线相交于O，△OBC的周长为58cm，AD=28cm，两条对角线之差为14cm，则两条对角线的长分别为（ ）
A、23cm和9cm B、23cm和37cm C、8cm和22cm D、24cm和38cm
8. □ABCD的周长为32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围是（ ）
A、6＜AC＜10 B、6＜AC＜16 C、10＜AC＜16 D、4＜AC＜16
9.以长为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10.如图4-1-3，在□ABCD中，EF对角线交点O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四边形BCEF的周长为（ ）
A、13cm B、15cm C、11cm D、9.5cm
11.如图4-1-3，在图中有全等三角形（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对
12.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长为（ ）
A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
13.如图4-1-4，∥，AB∥CD，CE⊥，FG⊥，E、G为垂足，则下列说法不正确的是（ ）
A、AB=CD B、EC=FG
C、A、B两点的距离就是线段AB的长 D、与的距离就是线段CD的长
14.在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A、1：2：4：2 B、1：2：1：2 C、1：1：2：2 D、1：2：2：1
15.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（ ）
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
图4-1-4
B
D
E
G
F
C
A

图4-1-3
F
B
C
E
D
A
O

二、填空题
1．两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，平行四边形的 的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。
2．平行四边形的对边 ，对角 。
3．用20cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3:2，则长边长为 ，短边长为 。
4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= 。
5．在□ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠C= ，∠D= 。
6．若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形一共可以做 个。
7．平行四边形一组邻角的平分线一定是 。
8．平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠B= 。
9．平行四边形ABCD的周长为56cm，两邻边之比为3:5，则这两邻边长分别为 。
10．平行四边形一个内角比它的邻补角大24度，则这个内角为 。
11.如图4-1-5，在□ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B= ，∠CAD= 。
12.已知O是□ABCD的对角线的交点，AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，BD=13cm，则△ODC的周长是 ，△OAD的周长是 。
13.在□ABCD中，如果AC=2cm，BD=6cm，CA⊥AB，那么□ABCD的周长是 cm，面积是 cm2。
14.在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AB交AB于点E，OE=3cm，则AB与CD间的距离为 cm。
15. □ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，那么AB= cm，BC= cm。
16.在□ABCD中，∠A=30，AB=7cm，AD=6cm，则S□ABCD= 。
17.如图4-1-6，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，AE=，AF=，则（1）∠BAD= ，∠C= ，∠D= ；（2）AB= ，BC= 。
图4-1-6
C
F
D
A
B
E
图4-1-5
C
D
A
B

18．过□ABCD的钝角顶点A作两条高AE，AF，若∠B=60°，则∠EAF= 。
19．□ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB= ，BC= 。
20．□ABCD的周长为40，两邻边的比为3：5，其四边的长分别为 。
21．在□ABCD中，∠A的平分线分BC成4 cm和3 cm的两线段，则四边形的周长为 。
22．□ABCD的周长为25 cm，对边距离都为2 cm，则它的面积为 。
23．如果在□ABCD中，AB=8，对角线AC=6，则另一条对角线BD的范围是 。
24．□ABCD的周长为22 cm，AC，BD交于O点，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD= ，AB= 。
25．过□ABCD的钝角顶点A，分别作两条高AE和AF，若∠EAF=60°，BE=2，DF=3，则
□ABCD的面积为 。
26．已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别补上下列条件中的哪一个条件，四边形就为平行四边形：①AD=BC；②AB∥CD；③AB=AD；④∠A=∠C。 （填上序号）
27．平行四边形的两邻边长分别为3和5，其夹角为120°，则该平行四边形的面积为 。

三、解答题
#1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

#2．平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。
A
B
C
D
E

B
C
A
D
M
3．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M为AD的中点，求∠BMC的度数。

图4-1-9
C
F
D
A
B
E
4.如图4-1-9，在□ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，□ABCD的周长为20cm，求S□ABCD。

5.如图4-1-10，在□ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若□ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比□ABCD的周长少10cm，求□ABCD的一组邻边的长。

图4-1-10
B
C
D
A
E

B
E
C
D
A
F
6．在□ABCD中，E、F分别是AC、CA延长线上的点，且CE=AF，求证：BF∥DE。

A
F
C
D
B
7．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=AC=13cm，试说明：四边形AEDF是平行四边形，并求它的周长。

B
C
D
A
E
F
8．如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF长多少？

9．如果平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线的长，而此对角线的长为4cm，求此平行四边形相邻两内角的度数及各边的长。

10．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，延长AB到点F，延长BA到点E，使得AB=AE=BF，连结CE和DF交于点O，求证：EC⊥DF。（要求完整过程）
F
B
C
D
O
A
E

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